初中數(shù)學(xué)-八年級數(shù)學(xué)教案初二數(shù)學(xué)精華一元一次不等式（組）（一）

1、 一元一次不等式（組）（一） 一、全章教學(xué)內(nèi)容及要求 、理解不等式的概念和基本性質(zhì) 、會解一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示不等式的解集 、會解一元一次不等式組，并能在數(shù)軸上表示不等式組的解集。 二、技能要求 1、會在數(shù)軸上表示不等式的解集。 2、會運用不等式的基本性質(zhì)（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。 3、掌握一元一次不等式組的解法，會運用數(shù)軸確定不等式組的解集。 三、重要的數(shù)學(xué)思想： 1、通過一元一次不等式解法的學(xué)習(xí)，領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 2、通過在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集與運用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集，進一步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想。 四、主要數(shù)學(xué)能力 1、通過運用不等式基本性

2、質(zhì)對不等式進行變形訓(xùn)練，培養(yǎng)邏輯思維能力。 2、通過一元一次不等式解法的歸納及一元一次方程解法的類比，培養(yǎng)思維能力。 3、在一元一次不等式，一元一次不等式組解法的技能訓(xùn)練基礎(chǔ)上，通過觀察、分析、靈活運用不等式的基本性質(zhì)，尋求合理、簡捷的解法，培養(yǎng)運算能力。 五、類比思想： 把兩個（或兩類）不同的數(shù)學(xué)對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。這種數(shù)學(xué)思想通常稱為“類比”，它體現(xiàn)了“不同事物之間存在內(nèi)部聯(lián)系”的唯物辯證觀點，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解題方法的重要手段之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運用。 在本章中，類比思想的突出運用有： 1、不等式與等式

3、的性質(zhì)類比。 對于等式（例如a=b）的性質(zhì)，我們比較熟悉。不等式（例如a>b或a 等式有兩個基本性質(zhì)： 1、等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，等號不變。（即兩邊仍然相等）。 2、等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，符號不變（即兩邊仍然相等）。 按“類比”思想考慮問題，自然會問：不等式是否也具有這樣相類似的性質(zhì)，通過實例的反復(fù)檢驗得到的回答是對的，即有。 不等式的性質(zhì)；1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變（即原來大的一邊仍然大，原來較小的一邊仍然較?。?。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以

4、）同一個負數(shù)，不等號的方向改變（即原來較大的一邊反而較小，原來較小的一邊反而較大）。 例如： - x>20, 兩邊都乘以-5，得， x<-100，（變形根據(jù)是不等式基本性質(zhì)3）。 等式的基本性質(zhì)是等式變形的根據(jù)，與此類似，不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的根據(jù)。 2、不等式的解與方程的解的類比 從形式上看，含有未知數(shù)的不等式與方程是類似的。按“類比”思想來考慮問題，同樣可以仿效方程解的意義來理解不等式的解的意義。 例如： 當x=3時，方程x+4=7兩邊的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而當x=2時，方程x+4=7兩邊值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。 類似地當x=5不等式x+

5、4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一個解。若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。 注意：1、不等式與方程的解的意義雖然非常類似，但它們的解的情況卻有重大的區(qū)別。一般地說，一元方程只有一個或幾個解；而含有未知數(shù)的不等式，一般都有無數(shù)多個解。 例如： x+6=5只有一個解x=-1，在數(shù)軸上表示出來只是一個點，如圖， 而不等式x+6>5則有無數(shù)多個解 -大于-1的任何一個數(shù)都是它的解。它的解集是x>-1，在數(shù)軸上表示出來是一個區(qū)間，如圖 2、符號“”讀作“大于或等于”或也可以理解為“不小于”；符號“”讀作“小于或等于”或可以理

6、解為“不大于”。 例如； 在數(shù)軸上表示出下列各式： （1）x2（2）x<-2 （3）x>1 （4）x-1 解： x2 x<-2x>1 x-1 3、不等式解法與方程的解法類比。 從形式上看，一元一次不等式與一元一次方程是類似的。在學(xué)習(xí)一元一次方程時利用等式的兩個基本性質(zhì)求得一元一次方程解，按“類比”思想考慮問題自然會推斷出若用不等式的三條基本性質(zhì)，采用與解一元一次方程相類似的步驟去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。 例如： 解下列方程和不等式： = +1 +1 解： 3(2+x)=2(2x-1)+61、去分母： 解： 3(2+x)2(2x-1)+6 6+3x=

7、4x-2+62、去括號： 6+3x4x-2+6 3x-4x=-2+6-6 3、移項： 3x-4x-2+6-6 -x=-2 4、合并同類項： -x-2 x=2 5、系數(shù)化為1： x2 x=2是原方程的解 x2是原不等式的解集。 注意： 解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟雖然完全相同，但是要注意步驟1和5，如果乘數(shù)或除數(shù)是負數(shù)時，解不等式時要改變不等號的方向。 六、帶有附加條件的不等式： 例1， 求不等式 (3x+4)-37的最大整數(shù)解。 分析： 此題是帶有附加條件的不等式，這時應(yīng)先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加條件的解。 解： (3x+4)-37 去分母： 3x+4-614 移項：

