高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的作用1.3.2極大值與極小值教學案蘇教版選修2-2

1、13.2極大值與極小值 對應學生用書P16極值已知 y f ( x) 的圖象 ( 如圖 ) 問題 1：當 x a 時，函數(shù)值 f ( a) 有何特點？提示：在 x a 的附近， f ( a) 最小， f ( a) 并不一定是 y f ( x) 的最小值問題 2：當 x b 時，函數(shù)值 f ( b) 有何特點？提示：在 x b 的附近， f ( b) 最大， f ( b) 并不一定是 y f ( x) 的最大值1觀察下圖中的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象在點P 處從左側到右側由“上升”變?yōu)椤跋陆?”(函數(shù)由單調 遞增 變?yōu)閱握{ 遞減 ) ，這時在點P 附近，點 P 的位置最高， 亦即 f ( x1 )

2、比它附近點的函數(shù)值都要大，我們稱f ( x1) 為函數(shù) f ( x) 的一個 極大值2類似地，上圖中f ( x2) 為函數(shù)的一個 極小值3函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值極值與導數(shù)的關系觀察圖 ()問題 1：試分析在函數(shù)取得極大值的x1 的附近左右兩側導數(shù)的符號有什么變化？提示：左側導數(shù)大于0，右側導數(shù)小于0.問題 2：試分析在函數(shù)取得極小值的x2 的附近左右兩側導數(shù)的符號有什么變化？1/12提示：左側導數(shù)小于0，右側導數(shù)大于0.1極大值與導數(shù)之間的關系如下表：xx1 左側x1x1 右側f (x)f (x)>0f (x) 0f (x)<0f ( x)增極大值 f ( x1)減2

3、極小值與導數(shù)之間的關系如下表：xx2 左側x2x2 右側f (x)f (x)<0f (x) 0f (x)>0f ( x)減極小值 f ( x2)增1極值是一個局部概念，它只是某個點的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在整個定義域內是最大或最小2函數(shù)的極值并不惟一( 如圖所示 ) 3極大值和極小值之間沒有確定的大小關系，如圖所示， f ( x1) 是極大值， f ( x4) 是極小值，而 f ( x4)> f ( x1) 對應學生用書 P17求函數(shù)的極值 例 1求下列函數(shù)的極值：(1) f ( x) x3 3x2 9x 5；ln x(2) f ( x) x.

4、思路點撥 按求函數(shù)極值的步驟求解，要注意函數(shù)的定義域2/12322 精解詳析 (1) 函數(shù)f ( x) x 3x 9x 5 的定義域為R，且f (x) 3x 6x 9.當 x 變化時， f (x) 與 f ( x) 的變化情況如下表：x( ， 1) 1( 1,3)3(3 ，)f (x)00f ( x)極大值 10極小值 22因此，函數(shù)f ( x) 的極大值為f ( 1) 10；極小值為 f (3) 22.ln x(2) 函數(shù) f ( x) x 的定義域為 (0 ， ) ，1ln x.且 f (x) x2令f( ) 0，解得x e.x當 x 變化時， f (x) 與 f ( x) 的變化情況如下

5、表：x(0 ， e)e(e ，)f (x)0f(x)1極大值 e1因此函數(shù) f ( x) 的極大值為f (e) e，沒有極小值 一點通 (1) 求可導函數(shù)極值的步驟：求導數(shù) f (x) ；求方程 f (x) 0 的根；檢查 f (x) 的值在方程f (x) 0 的根左右的符號，如果左正右負，那么f ( x) 在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f ( x) 在這個根處取得極小值(2) 注意事項：不要忽視函數(shù)的定義域；要正確地列出表格，不要遺漏區(qū)間和分界點1函數(shù) f ( x) 的定義域為開區(qū)間 ( a， b) ，導函數(shù) f (x) 在( a， b) 內的圖象如圖所示，則函數(shù) f ( x) 在

6、開區(qū)間 ( a， b) 內有 _個極小值3/12解析：由圖可知，在區(qū)間(a，1) ，(x2,0)，(0，3) 內( )>0 ；xxfx在區(qū)間 ( x1， x2) ，( x3， b) 內 f (x)<0.即 f ( x) 在 ( a， x ) 內單調遞增，1在 ( x1， x2) 內單調遞減，在 ( x2， x3) 內單調遞增，在( x3， b) 內單調遞減所以，函數(shù)f() 在開區(qū)間 (a，) 內只有一個極小值，xb極小值為 f ( x2) 答案： 12關于函數(shù) f ( x) x3 3x2 有下列命題，其中正確命題的序號是_ f ( x) 是增函數(shù)；f ( x) 是減函數(shù)，無極值；f

