現(xiàn)代信號處理方法1_2

1、 第一章第一章 信號的時頻分析信號的時頻分析1.1 引言引言1.2 Hilbert變換與解析信號變換與解析信號1.3 時頻分布及其性質(zhì)時頻分布及其性質(zhì)1.4 二次型時頻分布的交叉項二次型時頻分布的交叉項1.5 Wigner-Ville分布及其應(yīng)用分布及其應(yīng)用1.3時頻分布及其性質(zhì)時頻分布及其性質(zhì) 1.3.1單分量信號與多分量信號單分量信號與多分量信號 單分量信號單分量信號就是在任一時間只有一個頻率或一就是在任一時間只有一個頻率或一個頻率窄帶的信號個頻率窄帶的信號。 圖圖1.2.2單分量信號時頻表示及其特征單分量信號時頻表示及其特征 峰值就是峰值就是瞬時頻率瞬時頻率與瞬時頻率對偶的物理量叫做與瞬

2、時頻率對偶的物理量叫做群延遲群延遲，定義如，定義如下：下：)(arg21)(tzdtdtfi1( )arg( )2gdfZ fdf 多分量信號多分量信號是由兩個（或多個）山峰構(gòu)成是由兩個（或多個）山峰構(gòu)成, 每每一個山峰都有它自己不同的瞬時頻率和瞬時一個山峰都有它自己不同的瞬時頻率和瞬時帶寬。帶寬。 Fourier變換另一種形式變換另一種形式 1.3.2時頻分布定義時頻分布定義dtetsfSftj2)()(dfefStstfj2)()(2維維Fourier變換變換 21)(221212211),(),(dtdtettsffStftfj 21)(221212211),(),(dfdfeffStt

3、stftfjCohen類時頻分布定義類時頻分布定義 dudvdevuzuzftPvufvtj)(2*),()21()21(),(時頻分布的作用：時頻分布的作用：將時間變元將時間變元t的解析信號的解析信號 變換成時間變元變換成時間變元t和頻率變元和頻率變元f的函數(shù)的函數(shù) 。)(tz式中式中 稱為稱為核函數(shù)核函數(shù)。 ),(v),(ftp（1.3.1） 特別，當核函數(shù)特別，當核函數(shù) 時，注意到時，注意到 detztzftPfj2*)21()21(),(則（則（1.3.1)式式化為化為1),(v上式就是著名的上式就是著名的Wigner-Ville分布分布 .)()(2utdveutvjfjfjetzt

4、zduuteuzuz2*2*)21()21()()21()21(（1.3.2） 記記上式是一個雙線性變換（雙時間信號）。關(guān)于上式是一個雙線性變換（雙時間信號）。關(guān)于時間時間t作作Fourier反變換反變換 稱為稱為模糊函數(shù)模糊函數(shù) 。則（則（1.3.1)式可寫成式可寫成 )2()2(),(*tztztkzdtetztzvAtvjz2*)2()2(),(（1.3.3） ),(vAzdvdevvAftPfvtjz)(2),(),(),(（1.3.4） 對上式作對上式作2維維Fourier反變換有反變換有則有則有dtdfeftpvvAfvtjz)(2),(),(),( dueuzuzdtdfeftP

5、vAdtdfeftPvvujfvtjzfvtj2*)(2)(2)2()2(),( ),(),(),(（1.3.5） 如果如果時頻分布時頻分布 有特定性質(zhì)要求有特定性質(zhì)要求, 由上式可決定對由上式可決定對核函數(shù)的性質(zhì)要求核函數(shù)的性質(zhì)要求. ),(ftp互時頻分布定義互時頻分布定義 兩個連續(xù)信號兩個連續(xù)信號 ， 的的互時頻分布互時頻分布定義為：定義為：式中式中是是 和和 的互模函數(shù)。的互模函數(shù)。 )(tx)(tx)(ty dudvdevuyuxftPvufvtjxy)(2*),()21()21(),( dvdevvAftvjxy)(2),(),(（1.3.6） dueuyuxvAvujxy2*)2

6、()2(),(（1.3.7） )(ty兩個信號之和兩個信號之和 的時頻分布的時頻分布為：為： 上式右端前兩項為信號項上式右端前兩項為信號項,后兩項為交叉項后兩項為交叉項. 可以由可以由(自自)時頻分布與互時頻分布的時頻分布與互時頻分布的定義推導(dǎo)出上式定義推導(dǎo)出上式,請學(xué)生自己完成上式的推導(dǎo)請學(xué)生自己完成上式的推導(dǎo).)()()(2211tzctzctz), (), (), (|), (|), (122121,*12,*212221ftPccftPccftPcftPcftPzzzzzzz（1.3.8） 1.3.3時頻分布的基本性質(zhì)要求時頻分布的基本性質(zhì)要求對于任何一種實際和有用的非平穩(wěn)信號分析，對

