不確定度與大數(shù)據(jù)處理

1、實(shí)用文檔不確定度與數(shù)據(jù)處理、誤差與不確定度x=x_A1 誤差與不確定度的關(guān)系(1) 誤差：測量結(jié)果與客觀真值之差公認(rèn)值一如物理常數(shù)等其中A稱為真值,一般不可能準(zhǔn)確知道,常用約定真值代替:標(biāo)準(zhǔn)值一更高精度儀器測量結(jié)果理論值一理論公式計(jì)算結(jié)果對一個(gè)測量過程,真值 A的最正確估計(jì)值是平均值 x.在上述誤差公式中,由于 A不可知,顯然 x也不可知,對誤差的最正確估計(jì)值是不確定度u(x).(2) 不確定度：對誤差情況的定量估計(jì),反映對被測量值不能肯定的程度.通常所說“誤差一般均為“不確定度含義.不確定度分為A、B兩個(gè)分量,其中A類分量是可用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的分量,它的主要成分是隨機(jī)誤差.2.隨機(jī)誤差：多數(shù)隨

2、機(jī)誤差服從正態(tài)分布.定量描述隨機(jī)誤差的物理量叫標(biāo)準(zhǔn)差.(1) 標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)差丁真值A(chǔ)不可知,用標(biāo)準(zhǔn)偏差S代替標(biāo)準(zhǔn)差lim 區(qū) A)2'.kk且測量次數(shù) k為有限次/.實(shí)際上也不可知,于是:丨(Xi x)2S(x)單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差結(jié)果表述:xiS(x(置信概率 68.3%)真值的估計(jì)值單次測量標(biāo)準(zhǔn)差最正確估計(jì)值(并不是只做一次測量)S(x )的物理意義：在有限次測量中,每個(gè)測量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差. 通常不嚴(yán)格區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差,統(tǒng)稱為標(biāo)準(zhǔn)差.(2 )平均值的標(biāo)準(zhǔn)差真值的最正確估計(jì)值是平均值,故結(jié)果應(yīng)表述為：S(x)(置信概率 68.3%)真值的最正確估計(jì)值平均值的標(biāo)準(zhǔn)差最

3、正確估計(jì)值其中) 1 k；k x;2平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差例1 ,即 S(X).n1：某觀察量的S(X)一 n解:XXin次獨(dú)立測量的結(jié)果是 X1, X2, ,Xn.試用方差合成公式證實(shí)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的n利用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義,可知由題知Xi相互獨(dú)立,那么根據(jù)方差合成公式有u(Xi)=s(X)u(X)u2(Xi)u2(Xn)i=1,2, ,n.nS2(X)S2(X)S2(X)u(X) S(X)n3.系統(tǒng)誤差與儀器誤差(限)(1 )系統(tǒng)誤差：在同一被測量的屢次測量過程中,保持恒定或以可以預(yù)知方式變化的那一局部誤差稱為系統(tǒng)誤差. 已被確切掌握了其大小和符號(hào)的系統(tǒng)誤差,稱為可定系統(tǒng)誤差；對

4、大小和符號(hào)不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤 差.前者一般可以在測量過程中采取舉措予以消除或在測量結(jié)果中進(jìn)行修正；而后者一般難以作出修正,只能估計(jì)出它 的取值范圍.在物理實(shí)驗(yàn)中,對未定系統(tǒng)誤差的估計(jì)常常利用儀器誤差限來進(jìn)行簡化處理.(2 )儀器誤差(限)：由國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計(jì)量器具的允許誤差或允許根本誤差,經(jīng)過適當(dāng)簡化稱為S(X)n儀器誤差限,用以代表常規(guī)使用中儀器示值和作用在儀器上的被測真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差. 常用儀器的儀器誤差限：長度測量儀器： 計(jì)算.游標(biāo)卡尺的儀器誤差限按其分度值估計(jì)；鋼板尺、螺旋測微計(jì)的儀器誤差限按其最小分度的1/2式中a誤差指針式儀表：數(shù)字儀表：是

