2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9圓錐曲線的綜合問題第3課時(shí)

1、教育是最好的老師，小學(xué)初中高中資料匯集k12資料第3課時(shí)定點(diǎn)、定值、探索性問題題型一定點(diǎn)問題22)已知橢圓|2+b2=1(a>0, b>0)過點(diǎn)(0,1),其長軸、焦距和短軸的長例1 (2016 鎮(zhèn)江模擬直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn) Q P,與橢圓分別交于點(diǎn)M的平方依次成等差數(shù)列.一 一一 一 一PM 入 1MQ PNh 入 2NQN,各點(diǎn)均不重合且滿足(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若入i+入2= 3,試證明：直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).(1)解 設(shè)橢圓的焦距為2c,由題意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2, 又 a2=b2 + c2,a2 = 3.x22橢圓的方程

2、為v+y2=1. 3(2)證明由題意設(shè) P(0, m), Qx0,0), Mx1, y1),N(x2, y2),設(shè) l 方程為 x=t(ym),由 PM=入 1Mq口(x1, y1- m) = X 1(xo-x1, 一 y。，y1 mi= y1 入 1,由題意 y1W0,入 1 = 1.同理由 PN=12NQh 入 2=ym 1.,入 1 +入 2= 3, yy+ mly1 + y2) =0, x2+3y2=3,聯(lián)立 V得(t 之+ 3) y2- 2mty + t 2m- 3= 0,|x= t y m由題意知 A =4mit4-4(t2+ 3)( 12m2- 3)>0 ,口占2mt2t2

3、mi-3 且有 y1+y2=p，y1y2= t2+3，將代入得t2mi-3+2mit2=0,( mt)2= 1,由題意mt<0, . mt=-1,滿足，得直線l方程為x=ty+1,過定點(diǎn)(1,0),即Q為定點(diǎn).思維升華圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).跟蹤訓(xùn)臻1(2016 河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖，已知橢圓 C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上,專注專業(yè)學(xué)習(xí)堅(jiān)持不懈勇攀高峰試卷教案類13離心率e=¥，F(xiàn)是右焦

4、點(diǎn)，A是右頂點(diǎn)，B是橢圓上一點(diǎn)，BF± x軸，BF=乎.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線1： x=ty +入是橢圓C的一條切線，點(diǎn) M-小,y。，點(diǎn)N版 y2)是切線1上 兩個(gè)點(diǎn)，證明：當(dāng)t,入變化時(shí)，以MNK/直徑白圓過x軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).22解(1)由題意設(shè)橢圓方程為 卷=1(a>b>0),焦點(diǎn)F(c, 0),因?yàn)開=£, a 2將點(diǎn)Rc,平)的坐標(biāo)代入方程得 3+焉=1.由結(jié)合 a2=b2 + c2,得a=小，b= 1. 2故所求橢圓方程為x2+y2=1.W 2=1(2)由12'得(2 + t2)y2+2t 入 y+入 22 = 0.、

5、x= ty + 入因?yàn)?為切線，所以 A = (2t入)2 4( 12+2)(入22) = 0,即t2入2+2 = 0.設(shè)圓與x軸的交點(diǎn)為T(x0,0),則 TM=(/一x。，V1), TN= (>/2-xc, y2). 因?yàn)镸N圓的直徑，故TM TN= x02+y1y2=0.當(dāng)t=0時(shí)，不符合題意，故 tw0.因?yàn)閥1 =一2一入入 22_所以yy2=K1，代入結(jié)合得2，22-TM 在 X- ； + 入-2x2 t2= T ，要使上式為零，當(dāng)且僅當(dāng) x2= 1,解得x0= ± 1.所以T為定點(diǎn)，故動(dòng)圓過 x軸上的定點(diǎn)（一1,0）與（1,0）,即橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).題型二定值問題2

6、2例2如圖，已知橢圓C：展+q= 1,點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸下方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線y=x上.（1）求直線AB的方程；（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A, B的動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP, BP分別交直線y=x于點(diǎn)M N,證明:OM ONK;定值.解由已知得B（0 , -2）.設(shè)E（入，入），則A（2入，2入+ 2）.把A的坐標(biāo)代入橢圓方程，得21+ （入 +1）2=1,入4 一 3nr3 A-2_+ 2 入=0.一 3，. .一則入=2(入=0舍去)，得A(3, 1).-2-11由 kAB= 0- -3一3,1得直線AB的方程為y=-x-2,3即 x + 3y+

