2020年吉林省吉林市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)含答案解析

1、2020年吉林省吉林市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)、選擇題：本大題共 12題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合5, 6, 7,)8,集合 A=1 , 2, 3, 5, B=2 , 4, 6,則圖中5D . 42.)1+31rr =(題目要求的.1.設(shè)全集 U=1 , 2, 3, 4, 的陰影部分表示的集合為(，6, 7, 8A.1+2iB. - 1+2iC. 1 - 2iD , - 1 - 2i3. 已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若a1, a2, a3成等比數(shù)列，且a1=1,則公差d=()A.4.A.5.A.0B. 1C. 2D, 4設(shè)f (x) =ax2+bx+2是定義在1+a,

2、1上的偶函數(shù)，則f (-2, 2) B. ?C. (-8, 1)u (1, +8)D. (- 1下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是()函數(shù)f (x) =sinxcosx的最小正周期為 兀(x) >0的解集為(1)B.函數(shù)二:二2 " 在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點(diǎn)第9頁(共24頁)0V a< 1(2) ( 0> 0).若 E 在(-8, 1)內(nèi)取C.已知函數(shù)f(工)二1呂口(工”一 2工十2) aD.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果E服從正態(tài)分布N (2,值的概率為0.1,則E在(2, 3)內(nèi)取值的概率為 0.46.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為(A. - 2B. 3C. 4D.

3、 87 .某綜藝節(jié)目固定有 3名男嘉賓，2名女嘉賓.現(xiàn)要求從中選取 3人組成一個(gè)娛樂團(tuán)隊(duì), 要求男女嘉賓都有，則不同的組隊(duì)方案共有多少種()A. 9B. 15C. 18D. 218 . J 仙 - 1 I S =()A. 1B. 2C. 3D. y9 .函數(shù)支tEl(一二一)(1VXV4)的圖象如圖所示，A為圖象與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線l與函數(shù)的圖象交于 B , C兩點(diǎn)，則(而+M)穆=()A. - 8B, - 4C. 4D, 810 .已知數(shù)列an的前n和為Sn, ai=1.當(dāng)n比時(shí)，an+2Sn i=n,則S2020=()2015A. B. 1006c. 1007D. 100811

4、.已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為J 2孑=1 (a> b>0),則橢圓在其上一點(diǎn) a b13.fM-(X0, y0)處的切線方程為1-+-=1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓 =1 (a>b>0),其焦距為2,且過點(diǎn)(1, 羊點(diǎn)B為C1在第一象限中的彳i意一點(diǎn)，過 B 作C1的切線l,l分別與x軸和y軸的正半軸交于 C,D兩點(diǎn)，則AOCD面積的最小值為( ) A.半B.eC.正D. 212 .已知 y=f (x)是(0, +8)上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足(x- 1) 2f (x) +xf' (x) >0 (x力) 恒成立，f (1) =2,若曲線f (x)在

5、點(diǎn)(1,2)處的切線為y=g (x),且g (a) =2020,則 a等于()A. - 500.5B, - 501.5C, - 502.5D, - 503.5、填空題：本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分.P>114 .已知x, y滿足，算+vC4貝U z=2x+y的最大值為 .j " 2y- t<015 .三棱錐S-ABC及其三視圖中的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示，則棱 SB的長 為16 .如圖，四邊形OABC, ODEF, OGHI是三個(gè)全等的菱形，Z COD= Z FOG=ZlOA= ,J設(shè)而二a，麗二b，已知點(diǎn)P在各菱形邊上運(yùn)動(dòng)，且 OP=Xa+yb , x,

6、yCR,則x+y的最大 值為.H I A B三、解答題：本大題共 5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17 .在4ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角 A, B, C的對邊，且 b2+c2-a2=bc.(I )求角A的大小；(n )設(shè)函數(shù)f(x)=sinT-cosy+VScos2,當(dāng)f (B)取最大值時(shí)，判斷ABC的形狀.18 .吉林市某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次冬季戶外健身活動(dòng)，有 N人參加，現(xiàn) 將所有參加人員按年齡情況分為 20, 25), 25, 30), 30, 35), 35, 40), 40, 45), 45, 50), 50, 55)等七組，其頻率分布

