常用因式分解方法

1、常用因式分解公式：2 2 2 21、(x a)(x b) =x (a b)x ab 2、(a_b) =a - 2ab b33223223、(a 二b) =a 二3a b 3ab 二b4、a -b =(a b)(a-b)3 3235、a 二b 二(a 二 b)(a fab b )6、 a3 b3 c3 _ 3abc = (a b c)(a2 b2 c2 _ ab _ be _ ac)2 27、(x ay)(x by)二 x (a b)xy aby常用因式分解方法：一、公式法：例1分解下列因式：2 2 x -5x 6 x -5x-6 4x2 4xy y2 x2-y2 2x 2y解：因為 6=(-2

2、) (3),- 5二(- 2) (- 3)所以公式(x a)(x b) = x2 (a b)x - ab 中的2 2a-2,b-3。故 x -5x6=x (-2 - 3)x (-2) (-3) = (x - 2)(x - 3) 因為-6 =1( -6 ) r圧 1，所以公式(x a) (xb>2 x (a b中的a b2 2a=1b = 6 故 x 5x6=x +(16)x + 1 x (6) = (x+1)(x6) 因為 4x2 =(2x)2,4xy =2 (2x) y，所以 4x2 4xy y2 =(2x)2 2 (2x)討寸二(2x y)2 因為x2-y2的公式中含有因式(x，y)

3、,(x-y) ， 2x 2 2(x y)，也含有因式(x y)， 所以 x2 - y2 2x 2y = (x y)(x - y) 2(x y) = (x y)(x - y 2)練習：2 x 4x-212 x -6x-16 x2 -6x 93 a -27 4x2 _y2 4x_2y x3 -3x2 3x-1二、十字相乘法(一)二次項系數(shù)為 1的二次三項式2直接利用公式 x (p q)x pq =(x p)(x q)進行分解。特點：(1)二次項系數(shù)是1 ；(2) 常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例2、分解因式：x2 5x 6”2x 2解：因為x二x x,6 =2 3，

4、列式子如右：，對角交叉兩個相乘后的和為5x，符合題x 3意，所以x2 5x (x 2)(x 3)。這種方法叫做十字相乘法。這種方法中，每豎列相乘分別是二次三項式中的第一項和第三項，而對角交叉相乘之和則恰為第二項。-1，對角交叉兩個相乘后的和為-6-7x例3、分解因式：x2 - 7x亠6解:因為x2 =x x,6 =(-1) (-6)，列式子如右：xx 符合題意，所以 X2-7x 6 =(x-1)(x-6)。例4、分解因式：x2y2 -3xy 2分析：把xy看成一個字母來進行因式分解-2，對角交叉兩個相乘后的和 -12(3) x 4x -5”，2 2xy解：因為x y =xy xy,2 = (-

5、2) (-1)，列式子如右：xy 為-3xy，符合題意，所以 x2y2-3xy 2 = (xy-2)(xy-1)。 練習 1、分解因式(1) x214x24(2) a2 15a36練習2、分解因式(1) x2 x 22 y 2y152 x -10x-24(3) (x y)2 -3(x y) -10(3)中把(x y)看成一個字母練習 3、分解因式(1) a2x2 -6ax 8 (2) 8x6 -7x3 -1 注：(1)中把ax看成一個字母，(2)中把x3看成一個字母,條件：(1)(2)(3)分解結果：a 二 a a?ac 二 sc?a?C2b 二 aC2 a?。b 二 a c2 a?C12ax

6、 bx c = (a1x O|)(a2x c2)例5、分解因式：3xaa2 二 a a,-128 = (-16) 8，列式子如右:a 題意，所以 a2-8a-128 =(a-16)(a 8) 第二步，把分解后的因式中的常數(shù)項都乘以b得：注：這種方法在對齊次多項式進行因式分解經(jīng)常采用。 _11x - 1023x-5解：因為3x =3x x,10=(-2) (-5)，列式子如右：，對角交叉兩個相乘后的和為x-2-11x，符合題意，所以 3x2 -11x VO =(3x-5)(x-2)。注：因為中間一次項系數(shù)為負數(shù)，而二次項和常數(shù)項都為正，所以正數(shù)10應分解為兩個負數(shù)之積。如果10分解為(-1) (

