數(shù)學(xué)物理方法快速學(xué)習(xí)資料與練習(xí)題

1、現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育數(shù)學(xué)物理方法課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書作者：趙先林08年 2月 課程學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)為便于學(xué)員盡快進(jìn)入本課程的學(xué)習(xí)，下面將簡要介紹本課程的性質(zhì)及基本要求，并給出學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。一、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù) 通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程和特殊函數(shù)的基本理論、建模方法和計(jì)算方法，并能將數(shù)學(xué)結(jié)果聯(lián)系物理實(shí)際，加深對物理理論的理解，為學(xué)習(xí)電動力學(xué)和量子力學(xué)等后繼課程打下良好的基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)的基本要求通過本課程的教學(xué),學(xué)員應(yīng)達(dá)到下列基本要求:1.掌握復(fù)變函數(shù)論的基本理論、微分和積分的方法、了解殘數(shù)及其在積分中的應(yīng)用 2.掌握弦振動方程、熱傳導(dǎo)方程、電報方程的建模過程 3. 初步學(xué)會確定

2、邊界條件和初始條件4.熟練掌握分離變量法、達(dá)朗貝爾法、付里葉變換法和拉普拉斯變換法5.了解特殊函數(shù)的導(dǎo)出和意義三、學(xué)習(xí)方法建議學(xué)習(xí)本課程最基本的方法是課前預(yù)習(xí)，課后復(fù)習(xí)，多做習(xí)題。針對課前預(yù)習(xí)時存在的問題，通過上課時認(rèn)真的學(xué)習(xí)，并嘗試運(yùn)用上課時所學(xué)內(nèi)容解決這些問題，或者通過課外指導(dǎo)書，仔細(xì)研究書中例題，在此過程中搞懂、會做課后習(xí)題，從而對課程內(nèi)容有進(jìn)一步認(rèn)識。此外，每章結(jié)束后，做好階段性總結(jié)。還要制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，善于自主學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)中，既重視知識的記憶，也重視對知識的反思。此外，為方便大家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)將教材及參考書羅列如下：（一）教材：高等數(shù)學(xué)（第四冊）四川大學(xué)高等教育出版社（二）參考書：1、數(shù)學(xué)

3、物理方法，梁昆淼，高等教育出版社，第三版2、數(shù)學(xué)物理方法教程，劉志旺，高等教育出版社3、數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)，姚端正，科學(xué)出版社希望各位學(xué)員善于這些教參書，能取得一個良好的成績。課程學(xué)習(xí)進(jìn)度安排周次日期學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容（章節(jié)名稱、學(xué)習(xí)的內(nèi)容提綱）第一周第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二周第二章 解析函數(shù)第三周第三章 哥西定理 哥西積分第四周第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示4.1函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)4.2冪級數(shù)與解析函數(shù)4.3羅朗級數(shù)第五周第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示4.4單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)第六周第五章 殘數(shù)及其應(yīng)用5.1殘數(shù) 5.2利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分第七周1-5章復(fù)習(xí)課第八周第七章 一維波動方程的付氏解第九

4、周第八章 熱傳導(dǎo)方程的付氏解第十周第九章 拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問題的付氏解第十一周第十章 波動方程的達(dá)朗貝爾解第十二周第十三章 付里葉變換第十三周第十四章 拉普拉斯變換第十四周7-14章復(fù)習(xí)課第十五周第十五章 勒讓德多項(xiàng)式 球函15.1勒讓德微分方程及勒讓德多項(xiàng)式15.2勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)及其遞推公式15.3按勒讓德多項(xiàng)式展開第十六周第十五章 勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù)15.4連帶勒讓德多項(xiàng)式15.5拉普拉斯方程在球形區(qū)域上的狄利克雷問題第十七周第十六章 貝塞耳函數(shù) 柱函數(shù)第十八周15-16章復(fù)習(xí)課及總復(fù)習(xí)課課程學(xué)習(xí)課時分配章 次教 學(xué) 內(nèi) 容學(xué)時備注第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)4第二章解析函數(shù)4第