5、數(shù)字式電表的準(zhǔn)確度等級(jí), ,相當(dāng)于最小量化單位的倍數(shù).儀=a%Nm式中Nm是電表的量程,a是準(zhǔn)確度等級(jí).儀=a%Nx+b%Nm 或儀=a%Nx+n 字Nx是顯示的讀數(shù),b是誤差的絕對項(xiàng)系數(shù),Nm是儀表的滿度值,n代表儀器固定項(xiàng) 電阻箱：儀=ai%Ri R0i式中R0是剩余電阻,Ri是第i個(gè)度盤的示值,ai是相應(yīng)電阻度盤的準(zhǔn)確度級(jí)別. 直流電位差計(jì)：儀=a% UX巴10式中a是電位差計(jì)的準(zhǔn)確度級(jí)別,Ux是標(biāo)度盤示值,U0是有效量程的基準(zhǔn)值,規(guī)定為該量程中最大的R010的整數(shù)幕.儀=a% RX10式中Rx是電橋標(biāo)度盤示值,a是電橋的準(zhǔn)確度級(jí)別, R0是有效量程的基準(zhǔn)值,意義同上. 3 B類不確定度

6、的處理在物理實(shí)驗(yàn)中,B類不確定度的來源通常包括以下三種：儀器誤差0.2 0.2靈S n/ x直流電橋:誤差可表示為B類不確定度與各種誤差限之間的關(guān)系為Ub3'儀、靈敏度誤差靈和估計(jì)誤差限估.其中靈敏度4.不確定度的合成1直接測量ux間接測量u(y)X： ua(x) , ub(x) .uf(x) uj(x) y=f(X1, X2, Xn)Ji(±)2u2稱為合成不確定度 其中(Xi)最終結(jié)果表述形式：3結(jié)果有效數(shù)字確實(shí)定原那么：X1, X2, Xn為相互獨(dú)立的直接測量量uy/In f 2 2,、()u (Xi)y , iXi(單位)u(N )只保存一位有效數(shù)字；N與不確定度u(

7、N)小數(shù)位數(shù)對齊.Asin -n 2.Asin21.6479 0.0007.N uN= 不確定度 測量結(jié)果例2：用分光計(jì)測棱鏡材料的折射率公式為.已測得A=60 0' 2',黃光汞燈光源所對應(yīng)的=50 58',那么黃光所對應(yīng)的折射率AsinnJ.A sin2A Z1 A cos (dA 2 2A sin 2解:dnn u(n)=60 050 58sin-d22.60 0sin2、 A 1 A )cos dA 2 2Asin -21.6479罟 14(ctg ctgA)2u2(A) ctg2jAu2()Inn In si nAInsinA2 2ctg -)dA ctg d

8、2 2 21 一 60 050 58 丄 60 0、2“ 218021 x 2 60 050 58(ctg ctg)( )ctg.422604 yu(n) n1.6479 0.0004260.0007n180)20.000426n u(n)=1.6479 0.00075 有效數(shù)字及其運(yùn)算法那么(1) 有效數(shù)字：由假設(shè)干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字構(gòu)成. 在不計(jì)算不確定度的情況下,結(jié)果的有效數(shù)字由運(yùn)算法那么決定.(2 )運(yùn)算法那么 加減法：以參加運(yùn)算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準(zhǔn)并與之取齊.N=A+B-C-D,貝u U(N) .U2(A) u2(B) u2(C) U2(D)取決于u(A)、u(

9、B)、u(C)、u(D)中位數(shù)最高者,最后結(jié)果與之對齊. 乘除法：以參加運(yùn)算各量中有效數(shù)字最少的為準(zhǔn),結(jié)果的有效數(shù)字個(gè)數(shù)與該量相同.' 2 2 2 2N JAB,那么 u(N) u(A) u(B) u(C) u(D)CD. ABCD取決于其中相對不確定度最大者,即有效數(shù)字個(gè)數(shù)最少者. 混合四那么運(yùn)算按以上原那么按部就班執(zhí)行.假設(shè)使Y的例3:某物理量的計(jì)算公式為Y -,其中k為常數(shù),1.6為準(zhǔn)確數(shù),H疋16cm, d=0.1500cm.1 1.6d/H表示式中分母的值具有 4位有效數(shù)字,正確測 H的方法是(d ).(a)用游標(biāo)卡尺估讀到 cm千分位(b)用米尺估讀到cm百分位(c)用米尺