7、直方圖如圖所示.已知 35, 40)之間的參加者有 8人.(I )求N和30, 35)之間的參加者人數(shù) N1；(n )已知30, 35)和35, 40)兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)教師的概率；(出)組織者從45, 55)之間的參加者(其中共有 4名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為己求E的分布列和數(shù)學(xué)期望 EE4的正方形，平面ABC，平面 AA 1C1C, AB=3 , BC=5(I )求證：AA 1,平面ABC ；(n)求二面角C-AiBi-Ci的大??；(出)若點(diǎn)D是

8、線段BC的中點(diǎn)，請問在線段ABi上是否存在點(diǎn)E,使得DE /面AA iCiC? 若存在，請說明點(diǎn) E的位置；若不存在，請說明理由.AlB120.已知拋物線 C的方程為y2=2px (p>0),點(diǎn)R (i, 2)在拋物線C上.(I )求拋物線C的方程；(n )過點(diǎn)Q (l, i)作直線交拋物線 C于不同于R的兩點(diǎn)A, B,若直線AR, BR分別交 直線l： y=2x+2于M, N兩點(diǎn)，求|MN|最小時(shí)直線 AB的方程.2i.設(shè) 乳工)二麗，曲線y=f (x)在點(diǎn)(i, f (i)處的切線與直線 2x+y+i=0垂直.(i)求a的值；(2)若？xqi, +8), f (x)而(x - i)恒

9、成立，求 m的范圍.求證：InMn+lVE t, EE N*) .i=14 i -I四.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時(shí)請寫清題號(hào).選彳4-1 :幾何證明選講22.如圖，在 4ABC 中，DCLAB 于 D, BELAC 于 E, BE 交 DC 于點(diǎn) F,若 BF=FC=3 , DF=FE=2 .(1)求證：AD ?AB=AE ?AC ；(2)求線段BC的長度.選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為K=acos 巾 ;y=bsin*J(a>b>0,。為參數(shù))，且曲線Ci上的點(diǎn)M (2,乃)對應(yīng)

10、的參數(shù)(=-.且以。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極一冗L冗I坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓，射線 片工-與曲線C2交于點(diǎn)D(/E,-“).(1)求曲線Ci的普通方程，C2的極坐標(biāo)方程;若A ( P1,0) , B ( P2,7U+)是曲線C1上的兩點(diǎn)，求1+p 1 P蒙的值.選彳4-5:不等式選講24.已知 f (x) =2|x 2|+|x+1|(1)求不等式f (x) v 6的解集；(2)設(shè) m, n, p 為正實(shí)數(shù)，且 m+n+p=f (2),求證：mn+np+pm <3.2020年吉林省吉林市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)參考答案與試題解析、選擇題：本大題共12題，每小題

11、5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集 U=1 , 2, 3, 4, 的陰影部分表示的集合為(5, 6, 7, 8,集合 A=1 , 2, 3, 5, B=2 , 4, 6,則圖中 )A. 2B . 4, 6C. 1 , 3, 5D .4,6,7, 8【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.【分析】由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為(【解答】解：全集U=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,CUA) AB,根據(jù)集合的運(yùn)算求解即可.8,集合 A=1 , 2, 3, 5, B=2 , 4, 6,由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為(CuA) nB,. CUA=4 , 6

12、, 7, 8, (CuA) AB=4 , 6.故選B.1%交2, 1-5 =()A. 1+2iB . 1+2iC . 1 - 2iD . - 1 - 2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【分析】 分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)1+i化簡即可.解：化簡可得1+2il+3i (1+i). 3+笈 -以直1 -5 "(1 - 1) (IH) - 1 - 12，2故選：B3,已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若 a1, a2, a3成等比數(shù)列，且 a1二1,則公差d=()A. 0B. 1C. 2D. 4【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】由a1，a2,a3成等比數(shù)列，且a1=1,得到a