8、 3x14-4+6 合并同類項： 3x16 系數(shù)化為1： x5 x5 的最大整數(shù)解為x=5 例2， x取哪些正整數(shù)時，代數(shù)式3- 的值不小于代數(shù)式 的值？ 解： 依題意需求不等式3- 的解集。 解這個不等式： 去分母：24-2(x-1)3(x+2) 去括號： 24-2x+23x+6 移項： -2x-3x6-24-2 合并同類項：-5x-20 系數(shù)化為1： x4 x=4的正整數(shù)為x=1, 2, 3, 4. 答：當x取1, 2, 3, 4時，代數(shù)式3- 的值不小于代數(shù)式 的值。 例3， 當k取何值時，方程 x-2k=3(x-k)+1的解為負數(shù)。 分析： 應(yīng)先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程，即找到x的表達式

9、，再解帶有附加條件的不等式。 解： 解關(guān)于x的方程： x-2k=3(x-k)+1 去分母： x-4k=6(x-k)+2 去括號： x-4k=6x-6k+2 移項： x-6x=-6k+2+4k 合并同類項： -5x=2-2k 系數(shù)化為1：x= = . 要使x為負數(shù)，即x= <0， 分母>0， 2k-2<0, k<1， 當k<1時，方程 x-2k=3(x-k)+1的解是負數(shù)。 例4， 若|3x-6|+(2x-y-m) 2 =0，求m為何值時y為正數(shù)。 分析： 目前我們學(xué)習(xí)過的兩個非負數(shù)問題，一個是絕對值為非負數(shù)，另一個是完全平方數(shù)是非負數(shù)。由非負數(shù)的概念可知，兩個非負

10、數(shù)的和等于0，則這兩個非負數(shù)只能為零。由這個性質(zhì)此題可轉(zhuǎn)化為方程組來解。由此求出y的表達式再解關(guān)于m的不等式。 解： |3x-6|+(2x-y-m) 2 =0, 解方程組得 要使y為正數(shù)，即4-m>0, m<4. 當m<4時，y為正數(shù)。 注意： 要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至少”、“非負數(shù)”、“正數(shù)”、“負數(shù)”、“負整數(shù)”這些描述不等關(guān)系的語言所對應(yīng)的不等號各是什么。求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解，即這個不等式的解集，然后再從中篩選出符合要求的解。 七、字母系數(shù)的不等式： 例： 解關(guān)于x的不等式3(a+1)x

11、+3a2ax+3 分析： 由于x是未知數(shù)，所以應(yīng)把a看作已知數(shù)，又由于a可以是任意有理數(shù)，所以在應(yīng)用同解原理時，要區(qū)別情況，進行分類討論。 解： 移項，得3(a+1)x-2ax3-3a 合并同類項： (a+3)x3-3a (1)當a+3>0，即a>-3時，x , (2)當a+3=0，即a=-3時，0x12，不等式無解。 (3)當a+3<0，即a<-3時，x 。 注意： 在處理字母系數(shù)的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數(shù)，而把其他字母看作已知數(shù)，在運用同解原理把未知數(shù)的系數(shù)化為1時，應(yīng)作合理的分類，逐一討論，例題中只有分為a+3>0, a+3=0, a+3<

12、;0, 三種情況進行研究，才有完整地解出不等式，這種處理問題的方法叫做“分類討論”。 八、有關(guān)大小比較的問題 例1 根據(jù)給定條件，分別求出a的取值范圍。 （1）若a 2 >a，則a的取值范圍是_； （2）若a> , 則a的取值范圍是_。 解： （1） a 2 >a, a 2 a>0, 即a(a1)>0, 或 解得a>1或a<0。 答： a的取值范圍是a<0或a>1。 （2） a> , a >0, 即 >0. 或 或 解得a>1或1 答： a的取值范圍是11. 例2 （1）比較下列各組數(shù)的大小，找規(guī)律，提出你的猜想： _ ; _ ; _ ; _ ; _ ; _ . 從上面的各式發(fā)現(xiàn)：一個正分數(shù)的分子和分母_，所得分數(shù)的值比原分數(shù)的值要_。 猜想：設(shè)a>b>0, m>0, 則 _ 。 （2）試證明你的猜想： 分析：1.易知：前面的各個空都填 “< ”. 一個正分數(shù)的分子和分母都加上同一個正數(shù)，所得分數(shù)的值比原分數(shù)的值要 大 。 2.欲證 < ，只要證 <0. 即證 <0, 即證 <0, 證明： a>b>0, ba<0, 又 m>0, m(ba)&