10、只讀到 mm位(d)用米尺只讀到cm位1.6d 1.6 0.15001.6d解：0.015 分母11.015為4位有效數(shù)字H16H即H只需2位有效數(shù)字即可,故應(yīng)選 (d). 特殊函數(shù)的有效數(shù)字：根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原那么,從不喪失有效位數(shù)的前提出發(fā),通過微分關(guān)系傳播 處理.例4：tg45 2' =1.00116423解:y=tgx ,其中 x=45 2'最多可取幾位有效數(shù)字？1取 x 1 -0.00029(rad)601800.00029 0.00058即小數(shù)點(diǎn)后第四位產(chǎn)生誤差1 1y 2 x cos x cos 45 2 tg45 2' =1.0012,有五位有

11、效數(shù)字.例 5：雙棱鏡測波長的計(jì)算公式為*,對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的計(jì)算結(jié)果如下表所示.x=0.28144mmb=5.9325mmb'=0.7855mmS=27.65cmS'=75.90cmu( x)=2.010 10-4m m(b)/b=0.025(b')/b'=0.025(S) =0.5cm(S') =0.5cm(b)=0.005mm(b')=0.005mm(S) =0.05cm(S') =0.05cm注：下標(biāo)1代表來自方法誤差,下標(biāo) 2代表來自儀器誤差 要求：(1)給出測量結(jié)果的正確表述(包括必要的計(jì)算公式)(2 )定量討論各不確定度的

12、分量中,哪些是主要的,哪些是次要的,哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略項(xiàng)的奉獻(xiàn),解:(1)不確定度的計(jì)算將怎樣簡化？結(jié)果如何?x bbS SO.28144 行93250.78555.8671610 4 mmInIn x1 ln b2u()1 ln b22 2 2 u( x)u(b)u(b )x2b2b(276.5759.0)d d( x) dbln(S S)x 2b2u(S)S Sdb2b2u(S)S SdSS SdSS S0.0111實(shí)用文檔2ui (b)i(b)/.3ii(b)0.0250.007222992b2b2.3b2“3u(b)ui(b)u2(b)u2(b)2(b)/、.

13、30.0050 0002432b2 b2b2b2b2 5.9325、3ui (b )i(b)/ ,3ii(b)0.025'0.007222u(b)ui(b) 22b2b23b2“3u2 (b )u2(b )2(b)/ .30.0052b2b2b2b2b2 0.7855 3ui(S)i (S) / . 30.50.002792u(S)2ui(S)S SS S(27.65 75.90)-3u2(S)u2(S)2(S)/ ,30.050.000279S SS SS SS SS S(27.65 75.90)、. 3ui(S)i(S ) / . 30.50.002792ui(S)S SS S(2

14、7.6575.90) . 32u(S)u2(S)u2(S)2(S)/ .30.050.000279S SS SS SS SS S(27.6575.90)、30.28144x22u( )=5877nm巾.i0 40.0007i4 ；u( )=45.867i6 i0 4 0.0iii=6.53 i0-6mm二、數(shù)據(jù)處理方法i. 列表法：按一定規(guī)律把數(shù)據(jù)列成表格.列表原那么：(i )表格的標(biāo)題欄中 注明物理量的名稱、符號(hào)和單位 ；(2) 記錄原始數(shù)據(jù)(如記錄刻度數(shù),而不是記錄長度)；(3) 簡單處理結(jié)果(如算出長度)或函數(shù)關(guān)系；(4) 參數(shù)和說明(如表格名稱、儀器規(guī)格、環(huán)境參數(shù)、常量以及公用單位等)

