線性代數(shù)—相似矩陣學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共27頁。2定義定義(dn(dngy)gy)對于對于n n階方陣階方陣(fn zhn)A(fn zhn)A和和B B，若存在，若存在n n階可逆方陣階可逆方陣(fn zhn)P(fn zhn)P，使得，使得 1,P APB則稱則稱A與與B 相似相似, ,記為記為. BA矩陣的矩陣的“相似相似”關(guān)系具有以下特性：關(guān)系具有以下特性：(1)(1)反身性：反身性：對對任任何何方方陣陣A，總總有有AA( (令令EP 即即可可) )； (2)(2)對稱性：對稱性：若若BA，則則有有AB ； 證證BAPP 1.)(111 BPP1 PBPA(3)(3)傳遞性：傳遞性：若若BA, ,且且CB

2、, ,則則有有CA. . 證證CBQQBAPP 11,.)()(1CPQAPQ QAPPQ)( 11 第1頁/共26頁第二頁，共27頁。3定理定理(dngl)相似矩陣有相同相似矩陣有相同(xin tn)(xin tn)的特征多項式的特征多項式, ,從而特征值相同從而特征值相同(xin tn).(xin tn).證證BAPP 1APPEBE1 PAEP)(1 PAEP 1 .AE 推論推論1 相似矩陣的行列式相等；相似矩陣的行列式相等；推論推論2 相似矩陣的跡相等；相似矩陣的跡相等；推論推論3 若矩陣若矩陣A與一個對角陣與一個對角陣 n 21相似相似, ,則則n ,21即即為為A的的全全部部特特

3、征征值值。 第2頁/共26頁第三頁，共27頁。4注意注意(zh (zh y):y):特征值相同特征值相同(xin tn)的矩陣不一定相似的矩陣不一定相似.例例如如, , 1011A與與 1001E的的特特征征值值相相同同， 但它們但它們(t men)(t men)不相似不相似, ,因?yàn)閷θ我饪赡骊囈驗(yàn)閷θ我饪赡骊嘝, ,1EEPP 即與即與 E 相似的矩陣只有它自己。相似的矩陣只有它自己。相似矩陣的其它性質(zhì)：相似矩陣的其它性質(zhì)： 相似矩陣的秩相等；相似矩陣的秩相等；,1BAPP 若若P, ,Q為可逆矩陣為可逆矩陣, ,則有則有. )()()(ArAQrPAr 第3頁/共26頁第四頁，共27頁。

4、5若若BA , ,則則 kBkA , ,其中其中k為任意常數(shù)；為任意常數(shù)； TTBA ； mmBA , ,其其中中m為為任任意意正正整整數(shù)數(shù)； )()(BpAp, ,其其中中)(xp為為任任一一多多項項式式； A ,B 同為可逆或不可逆同為可逆或不可逆,可逆時它們的逆矩陣及伴隨可逆時它們的逆矩陣及伴隨(bn su)矩陣也分別相似。矩陣也分別相似。它它們們的的特特征征矩矩陣陣AE 和和BE 也也相相似似； 只證只證(3)，其余證明，其余證明(zhngmng)留作練習(xí)留作練習(xí).(1)(2)(3)(4)(5)(6),1BAPP mmAPPB)(1 )()(111APPAPPAPP .1PAPm 第4

5、頁/共26頁第五頁，共27頁。6例例1解解設(shè)設(shè) 32020002aA, , bB00020001, ,且且BA, ,求求 ba,。 BA ba 43 )(tr)(trBA ba 35 .53 ba另解另解相似矩陣有相同相似矩陣有相同(xin tn)的特的特征多項式，由征多項式，由detdetEAEB得得200200010340102ab第5頁/共26頁第六頁，共27頁。7計算上面計算上面(shng min)兩個行兩個行列式，得到列式，得到22212338ab比較等式兩邊比較等式兩邊 同次冪的系數(shù)，得同次冪的系數(shù)，得3138abb 3 .5ab解得第6頁/共26頁第七頁，共27頁。8 n n階矩

6、陣階矩陣A A與一個對角陣相似與一個對角陣相似(xin s)(xin s)的充分的充分必要條件是必要條件是A A有有n n個線性無關(guān)的特征向量。個線性無關(guān)的特征向量。 定理定理(dngl) 如果一個矩陣能與一個對角陣相似如果一個矩陣能與一個對角陣相似, ,稱該矩陣稱該矩陣可以可以( (相似相似) )對角化對角化。 證證 必要性：必要性：設(shè)設(shè)A與一個對角陣相似與一個對角陣相似, ,即存在一個可逆即存在一個可逆陣陣P, ,使使,211 nAPP 第7頁/共26頁第八頁，共27頁。9即即, PAP,1 APP將將矩矩陣陣P按按列列分分塊塊, ,),(21nP , ,則則有有 ),(),(2121nn

7、A , ),(),(221121nnnAAA 即即即得即得, 2 , 1 ,niAiii 說說明明n ,21是是A的的分分別別對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值n ,21的的特特征征向向量量, , 由由于于P可可逆逆，所所以以n ,21線線性性無無關(guān)關(guān)。 ,21 n 必要性得證。必要性得證。上述步驟倒過來上述步驟倒過來(gu(gu li) li)寫寫, ,即得充即得充分性證明。分性證明。 第8頁/共26頁第九頁，共27頁。10推論推論1 如果矩陣如果矩陣A的特征值互不相同的特征值互不相同(xin tn),則則A必可對角化必可對角化.因?yàn)閷儆谝驗(yàn)閷儆?shy)(shy)不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的不同