13、22=a1?a3,即(1+d)2=1? (1+2d),解得即可.【解答】解：由a1，a2,電成等比數(shù)列，且a1=1,得到a22=a1?a3,(1+d) 2=1? (1+2d),解得：d=0, 故選：A.4.設(shè)f (x) =ax2+bx+2是定義在1+a, 1上的偶函數(shù)，則f (x) > 0的解集為()A. (-2, 2) B. ?C. (-8, 1)u (1, +8)D. (T, 1)【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱便可得出a=-2,而根據(jù)f (-x) =f (x)便可以得出2bx=0,從而得出b=0,這樣便得出f (x) = - 2x2+2,從而解不等式

14、-2x2+2>0便可 得出f (x) >0的解集.【解答】 解：f (x)為定義在1+a, 1上的偶函數(shù)；1- 1+a= - 1 ；.a= - 2；又 f ( - x) =f (x)；即 ax2 - bx+2=ax2+bx+2 ;-2bx=0 ;b=0 ；1. f (x) = - 2x2+2 ；.由 f(x)>0 得，2x2+2>0；解得-1 v xv 1 ；.f (x) >0 的解集為(-1, 1).故選：D.5.下列有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)f (x) =sinxcosx的最小正周期為 兀B.函數(shù)f G)=In工卷式一布區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點(diǎn)C.已知

15、函數(shù)fG)二1口6口(工'一 2工十2),若 嗎)>U, 則 0V a< 1 a£D.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果E服從正態(tài)分布N (2,方(Q0) .若油(-8, 1)內(nèi)取值的概率為0.1,則E在(2, 3)內(nèi)取值的概率為 0.4【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】A.根據(jù)三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行判斷.B.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判斷條件進(jìn)行判斷.C,根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.D .根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【解答】 解：A . f (x) =sinxcosx=sinx2x ,則函數(shù)的周期是 兀，故A正確,B.函數(shù)在(0, +8)上為增函數(shù)，貝u f (2) =ln2+1 2=

16、ln2 1=lngv0,f (3) =ln3+歹-2=ln3-亍=ln3 - In>0,即函數(shù)f(工)二Inx十不算2在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點(diǎn)，故1C. - f (亍)B正確，=loga (上 一 2乂十2)=logn，若戶口，則a> 1,故C錯(cuò)誤,D. E服從正態(tài)分布 N (2,否(40) .若E在(-8, 1)內(nèi)取值的概率為 0.1,則已在(3, + 8)內(nèi)取值的概率為 0.1,則已在(1, 3)內(nèi)取值的概率為1-0.1 - 0.1=0.8,即E在(2, 3) 內(nèi)取值的概率為 0.4,故D正確故選：C.6.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出 s的值為()開始1B. 2C.9.函數(shù)

17、廠W-) (1vxv4)的圖象如圖所示，A為圖象與X軸的交點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線i與函數(shù)的圖象交于 b, c兩點(diǎn)，則(而+而)?5a=()A. - 8B. - 4C. 4D. 8【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】先確定點(diǎn)A (2, 0)再射出點(diǎn)B (xi, y3 C (X2, y2),由題意可知點(diǎn) A為B、C 兩點(diǎn)的中點(diǎn)，故 xi+x2=4, yi+y2=0.將點(diǎn)B、C代入即可得到答案.【解答】解：由題意可知B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)A (2, 0),設(shè)B(xi,yi),C(x2,y2),貝Uxi+x2=4, yi+y2=0(loS+tJC)瘋=(xi, yi) + (x2, y2) ? (2,