15、2. 作圖法：把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系作成曲線,以便反映它們之間的變化規(guī)律或函數(shù)關(guān)系. 作圖要點(diǎn)：(1) 原始數(shù)據(jù)列表表示 一一見列表法；(2) 用坐標(biāo)紙作圖,圖紙大小以不損失有效數(shù)字和能包括所有點(diǎn)為最低要求,因此至少應(yīng)保證坐標(biāo)紙的最小分格 (通 常為imm)以下的估計(jì)位與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應(yīng)；(3) 選好坐標(biāo)軸并標(biāo)明有關(guān)物理量的名稱(或符號(hào))、單位和坐標(biāo)分度值.其中分度比例一般取i、2、5、i0較 好,以便于換算和描點(diǎn)；(4) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)以+、x、 、 、等符號(hào)標(biāo)出,一般不用細(xì)圓點(diǎn)“ 標(biāo)示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；光滑連接曲線 并使實(shí)驗(yàn)點(diǎn)勻稱 地分布于曲線兩側(cè)(起平均的作用)；u( X)其中于是

16、得由前面的計(jì)算可知,不確定度主要來自ui(b)ui(b)和2b 2bU2(b )次要因素是2bui(S)ui (S )和,可以忽略的因S S S S素是uL兇xu2(b)、(S)和 u2(S).2b S S假設(shè)只考慮主要項(xiàng)的奉獻(xiàn):u()2 2ui(b)ui (b )i(b)那么有u( )=6nmu( )=5870.0i02 6b6nm比嚴(yán)格計(jì)算的結(jié)果稍小但相差無幾.2b2b(5) 圖解法求直線斜率和截距時(shí),應(yīng)：在線上取點(diǎn)(不能使用實(shí)驗(yàn)點(diǎn))；所取兩點(diǎn)要相距足夠遠(yuǎn) (以提升精度)；在實(shí)用文檔圖上要注明所取點(diǎn)的坐標(biāo)例6:拉伸法測彈性模量的載荷一一伸長曲線如下圖,圖上至少有 不標(biāo)準(zhǔn).它們是 坐標(biāo)軸應(yīng)標(biāo)

17、注物理量和單位 ,軸上缺少分度值 目標(biāo)記標(biāo)出 , 曲線應(yīng)光滑連接 ,計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)注不標(biāo)準(zhǔn) .3 最小二乘法與一元線性回歸法(1)最小二乘法：對等精密度測量假設(shè)存在一條最正確的擬合曲線,那么5處繪制錯(cuò)誤或?qū)嶒?yàn)點(diǎn)應(yīng)以醒各測量值與這條曲線上對應(yīng)點(diǎn)之差的平方和應(yīng)取極小值.例7:試用最小二乘原理推導(dǎo)直線方程n解：根據(jù)最小二乘原理應(yīng)有(yji 1y=kx中回歸系數(shù)k的計(jì)算公式.kxi )2minn2即Ti1(yi kxi)0于是得Xi yiXi2(yii 1kxJ( N) 0Xiyii 1xy2X(2) 一元線性回歸法:由最小二乘原理,應(yīng)有即kyia i 1(abXi)20k(a20匚yi b ibXi)

18、0akbiXiyi1i 1k.k 2 k b XiXi y0aXi 1i 1i 1kk解之得bXiyikXiyiXyxy(Xi)2k x：2 X2 XaXi：y Xiyi yxybX(x)2k x2i 1設(shè)直線方程y=a+bx,其中自變量k 2 yi (a bXi)mini 1k2yi (a bXi)( 1)i 1k2 yi (a bXi)(為)X的誤差可略(3)相關(guān)系數(shù)r:用于檢驗(yàn)X和y之間是否存在線性關(guān)系.xy Xy(x2 x2)(y2 y2)r1r1r物理意義r0r0r0y a bx通過全部實(shí)驗(yàn)點(diǎn)xi、yi之間線性相關(guān)強(qiáng)烈yi隨xi增加而增加yi隨xi增加而減小xi、yi之間無線性關(guān)系擬