7、 ( x) 的增區(qū)間是 ( ， 0)和(2 ， ) ，減區(qū)間為 (0,2) ； f (0) 0 是極大值， f (2) 4 是極小值解析： f (x) 3x26x，令 f (x) 0，則 x 0 或 x 2.易知當 x( ， 0) 時， f (x)>0 ；當x (0,2)時，f( )<0 ；x當 x (2 ， ) 時， f (x)>0.所以 f ( x) 的單調增區(qū)間是 ( ， 0) 和 (2 ， ) ，減區(qū)間是(0,2) ；極大值為f (0)，極小值為 f (2) 答案：133設 f ( x) aln x 2x2x 1，其中 aR，曲線 y f ( x) 在點 (1 ，f

8、(1)處的切線垂直于 y 軸(1)求 a 的值；(2) 求函數(shù) f ( x) 的極值13解： (1) 因 f ( x) alnx 2x 2x 1，a13故 f (x) x 2x2 2.由于曲線 y f ( x) 在點 (1 ， f (1) 處的切線垂直于y 軸，故該切線斜率為0，即 f (1)4/1213 0，從而 a 22 0，解得 a 1.(2) 由 (1)13知 f ( x) ln x x1( x>0) ，2x21 1 33x2 2x 13x 1x 1f (x) x 2x2 22x22x2.令f( ) 0，解得x1 1，11) 2 (因2 不在定義域內，舍去xx3x3當 x (0,

9、1) 時， f (x)<0 ，故 f ( x) 在(0,1) 上為減函數(shù)；當 x(1 ， ) 時， f (x)>0 ，故 f ( x) 在 (1 ， ) 上為增函數(shù)故 f ( x) 在 x 1 處取得極小值f (1) 3.已知函數(shù)極值求參數(shù) 例 2已知 f ( x) x3 3ax2 bx a2 在 x 1 時有極值 0. 求 a， b 的值 思路點撥 解答本題可先求f (x) ，利用 x 1 時有極值 0 這一條件建立關于a，b 的方程組解方程組可得a，b 的值，最后將a， b 代入原函數(shù)驗證極值情況 精解詳析 f ( x) 在 x 1 時有極值0 且 f (x) 3x2 6axb

10、，f 1 0，3 6ab 0，即f 10， 1 3a b a20.a 1，a 2，解得或b 3b 9.當 a1， b 3 時，f (x) 3x2 6x3 3( x 1) 20，所以 f ( x) 在 R 上為增函數(shù)，無極值，故舍去當 a2， b 9 時，f (x) 3x2 12x 9 3( x 1)( x3) 當 x( ， 3) 時， f ( x) 為增函數(shù)；當 x( 3， 1) 時， f ( x) 為減函數(shù)；當 x( 1， ) 時， f ( x) 為增函數(shù)所以 f ( x) 在 x 1 時取得極小值，因此a2， b 9.5/12 一點通 已知函數(shù)極值情況，逆向應用確定函數(shù)的解析式，進而研究函

11、數(shù)性質時，注意兩點：(1) 常根據(jù)取極值點處導數(shù)為 0 和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2) 因為導數(shù)值等于零不是此點取極值的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性4已知函數(shù)f ( x) x3 ax2 bx a2 在 x 1 處有極值為10，則 ab _.解析： f (x) 3x2 2axb，f 1 0，由題意可知：f110，2a b 30，即a2 a b 1 10，a 4a 3，得或b 11b 3.當 a 3， b3 時，f (x) 3x2 6x3 3( x 1) 2，易知在 x 1 的左右兩側都有f (x) 0，即函數(shù) f ( x) 在 R 上是單調遞增的，因此

12、f ( x) 在 x1 處并不存在極值，a 4，故ab 44.b 11.答案： 445已知函數(shù)y 3x x3 m的極大值為10，則 m的值為 _ .解析： y 33x2 3(1 x)(1 x) ，令 y 0 得 x1 1， x2 1，經判斷知極大值為 f (1) 2 m 10， m 8.答案： 86已知函數(shù)f ( x) ax3bx2 3x 在 x±1 處取得極值討論f (1) 和 f ( 1) 是函數(shù)f ( x) 的極大值還是極小值解： f (x) 3ax2 2bx 3，6/123a2b 3 0，依題意， f (1) f ( 1) 0，即3a2b 3 0.解得 a 1， b0， f