18、0) = (xi+x2, yi+y2)? (2, 0) = (4, 0) ? (2, 0) =8 故選D.i0.已知數(shù)列an的前n和為Sn, ai=i.當(dāng)n或時(shí)，an+2Sn i=n,則S2020=()2015A.B. 1006c. 1007D. 1008【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.【分析】 通過當(dāng)n或時(shí)3n+2Sn-1=n與an+1+2Sn=n+1作差、整理，進(jìn)而可知 a2n 1=1 > a2n=0, 計(jì)算即得結(jié)論.【解答】解：.當(dāng)n或時(shí)，an+2Sn i=n,an+i+2Sn=n+1,兩式相減）得：an+i - an+2an=1）即 an+1+an=1）又 a2+2Si=2,即a2=0滿足上

19、式，a2n 1=1, a2n=0,2020=2 M008,.S2020=1 M008=1008,故選：D.11.已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為2225+彳=1(a>b>0),則橢圓在其上一點(diǎn) A防工yoy(x°, y°)處的切線方程為1-+一尸=1，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓=1 （a>b>0）,其焦距為2,且過點(diǎn)（1, 返）.點(diǎn)B為C1在第一象限中的彳i意一點(diǎn)，過 B作Ci的切線1,1分別與X軸和y軸的正半軸交于 C,D兩點(diǎn)，則AOCD面積的最小值為（）A.g B.e C. 6 D. 2【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】依題意得：橢圓的焦點(diǎn)

20、為 Fi （ - 1, 0）, F2 （1, 0）,可得c=1,代入點(diǎn)C1, 孚）， 計(jì)算即可求出a, b,從而可求橢圓 C1的方程；設(shè)B （X2, y2）,求得橢圓C1在點(diǎn)B處的切 線方程，分別令x=0, y=0,求得截距，由三角形的面積公式，再結(jié)合基本不等式，即可求 OCD面積的最小值.【解答】 解：由題意可得2c=2,即c=1, a2 - b2=1,<21 I 1代入點(diǎn)（1,堂），可得W+5=1, 2a2b解得a=肥,b=1 ,即有橢圓的方程為. +y2=1,2設(shè) B (X2, y2),則橢圓C1在點(diǎn)B處的切線方程為衛(wèi)x+y2y=1第11頁（共24頁）令 X=°, yD=

21、T-,令 y=0 ,可得 XC=；及s21 1 2 I所以 SzxocdTT，又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以 X2, y2>0,其2+y22=1,S/xocdN5，當(dāng)且僅當(dāng)=y22=y, 2 上所以當(dāng)B （1, 岑）時(shí)，三角形 OCD的面積的最小值為 V2.故選：B.12.已知 y=f（X）是（0, +oo）上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足（X- 1） 2f （X） +Xf'（X） >0（X#1） 恒成立，f （1） =2,若曲線f（X）在點(diǎn)（1,2）處的切線為y=g（X）,且g （a） =2020,則 a等于（）A. - 500.5B. - 501.5C. - 502.5D. - 50

22、3.5【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【分析】令F (x) =x2f (x),討論x>1, 0V x<1時(shí)，F(xiàn) (x)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，可得 F'(1) =0,即有 2f (1) +f' (1) =0,由f (1) =2,可得f，(1) =-4,求得f (x)在(1, 2)處的切線方程，再由 g (a) =2020, 解方程可得a的值.【解答】解：令F (x) =x2f (x),由(x 1) 2f (x) +xf ' (x) >0 (x力)，可得x>1 時(shí)，2f (x) +xf'(x) >0 即 2xf (x) +x2f&

23、#39;(x) >0,即 F (x)遞增；當(dāng) 0vxv 1 時(shí)，2f (x) +xf ' (x) v 0 即 2xf (x) +x2(x) v 0,即 F (x)遞減.即有x=1處為極值點(diǎn)，即為 F' (1) =0,即有2f (1) +f' (1) =0,由 f (1) =2,可得 f' (1) =-4,曲線f (x)在點(diǎn)(1, 2)處的切線為y - 2= - 4 (x- 1),即有 g (x) =6 4x,由 g (a) =2020,即有 6- 4a=2020,解得 a=- 502.5.故選：C.、填空題：本大題共 4個(gè)小題，每小題 5分.【考點(diǎn)】函數(shù)的