19、合直線為與x軸平行的直線例8:根據(jù)所給相關(guān)系數(shù)r作出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布草圖:實(shí)用文檔 r=0.015 r=-1 r=0.9993(4)回歸法使用要點(diǎn)： 自變量x測量誤差可略,即應(yīng)選擇測量精度較高的物理量作自變量； 因變量y為等精度測量 或近似等精度測量,即 u(yi)近似相等； 作線性關(guān)系的檢驗(yàn)：利用物理規(guī)律或作圖等其它方法確認(rèn)線性關(guān)系的存在；或檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)是否滿足|r| 1.例9：實(shí)驗(yàn)線路及測量數(shù)據(jù)如下,用一元線性回歸法計(jì)算電壓表內(nèi)阻Rv (寫出計(jì)算公式即可)R ()20.050.0100.0200.0300.0400.0V (V)2.802.722.602.382.202.04解：根據(jù)線路圖可得E

20、 VR RvRvu(R) 0.10.1計(jì)算R、1丄精度:R 20.0,400.0Vu(1 /V)u(V)0.011/VV2.80故將公式變形為11 R1令V ERvE那么有a丄b1aEERyRy0.005,0.00025001可知R的精度較高0.0036,0.0052.041y R x并設(shè)直線方程y=a+bxVm aRv b4.逐差法,并有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：,xn,xn 1 ,X2ny1,yk, yn 1,y2n取平均值(1)測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法設(shè)自變量和因變量之間存在線性關(guān)系隔n項(xiàng)逐差,可得到b1yn1y1, bn y2nyn- 1 n b - (yn in nx i 1a yi b xiyx

21、n1x1x2nxn對于自變量x等間隔分布的情況,有xn i xinx于是求得后,可由公式 y a b xi求出例10：R=R0(1+ t),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下,用逐差法求電阻溫度系數(shù)(不要求計(jì)算不確定度)t (C)85.080.075.070.065.060.055.050.0R ()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215解：R=R°+ Rd t 并設(shè) y=a+bx 那么有 a= R0b= R0 =a即b而利用逐差法可得:ai1234平均t=ti+4-ti (C )20.020.020.020.020.0R= Ri+4-Ri ()0

22、.02420.02410.02290.02220.02335實(shí)用文檔于是有R0.02335b0.0011675t20.0a 1( R b t)1 (2.73120.0011675 540.0)0.262680.00116750.262634.45 10(1/C)條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300例11:邁克爾遜干預(yù)儀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理?xiàng)l紋吞吐n500600700800900M2鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.77085解法一：由逐差法可得12

23、345平均N=n i+5-ni500500500500500500d500=Xi+5-Xi (mm)0.161600.160500.159700.158850.157850.15970u( ) u(d500)22 d500N2 0.15970638.8(nm)500d500u(N)N其中U(d500 ). Ua (d 500 )Ub (d 500 )Ua (d 500 )U b (d 500 )(d i d 500)qt40.000050.0000289( mm)0.000648(mm)U(0.5U(N) Ub(N)厲2U(d500 )d500u( )=639 3(nm)0.289u(N)N6

24、38.& 0W064822 0.15970警：2.6( nm)500i12345平均N'=( ni+5-ni)/5100100100100100100d100=(Xi+5-Xi ) /5 (mm)0.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940解法二:由逐差法可得u()22如 2 O.031940 638.8(nm)N100u (d100)d100u(N )Nu(d 100 )-Ua (d 100 )2Ub (d100 )其中2(did 100 )5 40.00005ub (d100 ) 0.00000577(mm)5J3Ua (

25、d100 )0.000130(mm)u(N ) ub (N )-050.05775J322十曰/ 、 1u(d100 )u(N )“co于是u( )638.8-id 100N故u( )=639 3(nm)0.00013020.03194020.05772 2.6(nm)1002實(shí)用文檔(2)測量次數(shù)為奇數(shù)的逐差法 處理原那么：去掉中間的數(shù)據(jù).其中于是2d600N2 0.19133600u( d600 )637.8( nm).ua (d 600) ub(d 600 )u(N) ub(N)0.530.289u()d600u(d600 )2u(N)Nu( ) u(d6oo) $ u(N) 2 J d 600 Nua (d 600 ) u b (d 600 )637.8(di 2d 600 )0.000636(mm)0.000050.0006362:0.1913320.0000289(mm)20.28960022.1( nm)例12：重新處理邁克爾遜干預(yù)儀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)條紋吞吐n0100200300400M2鏡位置X (mm)3