5、三章哥西定理 哥西積分4第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示8第五章殘數(shù)及其應(yīng)用4第七章一維波動方程的付氏解4第八章熱傳導(dǎo)方程的付氏解4第九章拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問題的付氏解4第十章波動方程的達(dá)朗貝爾解4第十三章付里葉變換4第十四章拉普拉斯變換4第十五章勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù)8第十六章貝塞耳函數(shù) 柱函數(shù)4第一章 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)一、 章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算。2. 掌握復(fù)數(shù)的幾種表示法及互換關(guān)系，能正確地求出復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模與輻角，了解共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。3. 理解復(fù)數(shù)的幾何意義。4. 了解各種區(qū)域。5. 理解復(fù)函的極限與連續(xù)。6. 知道復(fù)函極限存在與連續(xù)的充要條件。二、 章節(jié)重點(diǎn)本部分學(xué)

6、習(xí)的主要內(nèi)容包括復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)的基本概念、復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)三個部分。掌握復(fù)數(shù)的幾種表示方法。分別為以下三種：1.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示；2.復(fù)數(shù)的幾何表示；3.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示。其中復(fù)數(shù)的幾何表示與指數(shù)表示可以使有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算簡化，從而達(dá)到能夠正確解題的要求。例如計(jì)算復(fù)數(shù)的乘冪及復(fù)數(shù)的方根時，運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何表示和指數(shù)表示就能快速計(jì)算出結(jié)果。對復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則也需掌握，需明確實(shí)數(shù)中的運(yùn)算規(guī)則在復(fù)數(shù)中同樣是適用的。本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容還包括復(fù)變函數(shù)的基本概念。其中所涉及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)問題，是首先要了解的。對于復(fù)函的極限定義與連續(xù)定義需要知道。并且需要知道復(fù)變函數(shù)極限存在與連續(xù)的充要條件，即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的

7、充分必要條件是二元實(shí)函數(shù)于連續(xù)。這是本章的重中之重，一定要掌握它的定義、定理以及應(yīng)用，對這一部分書本上的例題要會計(jì)算。三、 章節(jié)考試大綱第一節(jié) 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)域 復(fù)平面 復(fù)數(shù)的模與幅角 復(fù)數(shù)的乘冪與方根第二節(jié) 區(qū)域與約當(dāng)曲線 復(fù)變函數(shù)的概念 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性第三節(jié) 復(fù)球面 閉平面上的幾個概念四、 章節(jié)練習(xí)題（一） 選擇題1. 為復(fù)數(shù)，則（ ）。A 沒有意義； B 為周期函數(shù)；C 為周期函數(shù)； D 。2由對數(shù)函數(shù)的定義有（ ）。 （二）填空題1.復(fù)數(shù)的幅角為 ，模為 。2函數(shù)，將z平面的圖形；以原點(diǎn)為中心，R為半徑的圓，變?yōu)閣平面的圖形為 。第二章 解析函數(shù)一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解復(fù)函的導(dǎo)數(shù)的

8、概念、解析函數(shù)的概念。2 掌握復(fù)變函數(shù)解析的充要條件，并能應(yīng)用函數(shù)解析的充要條件判別函數(shù)的解析性和可導(dǎo)性。3 了解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；掌握從已知調(diào)和函數(shù)求出解析函數(shù)的方法。4 了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)的定義和性質(zhì).二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括解析函數(shù)的概念及哥西黎曼條件、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系、初等解析函數(shù)三個部分。知道解析函數(shù)的概念，并且要深入掌握哥西黎曼條件，哥西黎曼條件是本章內(nèi)容的重要部分。哥西黎曼條件為下列公式，記為CR條件。知道CR條件后，對函數(shù)可微的充分必要條件能更進(jìn)一步了解。即函數(shù)在點(diǎn)可微的充分必要條件是二元實(shí)函數(shù)于可微并滿足CR條件。這是本

9、章的重點(diǎn)，要掌握它的定義、定理以及應(yīng)用。掌握解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。知道任何一個在區(qū)域D上解析的函數(shù)，其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)。即滿足條件。對已知實(shí)虛部，再求解函數(shù)的習(xí)題，或已知函數(shù)，求實(shí)虛部的題要掌握，要學(xué)會計(jì)算。對于初等解析函數(shù)部分，一些基本的解析函數(shù)，如冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)雙曲函數(shù)，等等。它們都可以看成是相應(yīng)實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的推廣。要掌握·如何將相應(yīng)實(shí)變函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域·這些函數(shù)的解析性·這些函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)所特有的性質(zhì)并且掌握初等多值函數(shù)的計(jì)算。三、 章節(jié)考試大綱第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的定義 哥西黎曼條件 解析函數(shù)的定義第二節(jié) 共厄調(diào)和函數(shù)的