24、值.【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.-f =ff 產(chǎn)f (5) =3.故答案為：3.14 .已知x, y滿足一五+«4 則z=2x+y的最大值為7k - 2y-【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值.【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.由 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直線y= - 2x+z ,由圖象可知當(dāng)直線 y= - 2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y= - 2x+z的截距最大， 此時(shí)z最大.代入目標(biāo)函數(shù) z=2x+y得z=2 X3+1=6+1=7 .即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7. 故答案為：71

25、5 .三棱錐S- ABC及其三視圖中的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示，則棱 SB的長【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖.【分析】由已知中的三視圖可得 SC，平面ABC,底面4ABC為等腰三角形，SC=4, AABC 中AC=4 , AC邊上的高為2乃，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得到答案.【解答】 解：由已知中的三視圖可得 SC，平面ABC,且底面4ABC為等腰三角形，在4ABC中AC=4 , AC邊上的高為 2：氏故 BC=4,在 RtASBC 中，由 SC=4,可得 SB=4-72,故答案為：4.'：16.如圖，四邊形 OABC, ODEF, OGHI是三個(gè)全等的菱形， Z COD= Z FOG

26、=Zl0A=- J設(shè)而二r, 由二匕，已知點(diǎn)P在各菱形邊上運(yùn)動(dòng)，且 OP=Xa+yb，x, yCR,則x+y的最大值為 4 .H 1 A B【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義.【分析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，GC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為2,從而求出D, H點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣便可得到向量的坐標(biāo).再設(shè)P (X, Y),根據(jù)條件即可得出 x+y的解析式，設(shè)x+y=z, X, 丫的活動(dòng)域是菱形的邊 上，根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求出z的最大值，即求出 x+y的最大值.第13頁(共24頁)以GC所在直線為x軸，過O且垂直于GC的直線為y軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為2,_則：D (1,

27、 V3), H L 3, 一耳)；設(shè) P (X, Y),則(X, Y) =x (1,g)+y (-3,一5;- 3y|_¥=V3：t'V3y；y軸上的截距;當(dāng)截距最大時(shí)，z取到最大值；根據(jù)圖形可看出，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)E (0, 26)時(shí)，截距最大;1-2-/3=0+-z;解得z=4；，x+y的最大值為4.故答案為：4.三、解答題：本大題共 5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在4ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角 A, B, C的對邊，且 b2+c2-a2=bc.(I )求角A的大??；(n )設(shè)函數(shù)=顯門£口三二，當(dāng)f (B)取最大值時(shí)，判斷

28、 ABC的形狀.【考點(diǎn)】 余弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.f士式n(B)吊，由三角函數(shù)的最值可得，中，b2+c2 a2=bc.【分析】(I )由已知和余弦定理可得 COsA=y,可得(n)由題意和三角函數(shù)公式可得可判4ABC是直角三角形.【解答】 解：(I) .ABC22 _2由余弦定理可得g法二十' 2bc 2(n) f(x)-sinT-cos-y+Vsco ba，此時(shí)易知道ABC是直角三角形.18.吉林市某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次冬季戶外健身活動(dòng)，有 N人參加，現(xiàn) 將所有參加人員按年齡情況分為20,25),25,30),30,35),35,40),40, 45), 4

29、5,50), 50, 55)等七組，其頻率分布直方圖如圖所示.已知35, 40)之間的參加者有 8人.(I )求N和30, 35)之間的參加者人數(shù) Ni；(II )已知30, 35)和35, 40)兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有 1名數(shù)學(xué)教師的概率；(出)組織者從45, 55)之間的參加者(其中共有4名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為已求E的分布列和數(shù)學(xué)期望 EE【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】（I ）設(shè)頻率分布直方圖中 7

