山東工商學(xué)院-線性代數(shù)重點(diǎn)

1、(n階行列式)11 L 1MMOM11 L 1解：D4 (n(n10L01L0)MMOM11L(na1a100a2a2-二00a30001110a10a200解：D4MM00n 11(n 1)( 1)n L ananan110L00a2L00a3L00MMMM0Lanan1L11(1)n(n 1)a1a2L 務(wù)三、設(shè) 11,1,1 ,1,2,3 ,31,3,t(1)當(dāng)t為何值時(shí),向量組 1, 2, 3線性相關(guān)?當(dāng)t為何值時(shí),向量組 1111解：(1)當(dāng)D12313t(3)當(dāng)1, 2, 3線性相關(guān)時(shí),1 2,3線性相關(guān)3可否由1,2線性表示？假設(shè)能,求111012t 50,即 t 5 時(shí),02

2、t 12,3線性無關(guān)?其表示系數(shù)(2)當(dāng)D t 50,即t 5時(shí),1,2, 3線性無關(guān)(3)當(dāng)t 5時(shí),解線性方程組3X1 1 X2 2,即X|x21x1 2x23得x 1x22x1 3x25所以3可由1 , 2線性表示,表達(dá)式為:3122 .四試判斷向量2,4,8可否由向量組12,1,121,1,3 ,31,1,342,1,1線性表出？假設(shè)能,請(qǐng)?jiān)噷懗銎湟环N表示形式解:解線性方程組X1 1X2 2X33&42x1X2X32x42即xX3X443x23x3X482112210212A1111411114133181331810212102120130601306035010004081

3、0212100 1201306010 0000102001 02X12x4即X20,當(dāng)X40時(shí),X12,X20,X3 2,X4 0.X32所以210 22304 .五證實(shí)：假設(shè)向量組12s 線性相關(guān),那么向量組11,212,L ,s123s 也線性相關(guān) .證明：顯然, 向 量 組 1, 2,L ,s 可由向量 組 1,2,L ,s 線 性 表出 , 故 秩1, 2,L ,s )秩(1,2,L ,s,而向量組1, 2丄, s 線性相關(guān),有秩1, 2,L ,ss,那么秩1, 2,L, s s ,所以向量組1, 2,L , s也線性相關(guān)六證實(shí)：假設(shè)向量組1,2,3可由向量組1 ,2,3 線性表出,1

4、,2,3線性相關(guān),那么1, 2 , 3 也線性相關(guān) .證實(shí)： 由于向量組 1, 2, 3 可由向量組 1, 2, 3 線性表出,故秩 1, 2, 3 秩1,2,3 ,而向量組1,2,3線性相關(guān),有秩1,2,3 S,那么秩1,2,3s,所以向量組1,2,3也線性相關(guān) .123121k2七設(shè)矩陣A0113 , 假設(shè)它的秩等于 3,求 k 的值11042025解：對(duì)矩陣A進(jìn)行初等變換12311231123121k205k6000k115A01130113011311040333000122025044300015123112300113011000k11500k100001000100010000要

5、使矩陣A 的秩等于3,那么k1.八、設(shè)向量組i 1, 1,2,4, 20,3,1,2 , 33,0,7,14, 41, 2,2,0 ,52,1,5,10 .求其極大無關(guān)組103121031130210331A217250110421401002201031210312000100110101101000100000000000這個(gè)向量組的秩為3,其極大無關(guān)組為1,2 ,九試求向量組1 1,1,2,2,20,2,1,5 ,32,03,1,4解：根據(jù)這個(gè)向量組作一個(gè)矩陣并對(duì)這個(gè)矩陣作初等行變換2312將其余向量用此極大無關(guān)組表示解：根據(jù)這個(gè)向量組作一個(gè)矩陣并對(duì)這個(gè)矩陣作初等行變換4 或 1,3 ,