7、 6=0.(2)證明設(shè) Mmi m), Nn, n) , P(xc, y。)，則 x0+3y0= 12.由 A, P, M共線,即 XP/ 俞得(X0 + 3)( m+ 1) = (yc+ 1)(3),則m=3y° X0X0 yc+ 2由 B, P, N共線，即 BP/BNs| 彳# X0(n+2) =(yo+2) n,2XoXo- yo一 22所以mn=2xo6xoyox2 2xoyo+ y2 422xo 6xoyo212xo2xoyo- -xo 32=3.xxo 3x°y。3 x2 - 3xoyo從而 OM ON= *| m 。2| n| = 6 為定值.思維升華 圓錐

8、曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即 可求得. .1 .一跟蹤訓(xùn)練2316 揚(yáng)州模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)F(-, 0),直線l : x=12,點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RCL FR PQL l.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過A(1,o),且圓心M在曲線C上，TS是圓M在

9、y軸上截得的弦，當(dāng) M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦 長TS是否為定值？請說明理由.解(1)依題意知，點(diǎn) R是線段FP的中點(diǎn)，且 RQL FP,.RQ是線段FP的垂直平分線.點(diǎn)Q在線段FP的垂直平分線上，PQ= QF又PQ是點(diǎn)Q到直線l的距離，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2 = 2x(x>o).(2)弦長TS為定值.理由如下：取曲線C上點(diǎn)Mxo, yo) , M到y(tǒng)軸的距離為d=|xo| = xo,圓的半徑r = MA= yjxo12+ y則 TS= 2r2_d2 = 2y02xo+1,2丁點(diǎn) MfB曲線 C上，xo= 2,TS= 2yjyo y2+ 1 = 2 是定值.題型三探

10、索性問題例3(2015 四川)如圖，橢圓E：x2 + t=1(a>b>0)的離心率是 坐，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD a b2上，且 PC- PD= - 1.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn) p的動(dòng)直線與橢圓交于 a, b兩點(diǎn).是否存在常數(shù) 入，使得OA-Ob+ xPA- PB為定值？若存在，求 入的值；若不存在，請說明理由.解(1)由已知，點(diǎn) C, D的坐標(biāo)分別為(0, b), (0, b),又點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,1),且Pb PD= i,1 一 b = 一 1,于是c=理解得a=2, b=小,a 2a2-b2= c2,22所以橢圓E的方程為、+y2=1.(2)當(dāng)直線

11、AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y = kx+ 1, A, B的坐標(biāo)分別為(Xi, y1),(X2, y2).L 22X-+y 1聯(lián)立彳42' 得(2 k2+1)x2+4kx2=0,7= kx+ 1,其判別式 A =(4k)2+8(2k2+1) >0,4k_2所以 x1+X2= 2卜2+1, XiX2=2卜2 + 1，從而，OA- ob x PA- Pb=X1X2+ y1y2+ 入X1X2+ (y1一 1)( y2 1)2、=(1 + 入)(1 + k) X1X2+ k( Xi + X2) + 1一 2 人 一 4 k +2k2+1入一 12k2+ 1入一 2., 入一1所以

12、當(dāng) 入=1時(shí))-2入一 2 = 3)2 k十1此時(shí)OAOEB入PA- PB= 3為定值.當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線 AB即為直線CD一 r > >>_>此時(shí)，OA- O跳入 PA- PB=OC- ODFPC PD= - 2-1 = - 3.故存在常數(shù) 入=1,使得OAO引入PA- PB的定彳1- 3.思維升華解決探索性問題的注意事項(xiàng)探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開放

13、思維，采取另外合適的方法.22跟蹤訓(xùn)臻3 (2016 蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓 C：>=1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為A, B,原點(diǎn)O到直線AB的距離等于ab.(1)若橢圓c的離心率等于 坐,求橢圓C的方程；3(2)若過點(diǎn)(0,1)的直線l與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且P在第二象限，直線P桎交y軸于點(diǎn)Q試判斷以PQ為直徑的圓與點(diǎn)F1的位置關(guān)系，并說明理由.解(1)由題意，得點(diǎn) A(a, 0) , B(0 , b),直線AB的方程為y= 1,即bx+ayab=0. a b化簡得a2+b2=1.c 6 . a2

14、b2 2'e = a= 3，A a2 =3即 a2=3b2.a2=4.由，解得2 1b=4.橢圓C的方程為4X-+4y2=1.3(2)點(diǎn)Fi在以PQ為直徑的圓上.由題設(shè)，直線l與橢圓相切且l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+1,fx2 y2由I” j、y= kx+ 1,得(b2 + a2k2)x2+2ka2x+a2a2b2=0, (*)則 A = (2 ka2)2 4( b2+ a2k2)( a2- a2b2) =0,r .1 b2化簡得 1 b2a2k2=0,k2=-02-=1,點(diǎn)P在第二象限，k= 1.把 k=1 代入方程(*),得 x2+ 2a2x+ a4= 0,解得 x=