13、( x) x3 3x， f (x) 3x2 3 3( x1)( x 1) ，令 f (x) 0，得 x 1， x 1，x( ， 1)1( 1,1)1(1 ，)f (x)00f ( x)極大值極小值所以 f ( 1) 2 是極大值， f (1) 2 是極小值極值的綜合應用 例 3已知 a 為實數(shù)，函數(shù)f ( x) x3 3xa.(1) 求函數(shù) f ( x) 的極值，并畫出其圖象 ( 草圖 ) ；(2) 當 a 為何值時，方程f ( x) 0 恰好有兩個實數(shù)根？ 精解詳析 (1) 由 f ( x) x3 3x a，得 f (x) 3x23，令 f (x) 0，得 x 1 或 x 1.當 x( ，

14、1) 時， f (x)<0 ；當 x ( 1,1) 時， f (x)>0 ；當 x(1 ， ) 時， f (x)<0.所以函數(shù) f ( x) 的極小值為f ( 1) a 2；極大值為 f (1) a 2.由單調性、極值可畫出函數(shù)f ( x) 的大致圖象，如圖所示這里，極大值a 2 大于極小值a 2.(2) 結合圖象，當極大值a 2 0 或極小值 a 2 0 時，曲線f ( x) 與 x 軸恰有兩個交點，即方程f ( x) 0 恰有兩個實數(shù)根綜上，當 a±2時，方程恰有兩個實數(shù)根 一點通 極值問題的綜合應用主要涉及極值的正用和逆用，以及與單調性問題的綜合，題目著重考查

15、已知與未知的轉化，以及函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想在解題中的應用，在解題過程中，熟練掌握單調區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略是解決綜合問題的關鍵7/127在例 3 中當 a 在什么范圍內取值時，曲線y f ( x) 與 x 軸僅有一個交點？解：函數(shù) f ( x) 的大致圖象如圖所示：當函數(shù)f ( x) 的極大值a2<0 或極小值a 2>0 時，曲線y f ( x) 與 x 軸僅有一個交點，所以所求實數(shù)a 的范圍是 a< 2 或 a>2.8已知 x 3 是函數(shù) f ( x) aln(1 x) x2 10x 的一個極值點(1) 求 a；(2) 求函數(shù) f ( x) 的

16、單調區(qū)間；(3) 若直線 y b 與函數(shù) y f ( x) 的圖象有 3 個交點，求 b 的取值范圍a解： (1) 因為 f (x) 2x 10，a所以 f (3) 4 6 10 0，因此 a 16.(2) 由(1) 知，f ( x) 16ln(1 x) x2 10x，x ( 1， )2x2 4x3 (3 ， )時，f (x) 1 x，當 x ( 1,1)f (x)>0 ，當 x (1,3)時， f (x)<0 ，所以 f ( x) 的單調增區(qū)間是( 1,1) 和 (3 ， ) ， f ( x) 的單調減區(qū)間是(1,3)(3) 由 (2) 知， f ( x) 在 ( 1,1) 內單

17、調遞增，在 (1,3) 內單調遞減，在 (3 ， ) 上單調遞增，且當 x 1 或 x 3 時， f (x) 0，所以 f ( x) 的極大值為 f (1) 16ln 2 9，極小值為 f (3) 32ln 2 21，所以要使直線y b 與 y f ( x) 的圖象有 3 個交點，當且僅當f (3)< b<f (1) 因此 b 的取值范圍為 (32ln 2 21,16ln 29) 根據(jù)可導函數(shù)極值的定義、方法、步驟，要弄清以下幾點：(1) 極大 ( 小 ) 值未必是最大 ( 小 ) 值，可以有多個數(shù)值不同的極大 ( 小 ) 值；(2) 極大 ( 小 ) 值是局部充分小的領域內的最大

18、 ( 小 ) 值；8/12(3) 極大 ( 小 ) 值只能在區(qū)間的內點取得，常數(shù)函數(shù)沒有極大值，也沒有極小值；(4) f (x0) 0 只是可導函數(shù)f ( x) 在 x0 取得極值的必要條件，不是充分條件 對應課時跟蹤訓練( 七 )一、填空題1已知函數(shù)f ( x) 的定義域為 ( a， b) ，導函數(shù)f (x) 在區(qū)間 ( a， b) 上的圖象如圖所示，則函數(shù)y f ( x) 在 ( a， b) 上極大值點的個數(shù)為_解析：極大值點在導函數(shù)f (x ) 0處，且滿足 x左側為正，右側為負，由圖象知有003 個答案： 32( 新課標全國卷 改編 ) 函數(shù) f ( x)在 x x0 處導數(shù)存在若p：