10、求法 共厄調(diào)和函數(shù)的幾何意義第三節(jié) 初等單值函數(shù) 初等多值函數(shù)四、 章節(jié)練習(xí)題（一）計(jì)算題1.已知，求解析函數(shù)。2.設(shè)，規(guī)定，求。第三章 哥西定理 哥西積分一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握復(fù)變函數(shù)積分的定義、基本性質(zhì)及計(jì)算方法。2. 記住并能熟練地運(yùn)用公式。3. 牢固地掌握哥西定理及其推廣定理。4掌握哥西積分公式及其推廣定理。5掌握解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)的存在性。6熟練地運(yùn)用哥西積分公式和柯西導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)的圍道積分。7解析函數(shù)在平面場中的應(yīng)用。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括復(fù)變積分的概念及其簡單性質(zhì)、哥西積分及其推廣、哥西積分公式及其推廣、解析函數(shù)再平面場中的應(yīng)用四個方面。會計(jì)算一

11、般的積分，并且要掌握哥西積分定理，知道哥西定理的使用條件和范圍。若函數(shù)在單連通區(qū)域D上解析，C是D內(nèi)的任意一條分段光滑的圍線，則。在運(yùn)用哥西定理解題的時候，要分清積分路徑所包含的范圍，注意函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)是否解析。只有當(dāng)滿足所有條件時，才能運(yùn)用哥西定理。對于哥西定理的推廣這一部分的內(nèi)容是一樣的運(yùn)用原理。 此外，書本上例題5也是很重要的內(nèi)容，通過此例題的結(jié)論也可求積分的值，是很重要的結(jié)論。因此需要將此結(jié)論深入理解并記住，并將書上例題掌握。對于哥西積分公式可以改寫成這個公式表明，對于在某界閉域上解析的函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的值可用它在邊界上的值表示出來。這是解析函數(shù)的一個基本性質(zhì)。借用此公式可以計(jì)算某

12、些圍線積分。對解析函數(shù)在平面場中的應(yīng)用部分需要掌握復(fù)位勢的定義概念，并會計(jì)算例題。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié) 哥西積分的定義及其計(jì)算方法 復(fù)變積分的簡單性質(zhì)第二節(jié) 哥西積分定理 不定積分 哥西積分定理推廣到復(fù)圍線的情形第三節(jié) 哥西積分公式 解析函數(shù)的無限次可微性 模的最大值原理 哥西不等式 劉維爾定理 摩勒納定理第四節(jié) 什么叫平面場 復(fù)位勢 舉例四、章節(jié)練習(xí)題（一）選擇題1下列積分不為零的是（ ）。A ； B ；C ； D 。（二） 填空題 1. 。（三）計(jì)算題1.計(jì)算積分，其中積分路徑如右圖示，（1）C為連結(jié)O點(diǎn)到點(diǎn)的直線段（2）C為連結(jié)O點(diǎn)到1點(diǎn)再到點(diǎn)的折線2.計(jì)算3.計(jì)算積分， 此處C是。

13、第四章 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)級數(shù)及級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂、一致收斂及有關(guān)性質(zhì)，會使用收斂判據(jù)。2. 正確確定冪級數(shù)的收斂半徑，并了解冪級數(shù)的性質(zhì)。3. 掌握泰勒級數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系及泰勒展開的方法。4. 掌握羅朗級數(shù)與奇點(diǎn)存在的關(guān)系。5. 羅朗級數(shù)展開的方法。6. 理解其收斂半徑與孤立奇點(diǎn)的關(guān)系。7. 孤立奇點(diǎn)的類型。8. 精確地判斷孤立奇點(diǎn)的類型，掌握其特點(diǎn)。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)、冪級數(shù)與解析函數(shù)、羅朗級數(shù)、單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)四個方面。了解冪級數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系，知道解析函數(shù)可以表示成冪級數(shù)。根據(jù)解析函數(shù)的解析