15、a2,從而 y=b2,P(-a2, b2).2b22從而直線 PE的萬程為y-b2= _a2_c(x+a2), ,b b2c-b2c令 x=0,得 y=ov?山0,亦).,2.2、, b c、從而 F1P= ( a + c, b ) , F10 (c, a?+ c),又 a2+b2=1, a2=b2+c2,2、 b c從而 F1P , F1 Q= c( - a + c) + 22+ cc a4+ c2+b4c a4+b4+c2 a2+ c -a2+ cc b2a2b2 + a2 +c2=av"F1P - EQ= 0.點(diǎn)F1在以PQ為直徑的圓上.思想與方法系列23.設(shè)而不求，整體代換2

16、2. ,一 x y典例(16分)橢圓C： 02 + b2= 1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F1、F2,離心率為垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連結(jié) PF, PF2,設(shè)/ FiPF2的角平分線PM良C的 長軸于點(diǎn)Mm,。)，求m的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過點(diǎn) P作斜率為k的直線l ,使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF、PB的斜率分別為ki、k2,若k2W0,證明J為定值，并求出這個(gè)定值.kki kk2思想方法指導(dǎo) 對題目涉及的變量工5妙地引進(jìn)參數(shù) (如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線方程等 )，利用

17、題 目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的 關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果，直接得定值.規(guī)范解答-,22 2 A八、,、"x2 y2mb解(i)由于c=ab, wx=c代入橢圓方程孑+討=1，得y=±a，,2b22由題意知=1,即a=2b2.ac 3 、，又 e=m= 2-,所以 a=2, b= 1.X22所以橢圓C的方程為z+y2=1.4分(2)設(shè) P(xo, yo)( yow。),又 F1(一5，0), F2h/3, 0),所以直線PF, PF的方程分別為IrF： yox(xo+S)y + A/3yo= 0,

18、l RF : yox (x。一 >/3)y V3yo = o.由題意知| my+V3yo|I my a/3yo|dyo+xo+3yo+2xo-32，一， ,一一, . xo 2由于點(diǎn)P在橢圓上，所以-+yo=1.| m- .3|I m- . 3|23xo-2 2.8 分因?yàn)橐唬?<mc/3, 2<xo<2,m乖一m可得丫 = ¥廠，3. 32 xo + 22- 2 xo .3一.33.所以 m= xo,因此o<n<o.10 分設(shè) P(x% yo)( y0W0),則直線l的方程為y yo= k(x xo).,2聯(lián)立得+y=1j yo=k x xo整理

19、得(1 +4kjx2 + 8(ky。一k2xo)x+4(y02kxoyo + k2x21)=0.12 分 由題意 A=0,即(4 x0)k2+2x0y0k+1y2=0.2 _ x02,又 4 + yo= 1,2. 22x0所以 16y0k + 8x0y0k + x0= 0,故 k=.4y0xo/3V。一2x0y，所以/ +- f-4y0小kk1 kk2 k k1 k2x° y°11、-、* 、,因此而+能為定值，這個(gè)定值為-8.16分課時(shí)作業(yè)1.已知橢圓x2 + y2=1 ( a>b>0)的離心率為 害,且過點(diǎn)A(0,1) a b2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；M N

20、兩點(diǎn).求證：直線MN1過定點(diǎn)P(0,(2)過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于 35)一 , c 3(1)解 由題息知，e="= 7, b=1, a 2所以a2c2= 1,解得a=2,、x22所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 -+y2= 1.(2)證明 設(shè)直線11的方程為y=kx + 1.y = kx+ 1聯(lián)立方程組x2 27+y=1得(4 k2+ 1)x2+ 8kx=0,解得X1= 一8k4k2+1所以Xm= 一8k.24k + 11-4k2 yM= 4k2T7.一 一r8k同理可信XN=Ek2 4 yN=E.則 Kmp=2_1 4k 34k2+ 1 + 58kT-2"4k + 1

21、8k2 8 T+5 k2-1 8k = 5k 'k24 3 8k2k2+4 +5k2 + 45 ""8k85 k2-1一= 5k '所以kMp= kNp,故直線 MN通過定點(diǎn)P(0 , |).52. (2016 云南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于竿,且過點(diǎn)(1 ,(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M 若 MA=入 1AF, MB=入 2BF,求證：入1 +入2為定值.設(shè)橢圓C的方程為2 .55 ，1-2+a2,5 25=1a2= b2+ c2 a2=5, b2=1.橢圓C的標(biāo)

