參數(shù)方程新題培優(yōu)練

1、根底題組練1. 在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.曲線C的極坐標(biāo)方程為p= 2cos 0,直線I的參數(shù)方程為X= 1 + tcos a ,(t為參數(shù),a為直線的傾斜角).y= tsin a(1)寫(xiě)出直線I的普通方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程；假設(shè)直線I與曲線C有唯一的公共點(diǎn),求角a的大小.n解：當(dāng)a=u時(shí),直線I的普通方程為X = 1 ；n當(dāng)a豐亍時(shí),直線I的普通方程為 y= (x+ 1)tan a .由 p= 2cos 0,得 p= 2 pos 0 ,所以 x2+ y2= 2x,即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.把 x= 1 + tcos

2、a , y= tsin a 代入 x2 + y2= 2x,整理得 t2 4tcos a + 3= 0.3由= 16cos2 a 12= 0,得 cos2 a = 4,所以cosa =于或cos故直線I的傾斜角a為；或5n.6 62以極點(diǎn)為原點(diǎn),以極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方x= 3 + 5cos a ,程為p= 10,曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)).y= 4+ 5sin a ,(1) 判斷兩曲線C和C的位置關(guān)系；(2) 假設(shè)直線I與曲線C和C均相切,求直線I的極坐標(biāo)方程.解：(1)由 尸10得曲線C的直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2= 100,x= 3+ 5cos a ,

3、由得曲線C的普通方程為(x 3)2+ (y+ 4)2 = 25.y= 4 + 5s in a曲線C表示以(0, 0)為圓心,10為半徑的圓；曲線C表示以(3, 4)為圓心,5為半徑的圓.由于兩圓心間的距離 5等于兩圓半徑的差,所以圓 C和圓C的位置關(guān)系是內(nèi)切.x2+ y2= 100,由(1)建立方程組(x 3)2+( y+ 4)2 = 25,x= 6,3解得可知兩圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為(6, - 8),且公切線的斜率為3,y= 8 ；4所以直線I的直角坐標(biāo)方程為 y+ 8 = 3(x 6),即 3x 4y 50 = 0,所以極坐標(biāo)方程為 3 pcos 0 4 pin 0 50= 0.3. (2021湘

4、東五校聯(lián)考)平面直角坐標(biāo)系xOy中,傾斜角為 a的直線I過(guò)點(diǎn)M( 2,4),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為 pin20 = 2cos 0.(1)寫(xiě)出直線I的參數(shù)方程(a為常數(shù))和曲線C的直角坐標(biāo)方程;x= 2+ tCOS a,解：直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),y= 4+ tsin a假設(shè)直線I與C交于A, B兩點(diǎn),且|MA| |MB|= 40,求傾斜角 a的值.sin a4. (2021湖北八校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1x = . 3cos a, y = sin ap sin20 = 2cos 0,即psin2 0 = 2pcos0,將

5、x=pos0 ,y=p sin 0代入得曲線C 的直角坐標(biāo)方程為y2 = 2x.(2)把直線I的參數(shù)方程代入y2 = 2x,得t2si n2 a (2cos a+ 8s in a)t+ 20 = 0 ,設(shè)A , B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1 , t2 ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得,t12=2cos a8sin a ,加2=鼻 ,sin asin a根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,得|MA| |MB|= |tit2|= 2°- = 40,得a=n或 a3n4 .又= (2cos a+ 8sin 評(píng)一80sin2 a >0 ,所以a= n(a是參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸

6、為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為pin 0 + ；=返(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn) P到C2的距離的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).x2解：曲線C1的普通方程為-+ y2= 1,由pin 0 + n ,得pin 0+ p cos 0= 2,得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 x+ y 2 = 0.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3COS a, sin a),那么點(diǎn)P到C2的距離為| 3cos a+ sin a 2|,n小2sin a+ 3 22 ,當(dāng) sin a += 1,即na+ 3=n2+ 2knK Z),5n+ 2K nK Z)時(shí),所求距離最大,最大值為

7、 2 2,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為32,綜合題組練1. (2021鄭州市第一次質(zhì)量測(cè)試角為a,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),)在平面直角坐標(biāo)系X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線xOy中,直線I過(guò)點(diǎn)(1, 0),傾斜C的極坐標(biāo)方程是 pn(2)假設(shè)a= 4,設(shè)直線I與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求 AOB的面積.解：(1)由題知直線x= 1 + tcosl的參數(shù)方程為y= tsina,(t為參數(shù)).由于8cos 0p=廠7,所以 pin20 = 8cos 01 cos 0所以 Psin2 0 = 8 pcos 0 即 y2= 8x.法一：當(dāng)a=,直線I的參數(shù)方程為x = 1 +t, 廠(t為參數(shù)),y = 2t代入 y