30、個(gè)組的頻率分別為 Pl, P2, P3, P4, P5, P6, P7,P4=0.04X5=0.2,從而bl三二40,由此能求出30, 35）之間的志愿者人數(shù).（n ）由（I ）知30, 35）之間有40 >0.3=12 A,設(shè)從30, 35）之間取2人擔(dān)任接待工作， 其中至少有1名數(shù)學(xué)教師的事件為事件B；從35, 40）之間取2人擔(dān)任接待工作其中至少有1名數(shù)學(xué)教師的事件為事件C,由此推導(dǎo)出女教師的數(shù)量為E的取值可為1, 2, 3,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出E的分布列和數(shù)學(xué)期望 E8【解答】解：（I ）設(shè)頻率分布直方圖中7個(gè)組的頻率分別為P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P4

31、=0.04 X5=0.2,所以二40由題意 P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7=1 ,而 P3=1 - （ P1+P2+P4+P5+P6+P7）=1-5 （0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01 ） =0.3.30, 35）之間的志愿者人數(shù) N1=40 >P3=40 >0.3=12 A 1-（n ）由（I ）知30, 35）之間有 40>0.3=12 人設(shè)從30, 35）之間取2人擔(dān)任接待工作，其中至少有1名數(shù)學(xué)教師的事件為事件B;從35, 40）之間取2人擔(dān)任接待工作其中至少有1名數(shù)學(xué)教師的事件為事件C,因?yàn)閮山M的選擇互不影響，為相互獨(dú)立事件，22

32、P（B）=1-P ®=1-雪P© =1- P 二 L 號(hào)溪所以 P（BC）=PCB）P（C）W! oo45, 55）之間共有 5X （0.01+0.02） M0=6人，其中4名女教師，2名男教師，_rfv p從中選取3人，則女教師的數(shù)量為E的取值可為1, 2, 3 -所以近二1）二卓春p（"2"3V所以分布列為E 123PE的數(shù)學(xué)期望為E=2,19.如圖，在三柱ABC-A1B1C1中，四邊形AAlClC是邊長為4的正方形，平面ABC， 平面 AA 1C1C, AB=3 , BC=5(I )求證：AA 1,平面ABC ；(n)求二面角C-A1B1-C1的大

33、??；(出)若點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，請問在線段AB1上是否存在點(diǎn)E,使得DE /面AA1? 若存在，請說明點(diǎn) E的位置；若不存在，請說明理由.AlB1第19頁(共24頁)【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面垂直的判定.【分析】(I )根據(jù)線面線面垂直的判定定理即可證明AA1,平面ABC ;(n )建立坐標(biāo)系求出二面角的法向量，利用向量法即可求二面角C-A1B1-C1的大??；(出)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論.【解答】證明：(I)因?yàn)樗倪呅?AA1C1C是邊長為4的正方形，所以 AA11AC,因?yàn)槠矫鍭BC，平面AA 1C1C且平面ABC 評面AA 1

34、C1C=AC ,所以AA 1,平面ABC -(n )解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AC, AB, AA1所在直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：(圖略)則 A, B,C,A1,B1,C1 點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A (0, 0,0)；B (0, 3,0)；C (4, 0,0)；A1(0, 0, 4); B1 (0, 3, 4); C1 (4, 0, 4)則看.Q) 設(shè)平面CA1B1的法向量m二(k ，y.e )所以"二一：! . ； | 卜令x'=1,所以& 1),又易知平面A1B1C1的法向量為3=(0, 0, 1)所以C-A1B1 - C1的大小為45eas 6