7、于任何一種實際和有用的非平穩(wěn)信號分析，通常要求時頻分布具有表示信號能量分布的通常要求時頻分布具有表示信號能量分布的特性。因此希望時頻分布能夠滿足下面的性特性。因此希望時頻分布能夠滿足下面的性質(zhì)：質(zhì)： 1.時頻分布必須是實的（且希望是非負的）。時頻分布必須是實的（且希望是非負的）。2.時頻分布關(guān)于時間時頻分布關(guān)于時間t和頻率和頻率f的積分應(yīng)給出的積分應(yīng)給出信信號的總能量號的總能量E，即，即 dtdfftPE),(3.滿足邊緣特性。如果把某一特定時間的所有滿足邊緣特性。如果把某一特定時間的所有頻率的能量分布累加起來，就應(yīng)該得到瞬時頻率的能量分布累加起來，就應(yīng)該得到瞬時功率；如果把某一特定頻率的能量

8、分布在全功率；如果把某一特定頻率的能量分布在全部時間內(nèi)累加，就應(yīng)該得到能量譜密度。因部時間內(nèi)累加，就應(yīng)該得到能量譜密度。因此，在理想情況下，時間和頻率的聯(lián)合密度此，在理想情況下，時間和頻率的聯(lián)合密度應(yīng)該滿足：應(yīng)該滿足： 2| )(|),(fZdtftP2| )(|),(tzdfftP4.時頻分布的一階矩給出信號的瞬時頻率和時頻分布的一階矩給出信號的瞬時頻率和群延遲，即群延遲，即dfftPdfftfPtfi),(),()(dtftPdtfttPfg),(),()(5.有限支撐特性有限支撐特性 從能量角度對時頻分布提出的一個基本性從能量角度對時頻分布提出的一個基本性質(zhì)。在信號處理中，往往要求信號具

9、有有限質(zhì)。在信號處理中，往往要求信號具有有限的時寬和有限的帶寬。如果信號只在某個時的時寬和有限的帶寬。如果信號只在某個時間區(qū)間取非零值，并且信號的頻譜也只在某間區(qū)間取非零值，并且信號的頻譜也只在某個頻率區(qū)間取非零值，則稱信號及其頻譜是個頻率區(qū)間取非零值，則稱信號及其頻譜是有限支撐的，同樣，如果在信號和其頻譜的有限支撐的，同樣，如果在信號和其頻譜的總支撐區(qū)以外，信號的時頻分布等于零，總支撐區(qū)以外，信號的時頻分布等于零，就稱時頻分布是有限支撐的就稱時頻分布是有限支撐的.),(21ttt0)(ts0),(tP),(210)(S0),(tP弱有限支撐弱有限支撐 當當 時時,若若 ,則有則有當當 時時,

10、若若 ,則有則有強有限支撐強有限支撐 若若 ,則有則有若若 ,則有則有0),(tP0),(tP0)(ts0)(S 在上面的特性中，邊緣特性和非負特性保在上面的特性中，邊緣特性和非負特性保證了時頻分布準確反映信號的譜能量、瞬證了時頻分布準確反映信號的譜能量、瞬時功率和總能量。邊緣特性可以保證信號的時功率和總能量。邊緣特性可以保證信號的總體量（平均時間、平均頻率、時寬和帶寬總體量（平均時間、平均頻率、時寬和帶寬等）正確給定。非負性則可以進一步保證分等）正確給定。非負性則可以進一步保證分布的條件期望是切合實際的和物理解釋。非布的條件期望是切合實際的和物理解釋。非負性和邊緣特性一起可以保證時頻分布的負

11、性和邊緣特性一起可以保證時頻分布的強有限支撐。強有限支撐。 但應(yīng)當指出，并不是所有的時頻分布都但應(yīng)當指出，并不是所有的時頻分布都滿足表中的所有性質(zhì)，實際中適用的時頻滿足表中的所有性質(zhì)，實際中適用的時頻分布并非一定要滿足所有的性質(zhì)，應(yīng)該根據(jù)分布并非一定要滿足所有的性質(zhì)，應(yīng)該根據(jù)具體情況進行合理取舍具體情況進行合理取舍。 1.3.4核函數(shù)的基本性質(zhì)要求核函數(shù)的基本性質(zhì)要求 dueuzuzdtdfeftPvAdtdfeftPvvujfvtjzfvtj2*)(2)(2)2()2(),( ),(),(),(由（由（1.3.5）式）式 由時頻分布要求的性質(zhì)由時頻分布要求的性質(zhì),可得到核函數(shù)要求的可得到核函