8、2= 8x 可得 t2 8 2t 16= 0,設(shè)A, B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti, t2,那么ti+ t2= 8 , 2, ti t2= 16,8cos 0所以 |AB|=|t1 t2|=' (t1 +12) 2 4t1 t2= 8 3.又點(diǎn)O到直線AB的距離d = 1 X sin-2,所以 Saaob = *AB|X d= cos2 0 .(1)寫(xiě)出直線I的參數(shù)方程和曲線 C的直角坐標(biāo)方程;X 8 3X-= 2 6.法二：當(dāng)a= n時(shí),直線I的方程為y= X 1 ,設(shè) M(1 , 0), A(X1, y1), B(X2, y2),y2= 8x,由得 y2 = 8(y+1),y=x 1

9、 ,即 y2 8y 8= 0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+ y2= 8,y1y2= 8,1 1 1 1SAOB= 2|OM |y1 y2|= 2 x 1 X 寸(y1 + y) 2 4y1y2 = X 寸82 4X ( 8)= - X 4承= 2 6.x= cos 92. (2021高考全國(guó)卷 川)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,O O的參數(shù)方程為n (9為y= sin 9參數(shù)),過(guò)點(diǎn)(0, 2)且傾斜角為 a的直線I與O O交于A, B兩點(diǎn).(1) 求a的取值范圍；(2) 求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解：(1)O O的直角坐標(biāo)方程為 x2 + y2= 1.n當(dāng)a=2時(shí),I與O O交于兩點(diǎn).當(dāng)燈時(shí),

10、記tan a= k,那么l的方程為y= kx- ,2.l 與0 O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).1；2v 1,解得kv 1或k> 1,即3n4n綜上,a的取值范圍是一43n4X= tcos a ,(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),y=寸 2+ tsin anV aV4設(shè)A, B, P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA, tB, tP,那么tP= AB,且 tA, tB滿足 t2 2.2tsin a+ 1 = 0.于是 tA+ tB = 2 . 2s in a, tp= , 2sin a .X = tPCOs a ,又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x, y)滿足y = p2+ tpsin a ,所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是x= sin

11、2 a ,av 3nn).2n(a為參數(shù),v邁邁4y= 2 2 cos 2 aX= 2cos a,3. (2021惠州市第二次調(diào)研)曲線C:.(a為參數(shù))和定點(diǎn)A(0,3), F1,y=寸3sin aF2是此曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線AF2的極坐標(biāo)方程；經(jīng)過(guò)點(diǎn)Fi且與直線AF2垂直的直線I交曲線C于M , N兩點(diǎn),求|MFi|NFi|的值.X 2C0S a,x2 y2解：曲線C:可化為-+ y = 1,故曲線C為橢圓,y = v3si n a43那么焦點(diǎn) Fi( i, 0), F2(1, 0).所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3)和F2(1, 0)的直線

12、AF2的方程為x +1,即 卩 3x+ y 3 = 0,所以直線AF2的極坐標(biāo)方程為J3 p cos 0+ pin 0=3.由(1)知,直線AF2的斜率為一.3,由于I丄AF2,所以直線I的斜率為 呼,即傾斜角3X= 1 +呉為30°所以直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),1y= 2t代入橢圓C的方程中,得13t2 12 3t 36= 0.由于點(diǎn) M , N 在點(diǎn) F1 的兩側(cè),所以 |MF1|NF1|=|t1 + t2| =4. (綜合型)(2021南昌市第一次模擬)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,曲線C1過(guò)點(diǎn)P(a, 1),其參數(shù)方程為x= a+ 2ty= 1+ 2t(t為參數(shù),a R)

13、.以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為pcoS2 0 + 4cos 0 尸0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程;曲線C1與曲線C2交于A, B兩點(diǎn),且|PA|= 2|PB|,求實(shí)數(shù)a的值.解：(1)由于曲線C1的參數(shù)方程為x= a+ . 2ty= 1 + . 2t所以其普通方程為x y a+ 1 = 0.由于曲線C2的極坐標(biāo)方程為 pcos2 0 + 4cos 0 p= 0,所以 pcos2 0 + 4 pcos 0 p = 0,所以 x2 + 4x x2 y2= 0,即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y2= 4x.設(shè)A, B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1, t2,y2= 4x,由 x= a+寫(xiě)2t,y= 1 + ,2t得 2t2 2 ,2t + 1 4a = 0.A = (2 ,2)2 4 X 2(1 4a)>0,即a>0,由根與系數(shù)的關(guān)系得ti + t2=21 4atit2=根據(jù)參數(shù)方程的幾何意義可知|PA|= 2|ti I,