實驗曲線的繪制

1、用最小二乘法繪制實驗曲線在做各種實驗中，可以獲得大量的數(shù)據(jù)。一般的， 我們都會在實驗之后，將這些實驗數(shù)據(jù)進行某種處理， 然后用圖形來描繪實驗結(jié)果。用圖形來描繪要比提供一大堆枯燥的數(shù)據(jù)直觀明了得多。但是， 因為實驗本身會受到各種具體因素的影響。比如： 實驗儀器設(shè)備的精度、原材料因素、工作人員的水平以及溫度等的影響，使得實驗數(shù)據(jù)測得的數(shù)據(jù)總會或多或少的帶有誤差。也就是說， 這些實驗數(shù)據(jù)本身就不精確。所以在繪制實驗曲線的時候，如果是按點點通過將這些數(shù)據(jù)點連成曲線，那么這種看起來似乎很精確的方法恰恰是不符合實際情況的，因而是不可取的。正確的方法應(yīng)該是用一條光滑的曲線，以適當(dāng)?shù)姆绞絹肀平@些數(shù)據(jù)點。因為

2、曲線并不通過每個數(shù)據(jù)點，所以可以彌補由于誤差造成的數(shù)據(jù)點的跳動用一系列數(shù)據(jù)點（xi , yi ）（ i=1 ， 2， m），所要繪制的曲線yf ( x) ，用什么樣的表尊來評價這條曲線是否處于較為合理的狀態(tài)呢？通常把數(shù)據(jù)點的坐標(biāo)值與曲線上對應(yīng)的坐標(biāo)之差 作為評判的標(biāo)準(zhǔn)。在這里：i f (xi )yi式中 i 成為殘差；f ( xi ) 為理論值； yi 為相應(yīng)的實測值。m常用的評價方法是：使殘差的平方和i2 達到最小。 這也就是常說的 “最小二乘法” 。i 1用最小二乘法來繪制實驗曲線，其實質(zhì)也就是要找一個經(jīng)驗方程y f (x) 來描述這些數(shù)據(jù)點，并使每個點的 f ( xi) 和 yi 之差的

3、平方和為最小。所以，第一步首先要根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布情況進行預(yù)測， 該經(jīng)驗方程可能是屬于什么類型。比如說是線性函數(shù)， 還是二次函數(shù)或其他階次的多項式曲線。用最小二乘法擬合直線設(shè)有測得的數(shù)據(jù)點 (xi , yi )(i 1,2,m) ，根據(jù)這些數(shù)據(jù)點的分布情況，預(yù)測到他們之間呈線性關(guān)系，并設(shè)該線性方程為一般形式y(tǒng) a1 xa2 。于是，我們可以按最小二乘法的原理建立起下面的式子：mm2(a1 xia2yi )2ii 1i 1其中 xi , yi 為測得的已知數(shù)據(jù)點的值，故這個方程可以看成是關(guān)于a1 和 a2 的函數(shù)，即有兩個未知數(shù) a1 和 a2 。這兩個未知數(shù)也就是我們預(yù)測的線性方程中的系數(shù)和常數(shù)

4、項。于是，上式可改寫成函數(shù)形式為：f (a1 , a2 )( a1 xia2 yi ) 2mi2 達到最小值。也就是要求根據(jù)最小二乘法的要求，要使a1 和 a2 為何值時，該函i 1數(shù) f (a1 , a2 ) 能取得極小值。這是一個二元函數(shù)求極小值的條件的問題，其條件為：f (a1, a2 )0a1f (a1, a2 )0a22 (a1 xia2yi ) 0即：2 (a1 xia2yi ) xi0展開整理后的：a1xi a2 myia1xi2a2xixi yi上式寫成矩陣形式為：xima1yixi2xia2xi yi可以看出， 現(xiàn)行方程組可以有唯一解。這樣，求解該方程組可的未知系數(shù)a1 和

5、a2 的值，從而使得線性函數(shù)表達式y(tǒng)a1 xa2 唯一確定，并可根據(jù)該表達式繪出圖形。用最小二乘法擬合二次以上多項式曲線設(shè)有二次多項式為：ya1 x2a2 xa3 ，那么，我們可以類似的建立起一個多項式的線性方程組如下：xi2xima1yixi3xi2xia2yi xixi4xi3xi2a3yi xi2對于 n 次多項式： ya1 x na2 x n 1an xan 1可以相應(yīng)地建立起線性方程組為：xinxin 1xma1yixin 1xinxi2x a2yi xixi2 nxi2 n 1xin 1xinanyi xin由上式表示的線性方程組中，系數(shù)矩陣為（ n+1 ）× (n+1)

6、 的方陣，有 n+1 個未知數(shù)，即 ai (i 1,2, , n 1)，常數(shù)項由n+1 個，所以線性方程組有唯一解。我們可以用高斯校園法求解除方程組中的全部未知數(shù)：a1 , a2 , an 1 。從而使得所設(shè)知n 次多項式為已知。然后可以根據(jù)該多項式，使用差值的方法計算出繪圖用數(shù)據(jù)點。對于階次 n 的取值，一般不要超過 7。過高的階次不僅會增加運算工作量，并且還會使曲線產(chǎn)生不必要的抖動。具體的取值可以根據(jù)實際情況而定，以擬合處最為理想的曲線為準(zhǔn)則。解題過程下面，我們總結(jié)歸納一下最小二乘法解題編成的思路和步驟。1給出全部數(shù)據(jù)點 ( xi , yi )(i 1,2,m) ，并確定所需階次n。2按照

7、下式，建立系數(shù)增廣矩陣：xinxin 1ximyixin 1xinxi2xiyi xixi2nxi2 n 1xin 1xinyi xin設(shè)該增廣矩陣為P ，它是一個（ n+1 ）×(n+2) 的矩陣，其中每個元素的賦值式為：xinj k( j 1,2, , n1; k1,2, n 1)p j ,kj1 yi( j 1,2,n1; kn 2)xi3用高斯消元法解線性方程組將增廣矩陣 P 化為上三角矩陣Q ，使對角線上元素全為11q1,2q1, 3q1,nq1,n1q1,n201q2, 3q2 ,nq2,n1q2, n20011qn,n1qn, n21qn 1,n2然后用追趕法解出全部未知