22、準(zhǔn)方程為g+y2=1.(2)證明設(shè)點(diǎn)A, B, M的坐標(biāo)分別為 A(X1, y1)RX2, y2), M0,，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程是y=k(X 2),，y=k x-9 ,聯(lián)立X225+y = 1，得(1 +5k2)x2-20k2x+ 20k25 = 0, .2. 220k20k - 5 Xi + X2=XiX2=N.1 + 5k'1 + 5k 又 MA=入 1AF, MEB=入 2BF,X1X2將各點(diǎn)坐標(biāo)代入，得入1 = 2 *， 入2= 2 *，X1X2入 1+入2=。+。X X1+X2 2X1X24 2 X1+X2+X1X2

23、.2. 220k 20k51 + 5k2 1+ 5k2 22220k 20k -54 - 2 , t2+ . 21 + 5k 1 + 5k=-10.故入1+入2為定值.2233.橢圓E： >衣=1(2>13>0)的離心率為切點(diǎn)(鎘，2)為橢圓上的一點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為k的直線l過點(diǎn)A(0,1),且與橢圓E交于C, D兩點(diǎn)，B為橢圓E的下頂點(diǎn)，求 證：對于任意的k,直線BC BD的斜率之積為定值.(1)解 因?yàn)閑=9,所以c=33a, a2= b2+(43a) 2.又橢圓過點(diǎn)(6 /)，所以告+12=1.a b由，解得a2=6, b2=4,所以橢圓E的標(biāo)

24、準(zhǔn)方程為2+?=1.64(2)證明 設(shè)直線 l ： y=kX+1, C(X1, y1) , 口X2, y2),'"1，聯(lián)立56 4y= kX+ 1,得(3 k2+ 2) X2+ 6kX-9=0.6k9x+x2= 3/+2' x1X2= - 3/+ 2'易知 R0 , 2),痂 i,yi + 2 yz+2故 kBC kBD= -XiX2kxi + 3 kx2+ 3XiX2,2k X1X2+ 3k X1 + X2+9X1X2k2 3k X1+X29X1X2X1X2= k2+3k 2-(3 k2+2) 3=-2.所以對于任意的k,直線BC BD的斜率之積為定值. 2

25、24. (2017 江蘇命題專家原創(chuàng))已知橢圓C： X2+y2=1 ( a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為 F, F2, a b橢圓C過點(diǎn)M。，木),且 MFF2為正三角形.(1)求橢圓C的方程；(2)垂直于X軸的直線與橢圓 C交于A, B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P(4, 0)的直線PB交橢圓C于另一點(diǎn)E, 證明：直線 AE與X軸相交于定點(diǎn).(1)解橢圓C過點(diǎn)M。, #),=#,又MFF2為正三角形，且 MF = MF= a,b1.a = sin 60。=2, CZ1，橢圓C的方程為?+y=1.43(2)證明 由題意知，直線 PB的斜率存在，且過點(diǎn) R4,0)設(shè)直線PB的方程為y=k(X 4),B(

26、X1, y1), E(X2, y2),則 A(X1, 一 y。.y= k x-4一 22 一3x +4y = 12,.264 k 12得(3 +4k2)x2 32k2x+ 64k2- 12=0,則 X1 + X2=E2, X1X2 =3+4k，八 一 、一.V2 + V1直線AE的萬禾§為y-y-XzT(x X2)，教育是最好的老師，小學(xué)初中高中資料匯集k12資料* 一 y令 y = 0,得 x = X2X2 X1yi + y將 yi = k( Xi 4) , y2= k( X2 4),代入式,得* =2XiX2 X1 + X2XiX28專注專業(yè)學(xué)習(xí)堅(jiān)持不懈勇攀高峰試卷教案類15將式代入式，整理得 X=i.直線AE與X軸相交于定點(diǎn)(i,0).叵(20i6 南京模擬)已知半橢圓條+ )= 1(x>0)與半橢圓b2+X2=i(X<0)組成的曲線稱為 “果圓”，其中a2=b2+c2,a>b>c>0.如圖，設(shè)點(diǎn)F。，F(xiàn),F2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A,A2和B,艮是“果圓”與x, y軸的交點(diǎn).(i)若FoFiFz是邊長為i的等邊三角形，求“果圓”的方程； .b. .(2)若AiA