14、范圍，有兩種展開方法可將解析函數(shù)表示成冪級數(shù)。(一) 泰勒定理設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析, ，只要圓含于D內(nèi)，則在內(nèi)能展成冪級數(shù)，其中系數(shù)并且展式是唯一的，此展式稱為是在點(diǎn)的泰勒展式，這樣確定的系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。 可通過上述定理將一個解析函數(shù)展開成冪級數(shù)。泰勒展開總結(jié)：1、泰勒級數(shù)在解析圓域內(nèi)進(jìn)行展開。2、展開式是唯一的，可用各種方法展開。3、展開式在其可展區(qū)域內(nèi)是收斂的。（二）羅朗定理在圓環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)必可展成級數(shù)其中稱為羅朗系數(shù),右邊的級數(shù)稱為羅朗級數(shù)。 為圓周，并且展式是唯一的, 即及圓環(huán)H唯一地決定了系數(shù)。羅朗級數(shù)展開總結(jié)1、 羅朗級數(shù)在孤立奇點(diǎn)的一個環(huán)域內(nèi)進(jìn)行展開。2、 展開式是唯一的，可用各

15、種方法展開。3、 展開式在其可展區(qū)域內(nèi)是收斂的。4、展開式一般是一個雙邊級數(shù)。上述兩種方法都可以將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)，但是有所差異，要明白兩者之間的差異。能正確地判斷孤立奇點(diǎn)的類型，掌握其特點(diǎn)。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù) 一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)第二節(jié) 冪級數(shù)的斂散性 解析函數(shù)的冪級數(shù)表示第三節(jié) 雙邊冪級數(shù)的收斂圓環(huán) 解析函數(shù)的羅朗展式 羅朗展式舉例第四節(jié) 孤立奇點(diǎn)的三種類型 可去奇點(diǎn) 極點(diǎn) 本性奇點(diǎn) 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)四、章節(jié)練習(xí)題（一）填空題1. 的收斂區(qū)間為 。2. 就奇點(diǎn)的類型而言，是函數(shù)的 奇點(diǎn)。 。3. 的收斂區(qū)間 。（二）計(jì)算題1. 將在上展成羅朗級數(shù)；2. 將函數(shù)在

16、（1）（2）內(nèi)展成羅朗級數(shù)。第五章 殘數(shù)及其應(yīng)用一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解殘數(shù)的概念，掌握殘數(shù)的計(jì)算的方法。2. 掌握殘數(shù)定理，并能正確應(yīng)用于計(jì)算復(fù)變函數(shù)的圍道積分。3. 了解無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)的性質(zhì)和定理。4. 掌握利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分的一般方法，學(xué)會根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)?shù)倪x擇輔助函數(shù)和積分圍道來計(jì)算實(shí)定積分。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括殘數(shù)、利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分兩個方面。對殘數(shù)的概念要理解，知道殘數(shù)定理的具體內(nèi)容，并能掌握殘數(shù)的計(jì)算方法。設(shè)以有限點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，則在點(diǎn)的某無心領(lǐng)域內(nèi)可以展成羅朗級數(shù)我們稱此展式中的系數(shù)為在a點(diǎn)的殘數(shù)(或留數(shù))，記為故也可將作為殘數(shù)的定義。利用殘數(shù)的定義可以直

17、接求解殘數(shù)。設(shè)在圍線C所包圍的區(qū)域D上除點(diǎn)外解析，并且在C上每一點(diǎn)也解析，則。 此即為殘數(shù)定理，利用殘數(shù)定理，可以求解一些難計(jì)算的積分。了解無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)的性質(zhì)和定理，知道無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也可看作式函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，根據(jù)孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)來判斷無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)的性質(zhì)和定理。掌握利用殘數(shù)計(jì)算實(shí)積分的一般方法，學(xué)會根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)?shù)倪x擇輔助函數(shù)和積分圍道來計(jì)算實(shí)定積分。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié) 殘數(shù)的性質(zhì)和殘數(shù)定理 殘數(shù)的求法 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的殘數(shù)第二節(jié) 的計(jì)算 的計(jì)算 實(shí)軸上有奇點(diǎn)的類型 其它例子四、章節(jié)練習(xí)題（一）填空題1. 。2. 函數(shù)在處的殘數(shù)為 。3. 函數(shù)在處的留數(shù)分別為 ， ， （二）計(jì)算題1. 計(jì)算；2

18、. 計(jì)算；第七章 一維波動方程的付氏解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問題的一般步驟。2. 掌握一維波動方程的推導(dǎo)和建立方程的一般方法。3. 能正確寫出波動方程的定解問題和定解條件。4. 掌握利用分離變量法求解齊次定解問題。5. 掌握利用付里葉解法求解齊次定解問題。6. 能夠得出非齊次方程的解。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括一維波動方程弦振動方程的建立、齊次方程混合問題的付里葉解法、強(qiáng)迫振動 非齊次方程的求解三個方面。對一維波動方程的建立這一部分，需要掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問題的一般步驟。一般有如下四個步驟：1. 實(shí)例2. 弦的數(shù)學(xué)物理模型3. 振動方程的建立4