12、數(shù)要求的性質(zhì)性質(zhì).1、邊緣特性：邊緣特性：為使信號時頻分布滿足時間、為使信號時頻分布滿足時間、頻率邊緣特性，核函數(shù)必須滿足頻率邊緣特性，核函數(shù)必須滿足 時間邊緣時間邊緣: :頻率邊緣頻率邊緣: : 1), 0(v1)0 ,(t2、能量歸一化：能量歸一化：為使時頻分布在不一定滿為使時頻分布在不一定滿足邊緣特性情況下總能量歸一，核函數(shù)必須足邊緣特性情況下總能量歸一，核函數(shù)必須滿足滿足1)0 , 0(3、實值性：實值性：為了使時頻分布是實的，核函為了使時頻分布是實的，核函數(shù)必須滿足數(shù)必須滿足 5 5、尺度不變性：尺度不變性：為使時頻分布具有尺度不為使時頻分布具有尺度不變性，核必須是一個乘積核，即變性

13、，核必須是一個乘積核，即 ),(),(*vv4 4、時、頻移不變性：時、頻移不變性：為使時頻分布具有時、為使時頻分布具有時、頻移不變性，則核函數(shù)必須是與時間和頻率頻移不變性，則核函數(shù)必須是與時間和頻率不相關(guān)的。不相關(guān)的。 )(),(vv6、有限支撐性：有限支撐性：為使時頻分布滿足有限支為使時頻分布滿足有限支撐性，核函數(shù)必須滿足撐性，核函數(shù)必須滿足弱有限支撐：弱有限支撐：強有限支撐強有限支撐 : 時，當|20),(tdvevjvt時，當|20),(vdevj時，當|20),(tdvevjvt時，當|20),(vdevj1.3.5局部相關(guān)函數(shù)與特征函數(shù)局部相關(guān)函數(shù)與特征函數(shù) 信號信號 的瞬時功率實

14、質(zhì)是一種二次型（雙線性）的瞬時功率實質(zhì)是一種二次型（雙線性）變換變換 在平穩(wěn)信號中就用二次型來定義相關(guān)函數(shù)和功率在平穩(wěn)信號中就用二次型來定義相關(guān)函數(shù)和功率譜，即譜，即)(tz)()(*tztzdttztzR)()()(*deRfSfj2)()(考慮到非平穩(wěn)信號與平穩(wěn)信號具有不同的特性，考慮到非平穩(wěn)信號與平穩(wěn)信號具有不同的特性，把上面的自相關(guān)函數(shù)把上面的自相關(guān)函數(shù) 定義成如下對稱形式定義成如下對稱形式)(RdttztzR)2()2()(*對稱的雙線性變換對稱的雙線性變換 更能表現(xiàn)出更能表現(xiàn)出非平穩(wěn)信號的某些重要特性。非平穩(wěn)信號的某些重要特性。)2()2(*tztz非平穩(wěn)信號的非平穩(wěn)信號的局部相關(guān)

15、函數(shù)局部相關(guān)函數(shù)定義如下：定義如下： （1.3.9） duuzuztutR)2()2(),(),(*式中式中 是起平滑作用的窗函數(shù)，它與核函數(shù)是起平滑作用的窗函數(shù)，它與核函數(shù)存在如下存在如下FourierFourier變換關(guān)系：變換關(guān)系： ),(tdtetvtvj2),(),(dvevttvj2),(),(對局部相關(guān)函數(shù)作對局部相關(guān)函數(shù)作Fourier變換，得到變換，得到時變時變功率譜功率譜，也就是信號能量的時頻分布，也就是信號能量的時頻分布，即即（1.3.10） 這表明，時頻分布可以局部相關(guān)函數(shù)定義，只這表明，時頻分布可以局部相關(guān)函數(shù)定義，只要取不同的局部相關(guān)函數(shù)形式，就能得到不同的要取不同

16、的局部相關(guān)函數(shù)形式，就能得到不同的時頻分布。時頻分布。 detRftPfj2),(),(若取窗函數(shù)若取窗函數(shù) ，則得到則得到瞬時相關(guān)函數(shù)瞬時相關(guān)函數(shù) （1.3.10） 它的它的FourierFourier變換就是著名的變換就是著名的WignerWigner-Ville-Ville分布分布 )(),(tutu)2()2()2()2()(), (), (*tztzduuzuztutktRzdetztzftWfjz 2*)2()2(),(（1.3.11） 若信號若信號 的時頻分布為的時頻分布為 ，隨機信號的，隨機信號的特征函數(shù)特征函數(shù)定義為定義為 的二維的二維FourierFourier逆變換逆變換 （1.3.12） 于是時頻分布可以通過特征函數(shù)的二維于是時頻分布可以通過特征函數(shù)的二維FourierFourier變換得到，即變換得到，即 )(tz),(ftp),(ftp dtdfeftPvMftvj)(2)