35、二1二二外音所以二面角| |n| 占(出)設(shè)E (X1, y1, z。；平面AA1C1C的法向量力因?yàn)辄c(diǎn)E在線段ABi上，所以假設(shè) AE= ?ABi,所以町二0 y產(chǎn)3 工戶(0<入冬)即E (0, 3入4人),所以正一 2, 3震喝 ).又因?yàn)槠矫鍭AlCiC的法向量易知3, 0).而DE/面AAiCiC,所以西,易加，所以入耳 iu所以點(diǎn)E是線段ABi的中點(diǎn).若采用常規(guī)方法并且準(zhǔn)確，也給分.20.已知拋物線 C的方程為y2=2px (p>0),點(diǎn)R (1,2)在拋物線C上.(I )求拋物線C的方程;(n )過點(diǎn)Q (I, 1)作直線交拋物線 C于不同于R的兩點(diǎn)A, B,若直線A

36、R, BR分別交直線I： y=2x+2于M, N兩點(diǎn)，求|MN|最小時(shí)直線 AB的方程.【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題.【分析】(I )由點(diǎn)R (1, 2)在拋物線C: y2=2px (p>0)上，求出p=2,由此能求出拋 物線C的方程.(n )設(shè) A (xi, yi) , B (X2y2),設(shè)直線 AB 的方程為 x=m (y- 1) +1, mO,設(shè)直線 AR的方程為y=ki (x - 1) +2,由已知條件推導(dǎo)出 xm=-XN =2L丁，由此求出|MN|=2' n y2一 時(shí) | ID- 1 |y2- 4my+4 ( m- 1) =0 ,解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)X

37、N =L2.,再用換元法能求出|MN|的最小值及此時(shí)直線 AB的方程.【解答】 解：(I ) 丁點(diǎn)R (1, 2)在拋物線C： y2 =2px (P>0)上， -4=2p,解得 p=2,拋物線C的方程為y2=4x.(n )設(shè) A (xi, y。，B (x2y2),直線 AB 的方程為 x=m (y- 1) +1 , m肛I - 1)+1由“，消去x,并整理，得:ly?=4x.y1+y2=4m, yi?y2=4 (m - 1),設(shè)直線AR的方程為y=k1 (x- 1) +2,即當(dāng)t=-2, m=-1時(shí)，|MN|取最小值為 此時(shí)直線AB的方程為x+y - 2=0 .21.設(shè)£&am

38、p;)二產(chǎn),曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與直線 2x+y+1=0垂直.(1)求a的值；(2)若？xQ1, +8), f (x)而(x- 1)恒成立，求 m的范圍.求證：1口力£口44 工 7. (nE N") .i=14 1 - 1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用.【分析】(1)求得函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線 y=f (x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求 a的值；(2)先將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為-工),設(shè)式x)-id(k-L),即？xC(1, +2), g (x)磷.利用導(dǎo)數(shù)研

39、究g (x)在(0, +2)上單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值， 即可求得實(shí)數(shù) m的取值范圍.(3)由(2)知，當(dāng)x1時(shí)，nF士時(shí)，13占aL)成立.不妨令 叼普&T, kE，2Z X得出,再分別令k=1, 2,，n.得到n；ln(2k+l) - ln(2k - 1)< , kEN* 4k2 T個(gè)不等式，最后累加可得.(史斗4口x)(91) - (x+a) Inx解答解：(1) f,(必="(x+1)2由題設(shè)子,.(l+a)2 141+a=1 , - a=0.(2), ?xC (1, +8), f (x)6(x - 1),即)=lnx -,即？xC (1, +8), g (x)

40、 O.若m<0, g' (x) >0, g (x)為(1) =0,這與題設(shè)g (x)4矛盾.若m 0方程-mx2+x - m=0的判別式 =1 - 4m2當(dāng)與，即時(shí)，g' (x)4. g (x)在(0, +8)上單調(diào)遞減，, g (x)啕(1) =0,即不等式成立.當(dāng)口<111<7時(shí)，方程-mx2+x - m=0,其根宜二1 A1當(dāng) xe (1 , X2), g' (x) >0, g (x)單調(diào)遞增，g (x) > g (1) =0,與題設(shè)矛盾.綜上所述,(3)由(2)知，當(dāng)x>1時(shí), 不妨令.券4L-2k- 12 2k- 1