19、. 定解條件的提出利用上面四個步驟即可根據(jù)實(shí)例導(dǎo)出一維波動方程。能正確寫出波動方程的定解問題和定解條件。對于一個實(shí)際問題，不僅要學(xué)會如何由現(xiàn)象看到本質(zhì)，列出方程，而且還要根據(jù)實(shí)例中的條件，寫出波動方程的定解問題和定解條件。掌握分離變量法的步驟，并利用分離變量法求解齊次及非齊次方程的定解問題。分離變量法分為以下四個步驟：（一）分離變量（二）求解關(guān)于的特征值，再解，然后利用疊加原理作無窮級數(shù)（三）由初始條件確定上述無窮級數(shù)的待定系數(shù)三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 弦振動方程的建立 定解條件的提出第二節(jié)、 利用分離變量法求解齊次弦振動方程的混合問題 付氏解的物理意義四、章節(jié)練習(xí)題 （一）選擇題 1. 下

20、列方程是波動方程的是（ ）。A ； B ；C ； D 。2. 用分離變量法求解偏微分方程定解問題的一般步驟是（ ）。A 分離變量 解單變量本征值問題 得單變量解 得分離變量解；B 分離變量 得單變量解 解單變量本征值問題 得分離變量解；C 解單變量本征值問題 得單變量解 分離變量 得分離變量解；D 解單變量本征值問題 分離變量 得單變量解 得分離變量解。3. 定解問題 的解為（ ）。 4. 2彈性桿原長為，一端固定，另一端被拉離平衡位置而靜止，放手任其振動，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件可寫作以下三種情況的哪一種（ ）。A ，;B. C. （二）填空題1. 一維波動方程的齊次邊界條件為 。

21、2. 波動方程的付里葉解中頻率最低的項(xiàng)稱為 ，振動最強(qiáng)的位置稱為 。3. 本征方程的本征值為 。（三）計(jì)算題1. 求解定解解問題2. 29長為兩端固定的弦，弦中張力為。在處受到一橫向力作用后開始振動，求解該振動問題。第八章 熱傳導(dǎo)方程的付氏解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 能建立熱傳導(dǎo)方程2. 理解其初始條件與邊界條件3. 求混合問題的付氏解4. 初值問題的付氏解法5. 一端由界的熱傳導(dǎo)問題 二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程的建立、混合問題的付里葉解法、初值問題的付氏解法、一端有界的熱傳導(dǎo)問題四個方面。能夠由實(shí)例建立熱傳導(dǎo)方程。能理解其初始條件與邊界條件。復(fù)習(xí)用分離變量法解

22、混合問題了解熱傳導(dǎo)方程的初值問題以及掌握其付氏解法。對于無邊界熱傳導(dǎo)方程的初值問題：， 其中為一已知函數(shù)。如果方程描述一個熱傳導(dǎo)方程，則此初值問題表示：已知一個無限長的細(xì)桿在初始時刻的溫度分布，而求其以后的溫度分布。掌握分離變量法求解定解問題。對一端有界的熱傳導(dǎo)問題需要會解其定解問題。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 熱傳導(dǎo)方程的建立 擴(kuò)散方程的建立 定解條件第二節(jié)、 混合問題的付氏解法第三節(jié)、 付氏積分 利用付氏積分解熱傳導(dǎo)方程的初值問題 付氏解的物理意義第四節(jié)、 定解問題的解 舉例四、章節(jié)練習(xí)題（一）填空題熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為 。第九章 拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問題的付氏解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目

23、標(biāo)1. 二維拉氏方程直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系.2. 理解其狄利克雷問題.3. 求狄利克雷問題的付氏解4. 理解函數(shù)的定義.5. 掌握函數(shù)的性質(zhì).6. 證明弱收斂序列的弱極限 二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括圓的狄利克雷問題、函數(shù)兩個方面。知道二維拉氏方程直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系。二維的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)下的表示為，在極坐標(biāo)下的表示為，根據(jù)上兩式可知二維拉氏方程的兩種不同表示之間的關(guān)系。理解其狄利克雷問題。對邊值問題其中為已知函數(shù)，并有。上述邊值問題，習(xí)慣上稱為圓的狄利克雷問題。求狄利克雷問題的付氏解。仍然是用分離變量法進(jìn)行，要注意與前面分離變量法的不同。 理解函數(shù)的定義，掌握