7、-10)，無論前面哪個與這兩個數(shù)相乘，其和都不可能為-11X，所以排除3x-53x-210分解為(_1) (-10)。但如果把誤列為，則對角交叉相乘后的和為 -17xx-2x-5與題意不和，所以也要舍棄。練習 4、分解因式：(1) 5x27x_6(2) 3x2_7x，2(三)二次項系數(shù)為 1的齊次多項式為了更好地進行因式分解，我們把齊次中的另一個字母設為1,化成了二次項系數(shù)為1的二次三項式。例6、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：第一步，把 a2 -8ab -128b2中的b看成1,則該式變成a2 -8a -128，對其進行因式分解 可得：-16，對角交叉兩個相乘后的和為-8a，符合

8、8a2 -8ab-128b2 =(a-16b)(a 8b)。解：因為a2 =a a， -128b2 =-16b 8b，列式子如右:a-16ba8b ，對角交叉兩個相乘后的和為-8ab，符合題意，所以 a2 -8ab-128b2 =(a-16b)(a 8b)練習 5、分解因式(1) a2 -ab -6b2(2) m2 -6mn 8n2(四)二次項系數(shù)不為 1的齊次多項式1,化成了二次項系數(shù)不為1的二次三參考上面的因式分解方法，我們把齊次中的另一個字母設為2項式ax bx c。參照二次項系數(shù)不為1的二次三項式的因式分解方法進行。例 7、2x2 -7xy 6y2222 x- 3 y解：因為2x =2

9、x x,6y =(-2y) (-3y)，列式子如右：，對角交叉兩個相乘后x-2y2 2的和為-7xy，符合題意，所以 2x -7xy 6y =(2x _3y)(x - 2y)。練習 6、分解因式：(1) 15x2 7xy-4y2(2) 12x2-11xy - 15y2三、添項、拆項、配方法。例8分解因式x3 - 3x2 4 解：拆項：把-3x2拆成x2 -4x2。x3 -3x24 =x3x24x24 =(x3x2)-4(x2-1)=x2 (x1)-4(x 1)(x_1)=(x 1)x2 -4(x-1) =(x 1)(x2 -4x 4) =(x 1)(x-2)2練習7、分解因式(1)x2-8x-

10、9( 2)(x 1)x3x22x2對常數(shù) 2進行拆項：x3x22x(x31)(x22x 1)(x2-1)2-2(x-1)4練習 7 中(2) (x 1)4 (x2 -1)2 -2(x -1)4 把(x 1)2 看成 a，把(x -1)2 看成 b，則 (x2 -1)2 珂(X 1)(x-1)2 =(x 1)2(x-1)2 二 ab(3) x4 -6x2 1(4) x3 x2 2x 24 2 2 2 2 4 2 4 2 2(3) x -6x 1 中對-6x 拆項，拆成-2x 和-4x ；則 x -6x (x - 2x 1)-4x。四、待定系數(shù)法：主要依據(jù)公式：2 2 2(x a)(x b) =

11、x (a b)x ab 和(x ay)(x by) = x (a b)xy aby例8分解因式：x2 3xy 2y2 4x 5y 3 解：把x2 3xy - 2y2 4x 5y 3分成二部分：二次項部分和一次項部分 二次項部分：x2 3xy 2y2，一次項部分4x 5y ;那么二次項部分可以先進行分解。22因為y2系數(shù)是 2,故可以設 x2 3xy 2y2 =(x ay)(x y)，將(x ay)(xy)展開得：aa22x2 (a )xy 2y2，所以 a 3，求得 a = 1 或 a = 2aa故 x2 3xy 2y2 =(x y)(x 2y)觀察x2 - 3xy 2y2 4x 5y 3，若

12、可以分解因式，則x2 - 3xy 2y2 4x 5y 3 一定是兩個一 次因式的積的形式，并且是x y m和x 2y n的形式。所以設 x2 3xy 2y2 4x 5y 3=(x y m)(x 2y n)，將(x y m)(x 2y n)展開得:2 2(x y m)(x 2y n) = x 3xy 2y (m n)x (2m n) y mn所以有：m n = 4,2 m n =5,mn =3，于是 m =1 ,n 3故 x2 3xy 2y2 4x 5y (x y 1)(x 2y 3)注：對于這種較復雜和因式分解可以分兩步走，先分解所有二次項的，再進行整體分解。練習：分解下列因式：2 2 2 2(1)3x -10xy-8y(2)x xy-2y -x 4y-2例17、當m為何值時，多項式 x2 -y2 mx 5y -6能分解因式，并分解此多項式。觀察x2 -y2 mx 56，若可以分解因式，則x y2 mx 5y -6 定是兩個一次因式的積的形式，并且是 x y a和x-y，b的形式。解：設 x2 -y2 mx 56= (x y a)(x - y b)，展開得：(x y a)(x _ y b) = x2 _ y2 (a b)x (b _a)y ab，所以有 m = a b,b