高等數(shù)學(xué)北大第二版33有理式的不定積分與有理化方法ppt課件

1、1. 有理式的不定積分有理式的不定積分 3-3 有理式的不定積分與有理化方法有理式的不定積分與有理化方法)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm 時,)(xR為假分式;nm 時,)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項(xiàng)式 + 真分 式分解假設(shè)干部分分式之和其中部分分式的方式為部分分式部分分式:,1 ;nAAnxaxa 22,1 ;nBxCBxCnxpxqxpxq )04,N(2qpn 有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法; )1(真真分分式式）（多多項(xiàng)項(xiàng)式式假假分分式式多多項(xiàng)項(xiàng)式式除除法法 ：部部分分分分式式之之和和真真分分式式待待定定系系數(shù)數(shù)法法 )2(11220

2、111P( ) Q( )P( ) ()() ()()klnmnmkllxxxb x ax axp x qxpx q真分式分母因式分解) ,1, , 2不可約因式不可約因式為為（其中（其中hiqxpxii 11111011AA1()nnbxaxa1AA()kkn kknkkxaxa11111111,1221111BB()mmmxCxCxp xqxp xq1122BB()lllm lm lllmllllxCxCxp xqxp xq（其其中中各各系系數(shù)數(shù)待待定定）；假設(shè)假設(shè) 有一個有一個 重實(shí)根重實(shí)根 , 那么那么 的部的部分分式中一定包含以下方式的分分式中一定包含以下方式的 項(xiàng)部分分式之和項(xiàng)部分分

3、式之和: Q xna /P x Q xn1nnAAxaxa假設(shè)假設(shè) 中包含因子中包含因子 時時 , 那么那么 的部分分式中一定包含以下的部分分式中一定包含以下方式的方式的 項(xiàng)部分分式之和項(xiàng)部分分式之和: 22/4mxpxqqp Q x /P x Q xm1122mmmB xCB xCxpxqxpxq 例如例如 將真分式將真分式 分解成部分分式分解成部分分式.) 1() 1()2)(1(12322xxxxxx ) 1(A11x原式)2(2(22212xAxA1(21111xCxB222121) 1(xCxB) 1(323131xCxB.) 1(21212xxCxB.,定系數(shù)法求出均為常數(shù)，下面將

4、用待與其中ijijijCBA四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2xqxpxCxBd. 32xqxpxCxBnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 再分項(xiàng)積分 )2(2pxB2pBC xqxpxCxBd. 32xqxpxBCxBd2222xqxpxpBCpxBd2222xqxpxpxBd222qxpxqpxxdB22)(244)2()2()2(22pqpxpxdBpC)ln(22qpxxB.42arctan42)2(22CpqpxpqBpC)ln(22qpxxB.42arctan4222Cpqp

5、xpqBpCxqxpxBpCd22xqxpxCxBnd)(. 42dxpgpxBCxBn)4()2(22222而最后一個積分可以用上上一節(jié)例6中的遞推公式.xqxpxpBCpxBnd)(2222xqxpxpxBnd)(222xqxpxBpCnd)(22nqxpxqpxxdB)()(222npqpxpxdBpC44)2()2()2(22nqpxxnB12)(1npqpxpxdBpC44)2()2()2(22闡明闡明:遞推公式nnaxxI)(d22知CaxaIarctan11利用遞推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa12

6、21Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例例1 求求dxxxx33) 1(1解解33) 1(1xxxxA11112xA222) 1( xA,) 1(332xA為常數(shù)，其中ijA第一種方法第一種方法: 待定系數(shù)法，待定系數(shù)法，可以用如下的方法求出待定系數(shù).上式通分后得33) 1(1xxx33222212311) 1() 1() 1() 1AxxxAxxAxxAx（.) 1() 1() 1(132222123113xAxxAxxAxAx11322212112221211312113)3()3()(1AxAAAAx

7、AAAxAAx比較恒等式兩端同次冪的系數(shù)，得一方程組：. 1, 03, 023, 111322212112212111211AAAAAAAAAA 從而解得, 111A, 212A, 122A. 232A故有33) 1(1xxxx112x3) 1(2x 于是dxxxx33) 1(1|ln x| 1|ln2x2) 1(1x11x.) 1(12Cx.) 1(| 1|ln22Cxxxx(*).) 1() 1() 1(132222123113xAxxAxxAxAx, 0(*)x中令在, 111A得, 1x令. 232A得),1() 1(2) 1(12221233xxAxxAxxx 化簡并約去兩端的公因子

8、化簡并約去兩端的公因子 后為后為x),1() 1(132222122xAxAxx,12221212AAxAx即得, 212A. 122A例例 2 求求.)1)(21 (d2xxx第二種方法第二種方法(賦值法),121)1)(21 (122xCBxxAxx兩端去分母,得.)2()2(12ACxCBxBA),21)()1 (12xCBxxA或比較兩端的各同次冪的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，有. 1, 02, 02CACBBA解之得.51,52,54CBA.151522154)1)(21 (122xxxxx解解xx21)21 ( d52221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCx

9、arctan51)1)(21 (d2xxx.151522154)1)(21 (122xxxxx43)21()21(231) 1(21222xxdxxxxd.312arctan3) 1ln(212Cxxx.312arctan31) 1ln(61) 1ln(311 23Cxxxxxdx1231) 12(2122xxdxxxdxx).1211(3111 23xxxxx.1 3xdx求dxxxx142212dxxxx122dxxxx1312212補(bǔ)例補(bǔ)例解解例例 3 求求.)2(2 2223dxxxxx,)2(2)2(2 2222223xCxBxCBxxAxxxx解解即有xCxBxxCBxxAxx22

10、2223)2()()2(2則得令,21, 0AxxCxBxxCBxxxx222223)2()()2(212即.22212323CCxBBxCxBxxxx,21 B, 0B, 1C02CC. 2 Cdxxxxx2223)2(2 dxx121 dxxx2121- 2dxx22)2(2- |ln21 x)2ln(41 2x2arctan21 xdxx22)2(2- dxx22)2(1 )2(1(21 2xdx)2(21)22x(x1 222xxdxdxxx)211(41)22x(x1 222用遞推公式求用遞推公式求或或x141 )22x(x1 2.2arctan241 Cxdxxxxx2223)2(

11、2 |ln21 x)2ln(41 2x2arctan221 x)2x(x1 22x1 . C 總之,有理函數(shù)分解為多項(xiàng)式及部分分式之和以后,各個部分都能積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).此外,由代數(shù)學(xué)知道,從實(shí)際上說,多項(xiàng)式Q(x)總可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解成為一次因式及二次因式的乘積,從而把有理函數(shù) 分解為多項(xiàng)式與部分分式之和.因此,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).)()(xQxP 但是,用部分分式法求有理函數(shù)的積分,普通說來計(jì)算比較繁,只是在沒有其它方法的情況下,才用此方法.例例4 求求.d132xxx解解1) 1(31d13332xxdxxx.| 1|ln313Cx補(bǔ)例補(bǔ)例 求求解解 原式原式xxd

12、14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 留意此題技巧留意此題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁 (1) (1) 三角有理式：三角有理式： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算構(gòu)由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四那么運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為成的函數(shù)三角函數(shù)有理式可記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx

13、,2tan12tan22xx 2sin2coscos22xxx 2. 三角函數(shù)有理式的不定積分三角函數(shù)有理式的不定積分 (2) (2) 三角有理式的積分法：三角有理式的積分法：2sec2tan122xx ,2tan12tan122xx 令令tan2xt 22sin,1txt221cos,1txt 2arctanxt則221dxdtt 萬萬能能代代換換dxxxR)cos,(sin2222212,.111ttRdtttt萬能交換公式：萬能交換公式：.化為有理函數(shù)的積分例例 4 求求.1cossincotxxxdx解解tan2xt 令，那么221dxdtt22sin,1txt221cos,1txt,

14、21cot2ttx1cossincotxxxdx2222211121221ttttdttttdttt221dttdtt1211212Ctt|ln2121.|2tan|ln212sin22cosCxxx注注1用萬能代換一定能將三角函數(shù)有理式的積分用萬能代換一定能將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分；化為有理函數(shù)的積分；2萬能代換不一定是最好的；萬能代換不一定是最好的；3常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)常用的將三角函數(shù)有理式的積分化為有理函數(shù)的積分的代換方法非的積分的代換方法非“萬能的：萬能的：1假設(shè)假設(shè) R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取，可取 u

15、=cosx 為積分變量；為積分變量；2假設(shè)假設(shè) R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=sinx 為積分變量；為積分變量；3假設(shè)假設(shè) R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取，可取 u=tanx 為積分變量為積分變量.例例 5 求求.sin1cossin2dxxxx解解.cos)(sin的形式此題中被積函數(shù)可寫成xxf這時. ”很自然想到“湊微分法dxxxx2sin1cossinxdxxsinsin1sin2xtsin令21 ttdtCt)1ln(212.)sin1ln(212Cx)sin1 (sin112122xdx例例

16、 6 求求.cossincosdxxxx解解dxxxxcossincoscosx同dxxtan11xttan令2111tdttdtttt)1111(212|1 |ln21t)1ln(212tarctantC|tan1 |ln21x|sec|lnxxC|sincos|ln21xxxC例例 7 求求.cossin24xdxx解解xdxx24cossindxxx22cos1)22cos1(2dxxxx) 12cos2cos2(cos8123xdx2sin)2sin1 (1612dxx24cos181dxx)2cos1 (81.)4sin412sin31(1613Cxxx.,cossin倍角公式降低其

17、方冪可以利用的偶次方冪及被積函數(shù)都是xx注注 3. 某些根式的不定積分某些根式的不定積分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可經(jīng)過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例 8 求求.21d3xx解解 令令,23xu那么,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC例例 9 求求.d11xxxx解解 令令,1xxt那么,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln 補(bǔ)例補(bǔ)例 求求.d3xxx解解 為去掉被積函數(shù)分母中的根式為去掉被積