24、函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù):（1）.。（2）.。（3）.函數(shù)的量綱。知道什么是弱收斂序列的弱極限，并且會證明。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 定解問題的提法 定解問題的付氏解法第二節(jié)、 函數(shù)的引入 函數(shù)的性質(zhì) 把函數(shù)看作是弱收斂序列的弱極限 高維空間中的函數(shù)及函數(shù)的其它性質(zhì)四、章節(jié)練習(xí)題 （一）選擇題 1. 二維拉普拉斯方程的定解問題是（ ）。A 哥西問題； B 狄拉克問題；C 混合問題； D 狄里克雷問題。2. 一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時有則我們稱（ ）。A 收斂于； B 絕對收斂于；C 弱收斂于； D 條件收斂于。3. 下列函數(shù)不是函數(shù)的是（ ） （二）填空題寫出三維直坐標(biāo)下

25、的拉普拉斯方程 。（三）計(jì)算題1. 證明；2. 求解定解解問題第十章 波動方程的達(dá)朗貝爾解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 會導(dǎo)出并記住波動方程的通解。2. 掌握達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用3. 理解達(dá)氏解的意義. 4. 了解三維波動方程的初值條件及其泊松公式. 二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括弦振動方程初值問題的達(dá)朗貝爾解法、高維波動方程兩個方面。會導(dǎo)出并記住波動方程的通解。掌握達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用。這個式子稱為達(dá)朗貝爾公式或者達(dá)朗貝爾解，簡稱達(dá)氏解。達(dá)朗貝爾解法的思路容易理解，先求出通解，然后從中挑選特解。理解達(dá)氏解的意義. 自由弦振動方程的解,總可以寫成的形式. 方程的解表示成的形式時,振動的波形是以

26、常速度向右傳播, 所描述的振動規(guī)律,稱為右傳播規(guī)律或正形波。同樣所描述的振動規(guī)律,稱為左傳播波或逆行波。了解三維波動方程的初值條件及其泊松公式.三維波動方程的初值問題：其中為已知函數(shù)。 其泊松公式為三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 達(dá)朗貝爾解的推出 達(dá)朗貝爾解的物理意義 舉例 依賴區(qū)間 決定區(qū)域和影響區(qū)域第二節(jié)、 三維波動方程的初值問題 降維法四、章節(jié)練習(xí)題（一）計(jì)算題1. 求解。2求解第十三章 付里葉變換一、 章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解付氏變換的意義2 能求其付里葉變換3 理解函數(shù)的付里葉變換4. 掌握付里葉變換的應(yīng)用5. 了解基本解的物理意義6. 知道基本解的定義二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

27、包括付氏變換的定義及其基本性質(zhì)、用付氏變換解數(shù)理方程舉例。基本解三個方面的內(nèi)容。理解付氏變換的意義。定義其逆變換為。稱為的付里葉變換或象, 而稱為的逆付氏變換或原象。利用付氏變換的定義可以求得函數(shù)的付氏變換或逆變換。理解函數(shù)的付里葉變換。 函數(shù)的付里葉變換會利用付里葉變換的性質(zhì)求某些函數(shù)的付里葉變換。了解基本解的物理意義。知道基本解的定義函數(shù)代表單位點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的電位，除這一個點(diǎn)之外，它處處滿足拉普拉斯方程。而則代表區(qū)域D中密度為的電荷所產(chǎn)生的電位，它滿足泊松方程。由此可見，函數(shù)在求解拉普拉斯方程和泊松方程時起了很重要的作用，人們把它稱為三維拉普拉斯方程或泊松方程的基本解。三 、章節(jié)考試大綱第

28、一節(jié)、 付氏變換的定義 付氏變換的基本性質(zhì) n維付氏變換 函數(shù)的付氏變換第二節(jié)、 用付氏變換解數(shù)理方程舉例第三節(jié)、 基本解的物理意義 基本解的定義 非定常型非齊次方程的基本解四、章節(jié)練習(xí)題（一）計(jì)算題1.求解熱傳導(dǎo)方程的哥西問題2求（是常數(shù)）的付里葉變換；第十四章 拉普拉斯變換一、 章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解拉氏變換的意義2. 能用拉普拉斯求變換3. 拉普拉斯變換的性質(zhì)4. 掌握運(yùn)用拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理方程。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括拉氏變換的定義和它的逆變換、拉氏變換的基本性質(zhì)及其應(yīng)用舉例、展開定理三個方面的內(nèi)容。付氏變換在信號處理領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，但其應(yīng)用范圍卻受到限制，它既

