第八講 矩陣轉(zhuǎn)置、方陣的行列式

1、1 1 1第三講第三講一、矩陣的轉(zhuǎn)置一、矩陣的轉(zhuǎn)置二、方陣的行列式二、方陣的行列式第二章第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算 2 2 2一、轉(zhuǎn)置矩陣一、轉(zhuǎn)置矩陣定義定義 把矩陣把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT. .例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB3 3 3轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì) ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 4 4 4例例1 1 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 10232417123

2、1102AB,1013173140 .1031314170 TAB5 5 5解法解法2 2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 6 6 6對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：定義定義 設(shè)設(shè)A為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足A= AT ，即，即那末那末A稱為稱為對(duì)稱陣對(duì)稱陣. n,j , iaajiij21 .A為對(duì)稱陣為對(duì)稱陣?yán)缋?6010861612對(duì)稱陣的特點(diǎn)是對(duì)稱陣的特點(diǎn)是:它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)相等它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)相等.7 7 7.稱稱為為反反對(duì)對(duì)稱稱的的則則矩矩陣陣如如果果AAAT 說(shuō)明：說(shuō)明：若若A為反對(duì)

3、稱矩陣為反對(duì)稱矩陣, ,則則), 2 , 1,(njiaajiij .021206160為為反反對(duì)對(duì)稱稱陣陣?yán)缛?A反對(duì)稱陣的特點(diǎn)是反對(duì)稱陣的特點(diǎn)是:它的主對(duì)角線上的元素全為零，其它它的主對(duì)角線上的元素全為零，其它的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)的元素以對(duì)角線為對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)互為相反數(shù).8 8 8例例2 2 證明任一證明任一 n 階矩陣階矩陣 A 都可表示成對(duì)稱陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和與反對(duì)稱陣之和.證明證明TAAC 設(shè)設(shè) TTTAAC 則則AAT ,C 所以所以C為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣.,TAAB 設(shè)設(shè) TTTAAB 則則AAT ,B 所以所以B為反對(duì)稱矩陣為反對(duì)稱矩陣.22T

4、TAAAAA ,22BC 命題得證命題得證.9 9 9二、方陣的行列式二、方陣的行列式定義定義 由由 n 階方陣階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式，的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣叫做方陣 A 的行列式，記作的行列式，記作|A| 或或detA8632 A則則. 2 特別注意特別注意方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，方陣是一個(gè)方陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，方陣是一個(gè)數(shù)數(shù)表表，而行列式則是一個(gè)，而行列式則是一個(gè)數(shù)數(shù). 23 68A 如如101010 23103,.6813ABABAB例例設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)算算解：解：23102,3,6813AB 235AB 2 3103 36 8135 5A B 330.55AB.

5、ABAB可可見見111111由由A確定確定detA - -運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則: :;AAT ;,為數(shù)為數(shù) AAn .,同階方陣同階方陣與與BABAAB 注意注意:BABA )1nijkakA)( 但但nnnAkkA )2)3BAAB 但但BABAAB 4332A 4332TA4332 A4332 TA 4332A 4332A 4332 AA224332 設(shè)設(shè)A、B均為均為 n 階方陣，則階方陣，則121212矩陣運(yùn)算與行列式運(yùn)算比較矩陣運(yùn)算與行列式運(yùn)算比較: :2,;nAAAA）應(yīng)應(yīng)為為;ABAB1).ABA B3)443,2AAA 例例設(shè)設(shè) 為為 階階方方陣陣，且且求求解：解：44222348.AA 131313定義定義 方陣方陣A行列式行列式 |A| 的各個(gè)元素的代數(shù)余子式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式 Aij 所所構(gòu)成的如下矩陣構(gòu)成的如下矩陣 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣稱為矩陣A 的的伴隨矩陣伴隨矩陣.伴隨矩陣伴隨矩陣: :1414142314A ，2383514=A 如如：111221224132AAAA ，.112112224312AAAAA 234350141205AAA E可以驗(yàn)證可以驗(yàn)證: :A AA E性質(zhì)性質(zhì).EAAAAA 151515小結(jié)：小結(jié)： 矩陣