6、4 或 1,4 ,5.1,1,0,4的秩和一個(gè)極大無關(guān)組,并這個(gè)向量組的秩為一個(gè)極大無關(guān)組為,且有2x1x2x30取何值時(shí),方程組xx2x30有非零解？4x15x2 5x30解：當(dāng)這個(gè)線性方程組的系數(shù)行列式212 1D111 0(1)(54) 0,4 554504十這個(gè)線性方程組有非零解4時(shí),即 1或32120Xi十一方程組4X15x1X2 X3 X4 X513x2 2x3 2x4 2x514x2 3x3 3x4 x5 aX22x3 2x4 6x5 b問：當(dāng)a、b為何值時(shí),方程組有解？無解？有解時(shí),是唯一解還是無窮解?解:對(duì)這個(gè)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換1111111 1111 143

7、22210 12263A54331a0 1226 a 501226b0 1226b11111101226300000a 200000b 3當(dāng)a2或b3時(shí),這個(gè)線性方程組無解；當(dāng)a 2且b 3時(shí),這個(gè)線性方程組有解,且有無窮多解十二a、b取何值時(shí),線性方程組Xi X2X3X4X53 2x2X3X43x5x2 2x3 2x4 6x53解:對(duì)這個(gè)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換11111111111132113a01226a 3A01226301226354331b01226b 510115201226300000a00000 b25x1 4x23X33x4X5有解,并求出全部解當(dāng)a 0且b 2時(shí)

8、,這個(gè)線性方程組有解,其全部解為211532260k111<2 0 1<3 0 , <1*2*3為任意常數(shù)00100001十三設(shè)A125203TTTB,求AB,B A,A A341,12 021125133解：abt0234130352158 11T1 25B A023 4168 2 ；3036151310148ata125241420143415181426十四設(shè)A2A,說明EA可逆,并求EA) 1.解：由A2A,得AA2EE,有A1A2 E1 A2E,22進(jìn)一步有AE1 A) E -2 2AE,即E1A)(E -A) E,所以E A可逆,且(EA)1 (E 1 A).十五

9、設(shè)n階方陣A和B滿足條件AB AB,證實(shí)A E為可逆矩陣證實(shí)：由A BAB,得ABABOMAB A B EE,即AEJ(BE) E,所以A E為可逆矩陣,且AE)1B E.121十六用初等變換求A310的逆矩陣.102解：對(duì)下面矩陣只進(jìn)行初等行變換121100121100(A|E)310010053310102001023101102001102001013112013112023101009125-9 1-3 5-94-9 1-3 2-92 一 9 2-3 1-9o o 1o 1 o1 o o1 2 5-9 0 12-9 o 11-92 3 1 o 1 o 1 o o121故A 131010

10、2125999十七設(shè)A21311111 ,B20 ,求解矩陣方程 AX B X1 2 153解：X (A E) 1B,對(duì)下面矩陣只進(jìn)行初等行變換11311(A E|B)121201205374211311032 11033641519所以 X (A E)1B15519十八假設(shè)n階矩陣A滿足A2 2A EO ,試證A可逆,并求出A 1.證實(shí)：由A2 2A E O得2A A2E,即 A(2E A) E,所以A可逆,且A 1(2E A).十九、求正交矩陣T ,使T1AT為對(duì)角矩陣.112333221解：1求 fA(1)( 2)(5).2由1解得A的特征值為:1,2,35.3對(duì)于1,解齊次線性方程組得

11、其線性無關(guān)的特征向量為:X3X1對(duì)于 2,解齊次線性方程組X2得其線性無關(guān)的特征向量為:X1對(duì)于5,解齊次線性方程組X2得其線性無關(guān)的特征向量為:4將3單位化得1X312233321-,有 T 1AT3332213335)令 T ( 1 , 2 , 3)1 0 00 2 00 0 54101-1410A01411014解：1求 fA41011410014110142)(4)2(6).2由1解得A的特征值為:12,234,46 .2101為01210x,03)對(duì)于2,解齊次線性方程組0121x30得其線性無關(guān)的特征向量為:對(duì)于4,解齊次線性方程組得其線性無關(guān)的特征向量為:1012焉0111110101x