41、2k+l > q/ - 11ln(+n-lnC2k-l)<L( kEr44kIi(ln3-lnl)< 4i2 - 1-y (ln5 - n3)<444乂 22 - 1- ln(2n -44Xn?-l累加可得占ln(2n+l)<Z 卷. (口£產(chǎn)).即4i=l - 1lnjT<E7(門 En*)i=14i-l四.請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.解答時(shí)請寫清題號(hào).選彳4-1 :幾何證明選講22.如圖，在 4ABC 中，DC LAB 于 D, BE LAC 于 E, BE 交 DC 于點(diǎn) F,若 BF=FC=

42、3 , DF=FE=2 .(1)求證：AD ?AB=AE ?AC ；(2)求線段BC的長度.s【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定.【分析】（1）推導(dǎo)出B, C, D, E四點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，由割線定理能證明AD ?AB=AE ?AC .（2）過點(diǎn)F作FGBC于點(diǎn)G,推導(dǎo)出B, G, F, D四點(diǎn)共圓，F(xiàn), G, C, E四點(diǎn)共圓, 由此利用割線定理能求出BC的長.【解答】 證明：（1）由已知ZBDC= ZBEC=90 °,所以B, C, D, E四點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，由割線定理知：AD ?AB=AE ?AC .解：（2）如圖，過點(diǎn) F作FGLBC于點(diǎn)G,由

43、已知，/BDC=90。，又因?yàn)镕GXBC,所以B, G, F, D四點(diǎn)共圓，所以由割線定理知： CG?CB=CF?CD,同理，F(xiàn), G, C, E四點(diǎn)共圓，由割線定理知：BF?BE=BG ?BC, + 得：CG?CB+BG ?BC=CF?CD+BF ?BE ,即 BC2=CF?CD+BF?BE=3X5+3>5=30,選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Ci的參數(shù)方程為TCrK-acas 中|y=bsin$線Ci上的點(diǎn)M （2, V3）對應(yīng)的參數(shù) 后7丁.且以。為極點(diǎn),（a>b>0,。為參數(shù)），且曲X軸的正半軸為極軸建立極所以BC= /砧.第23頁（共24

44、頁）TTl冗坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點(diǎn)的圓,射線0=3-與曲線C2交于點(diǎn)D（J,-“）.（1）求曲線Ci的普通方程，C2的極坐標(biāo)方程;（2）若A （羽，。），B （ p2,什馬）是曲線Ci上的兩點(diǎn)，求不T+，T的值.【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.【分析】(1)由曲線Ci上的點(diǎn)M (2,m)對應(yīng)的參數(shù)。目可得:3得即可得到曲線 Cl的普通方程.設(shè)圓 C2的半徑為R,由于射線(雅,),可得缶2Rc 口5,解得即可得到圓 C2的極坐標(biāo)方程.(2)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為:(Rggs。)2 3Is"gin 日)Vcos2 . sin2 g兀，把 A ( Pi

45、, 9), B (叫什一二【解答】解：(1)由曲線Ci上的點(diǎn)M (2, V5)對應(yīng)的參數(shù)解得曲線Ci的普通方程為設(shè)圓C2的半徑為R,由于射線7UL,解得R=i.圓C2的極坐標(biāo)方程為k2cos 0.(2)曲線Ci的極坐標(biāo)方程為:cos6 sin"白-A ( 明0), B (0 9+n21w=cos2 9 ,=千251 口16e .=16 4=16712=305-兀，解Vj-fc'sin與曲線C2交于點(diǎn)D2_二1，化為代入曲線Ci即可得出.與曲線C2交于點(diǎn)D (-/2(r q。亨W )2 Jr是曲線Ci上的兩點(diǎn),TTw可得:).二1，化為7T 2=acos- Vs=b£in- J 2 A