8、特征值的特征向量是線性無關(guān)的. .注意注意: 這個條件是充分這個條件是充分(chngfn)的而不是必要的的而不是必要的. 如果如果A的特征方程有的特征方程有重根重根，此時不一定有，此時不一定有n個線性個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣無關(guān)的特征向量，從而矩陣A不一定能對角化；但如果能找不一定能對角化；但如果能找到到n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量, A還是能對角化還是能對角化推推論論 2 2 n階階方方陣陣 A可可對對角角化化的的充充分分必必要要條條件件是是對對每每一一個個in重重的的特特征征值值i , ,矩矩陣陣AEi 的的秩秩為為inn . . （證證略略） 即齊次線性方程組即齊次線

9、性方程組 的基礎(chǔ)解系所含的的基礎(chǔ)解系所含的向量個數(shù)等于特征根向量個數(shù)等于特征根 的重數(shù)的重數(shù) 。0iEA Xiin第9頁/共26頁第十頁，共27頁。11解解633312321 AE, )9)(1( 633312011 633312011)1( 663332001)1( 6633)1( 21rr 例例2設(shè)設(shè),633312321 A求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對對角角陣陣. . 第10頁/共26頁第十一頁，共27頁。12，對對01 特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 6333123210AE,000110321 ，對對12 特征向量特征向量,)

10、0,1,1(2T 733322322AE,000100322 第11頁/共26頁第十二頁，共27頁。13特征向量特征向量,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( 特征向量特征向量,)0,1,1(2T ，對對93 特征向量特征向量,)2,1,1(3T 3333823289AE,0001206111 第12頁/共26頁第十三頁，共27頁。14,)1,1,1(1T 633312321 AE, )9)(1( ,)0,1,1(2T ,)2,1,1(3T , ),(321 P令令111 011 211則則.9101 APP第13頁/共26頁第十四頁，共27頁。15解解16303101

11、04 AE, )2()1(2 例例3判斷矩陣判斷矩陣 1630310104A能否對角化，若能，能否對角化，若能，對對11 0630210105AE,000000021 特征向量特征向量,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對對角角陣陣. . 第14頁/共26頁第十五頁，共27頁。161630310104 AE, )2()1(2 ，對對22 36305101022AE,000130051 特征向量特征向量,)3,1,5(3T ，對對11 ,)0,1,2(1T ,)1,0,0(2T 可對角化可對角化(jio hu),310101502 P.2111 AP

12、P第15頁/共26頁第十六頁，共27頁。17解解 1112124 AE,)2(2 ，對對21 2111221222AE,000100122 只有只有(zhyu)(zhyu)一個線性無關(guān)的特征向量一個線性無關(guān)的特征向量, ,例例4判斷矩陣判斷矩陣 能否對角化，若能，能否對角化，若能， 011102124A所以所以(suy)不能對角化不能對角化.21cc 求可逆陣求可逆陣P，使使APP1 為為對對角角陣陣. . 第16頁/共26頁第十七頁，共27頁。18設(shè)設(shè) 0011100yxA有三個線性無關(guān)的特征向量，求有三個線性無關(guān)的特征向量，求x和和y應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。 例例5解解,0)1()1(

13、011102 yxAE得得A的特征值為的特征值為 12,1 ，13 ， 只只要要12, 1 有有兩兩個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量即即可可， 即即矩矩陣陣AE 1的的秩秩等等于于 1 1, , 第17頁/共26頁第十八頁，共27頁。19 01110 yxAE即即矩矩陣陣AE 1的的秩秩等等于于 1 1, , AE 1 1010101yx,00000101 xy只只要要滿滿足足0 yx即即可可. . 第18頁/共26頁第十九頁，共27頁。20設(shè)設(shè)矩矩陣陣 51341321aA的的特特征征方方程程有有一一個個二二重重根根, 求求 a 的的值值, 并并討討論論 A 是是否否可可相相似似對對

14、角角化化. 例例6解解51341321 aAE513410)2(2 a51341011)2( a, )3188)(2(2a 第19頁/共26頁第二十頁，共27頁。21當(dāng)當(dāng)2 是是特特征征方方程程的的二二重重根根， 則則有有,03181622 a 解得解得2 a. 故故2 對對應(yīng)應(yīng)的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量有有兩兩個個, 從而從而(cng r)A(cng r)A可相可相似對角化似對角化. . 3213213212AE,000000321 秩為秩為1，)3188)(2(2aAE 第20頁/共26頁第二十一頁，共27頁。22)3188)(2(2aAE 若若2 不不是是特特征征方方程程的

15、的二二重重根根, 則則a31882 為完全平方為完全平方, 從從而而16318 a, 解解得得 ,32 aE,000110301 故故4 對對應(yīng)應(yīng)的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量只只有有一一個個, 從而從而A A不可相似不可相似(xin s)(xin s)對角化對角化. . 秩為秩為2，特特征征值值為為 2,4,4, 第21頁/共26頁第二十二頁，共27頁。23 一般來說，求矩陣的高次冪比較困難一般來說，求矩陣的高次冪比較困難(kn nn)(kn nn)，但若矩陣但若矩陣A A能對角化，即存在可逆陣能對角化，即存在可逆陣P P，使得，使得 ,1 APP則則,1

16、 PPA)()(111 PPPPPPAn于是于是(ysh),1 PPn1111)()()( PPPPPPPP轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(zhunhu)為對角陣求冪為對角陣求冪.第22頁/共26頁第二十三頁，共27頁。24例例7解解設(shè)設(shè) ,1221 A求求100A. . 1221 AE, )1)(3( ，對對31 22223AE,0011 ,111 ，對對12 2222AE,0011 ,112 ,1111 P,1111211 P第23頁/共26頁第二十四頁，共27頁。25,1111 P,1111211 P,131 APP1 PPAnn 11111003111121100 11111003111121100.1313131321100100100100 第24頁/共26頁第二十五頁，共27頁。26第25頁/共26頁第