19、 f (x0 ) 0； q： x x0 是 f ( x) 的極值點，則 p 是 q 的 _條件解析：設 f ( x) x3， f (0) 0，但是 f ( x) 是單調增函數(shù)，在x 0 處不存在極值，故若 p 則 q 是一個假命題，由極值的定義可得若q 則 p 是一個真命題故p 是 q 的必要不充分條件答案：必要不充分x處有極小值，則x _.3若函數(shù) f ( x) x·2 在 x00解析： f(x) 2xxx·2ln 2 ，1令 f (x) 0，得 x ln 2 .1答案： ln 24 設a R，若函數(shù)y eax 3x ， x R 取極值的點大于0 ，則a 的取值范圍是_解

20、析：令x f ( x) ，則 f (x) aeax 3，函數(shù) f ( x) 取極值的點大于0，ax即 f (x) ae 30 有正根9/12ax30成立時，顯然有a 0，當 f (x) ae13此時 x ln ，aa由 x 0 可得 a 3.答案： ( ， 3)5( 福建高考改編) 設函數(shù)f ( x) 的定義域為R， x0( x00) 是 f ( x) 的極大值點，以下結論一定正確的是_ ? x R， f ( x) f ( x0) ； x0 是 f ( x) 的極小值點； x0 是 f ( x) 的極小值點； x0 是 f ( x) 的極小值點解析：不妨取函數(shù)f ( x) x3 x，則 x3為

21、 f ( x) 的極大值點，但f (3)> f 3 ，33 排除 ；取函數(shù) f ( x) ( x 1) 2，則 x 1 是 f ( x) 的極大值點，但1 不是 f ( x) 的極小值點，排除； f ( x) ( x 1) 2， 1 不是 f ( x) 的極小值點， 排除 ， f ( x) 的圖象與f ( x) 的圖象關于原點對稱，由函數(shù)圖象的對稱性可得x0 應為函數(shù) f ( x) 的極小值點，填.答案：二、解答題136已知函數(shù) f ( x) 3x 4x 4，求函數(shù)的極值，并畫出函數(shù)的大致圖象解： (1)f (x) x2 4.解方程 x2 4 0，得 x1 2， x2 2.當 x 變化時

22、， f (x) 、 f ( x) 的變化情況如下表：x( ， 2) 2( 2,2)2(2 ，)f (x)00f ( x)2843 328從上表看出，當x 2 時，函數(shù)有極大值，且極大值為f ( 2) 3 ；10/124而當 x2 時，函數(shù)有極小值，且極小值為f (2) 3.1 3函數(shù) f ( x) x 4x4 的圖象如圖所示7已知函數(shù)f ( x) x3 3ax1， a0.(1) 求 f ( x) 的單調區(qū)間；(2) 若f(x) 在x 1 處取得極值，直線y與y(x) 的圖象有三個不同的交點，求mfm的取值范圍解： (1) f (x) 3x2 3a3( x2 a) 當 a<0 時，對 x

23、R，有 f (x)>0 ，當 a<0 時， f ( x) 的單調增區(qū)間為 ( ， ) ；當 a>0 時，由 f (x)>0 解得 x< a，或 x>a，由 f (x)<0 解得 a<x<a， 當 a>0 時， f ( x) 的單調增區(qū)間為( ，a) ， (a， )， f ( x) 的單調減區(qū)間為 ( a， a) (2) f ( x) 在 x 1 處取得極值，f ( 1) 3×( 1) 2 3a 0. 1.a f ( x) x3 3x 1， f (x) 3x2 3.由 f ( x) 0 解得 x1 1， x2 1，由 (1) 中 f ( x) 的單調性可知，f ( x) 在 x 1 處取得極大值f ( 1) 1，在 x1 處取得極小值f (1) 3.直線y與函數(shù)yf() 的圖象有三個不同的交點，mx結合 f ( x) 的單調性可知 m的取值范圍是 ( 3,1) 8 ( 重慶高考 ) 已知函數(shù)f ( x)