29、要求函數(shù)在整個實(shí)軸上有定義，又要求函數(shù)滿足狄氏條件，這對于以時間為指數(shù)增長的函數(shù)無能為力。能否找一個既類似于付氏變換，又能克服以上困難的一種變換？故有了拉普拉斯變換。拉普拉斯變換和付氏變換之間有差異，主要是原象和象之間的關(guān)系。原象：付氏變換的原象函數(shù)的自變量一般為空間坐標(biāo)， 拉氏變換的原象函數(shù)的自變量一般為時間。象：付氏變換的象函數(shù)是一以實(shí)變量的復(fù)函， 拉氏變換的象函數(shù)是以一復(fù)變量的復(fù)函。要熟練掌握拉普拉斯變換的定義，會根據(jù)定義計(jì)算拉氏變換和逆拉氏變換。掌握運(yùn)用拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理方程。對拉普拉斯變換的運(yùn)用需要將書上例題弄懂，會做題。首先掌握課本例題1-5，再利用例1-5題結(jié)論和性質(zhì)直接進(jìn)行

30、計(jì)算。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 付氏變換與拉氏變換 拉氏變換的定義 拉氏變換的存在定理和反演定理第二節(jié)、 拉氏變換的基本性質(zhì)及其應(yīng)用舉例第三節(jié)、 展開定理 用反演公式解數(shù)理方程舉例四、章節(jié)練習(xí)題（一）計(jì)算題1. 求（是常數(shù)）的拉普拉斯變推換。2求的逆拉普拉斯變推換。第十五章 勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù)一、 章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解勒讓德方程推出過程2. 知道勒讓德多項(xiàng)式的定義3記住勒讓德多項(xiàng)式的微分式和積分式。4. 掌握勒讓德多項(xiàng)式的各項(xiàng)性質(zhì)如遞推公式、母函數(shù)關(guān)系、正交歸一性、展開定理及其運(yùn)用。5掌握連帶勒讓德多項(xiàng)式、球函數(shù)的定義及它們的正交歸一和展開定理。6. 掌握在球坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于

31、具體的物理問題。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括勒讓德微分方程及勒讓德多項(xiàng)式、勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)及其遞推公式、按勒讓德多項(xiàng)式展開、連帶勒讓德多項(xiàng)式和拉普拉斯方程在球形區(qū)域上的狄利克雷問題五個方面的內(nèi)容。記住勒讓德多項(xiàng)式的定義。記住勒讓德多項(xiàng)式的微分式和積分式。勒氏多項(xiàng)式的另一種表示法,即所謂的洛德利格公式。勒氏多項(xiàng)式的施列夫利積分表達(dá)式，或簡稱為施氏積分.掌握勒讓德多項(xiàng)式的各項(xiàng)性質(zhì)如遞推公式、母函數(shù)關(guān)系、正交歸一性、展開定理及其運(yùn)用。把 (或者1/r)稱為勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)遞推公式勒氏多項(xiàng)式序列在區(qū)間-1,1上正交,即 勒讓德多項(xiàng)式的歸一性掌握連帶勒讓德多項(xiàng)式、球函數(shù)的定義及它們

32、的正交歸一和展開定理。掌握在球坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 勒讓德微分方程的導(dǎo)出 冪級數(shù)解好勒讓德多項(xiàng)式的定義 勒讓德多形式的微分表達(dá)式洛德利格公式 勒讓德多項(xiàng)式的施列夫積分表達(dá)式第二節(jié)、 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式第三節(jié)、 勒讓德多項(xiàng)式的正交性 勒讓德多項(xiàng)式的歸一性 展開定理的敘述第四節(jié)、 連帶勒讓德多項(xiàng)式的定義 連帶勒讓德多項(xiàng)式的正交性和歸一性第五節(jié)、 利用連帶勒讓德多項(xiàng)式得出方程(15.1) 的解 確定出定解問題(15.1)和(15.2)的解四、章節(jié)練習(xí)題（一）計(jì)算題一個半徑為a的球殼上的電勢分布為，試計(jì)算兩區(qū)域的電勢分布。

33、其中為常數(shù)。第十六章 貝塞爾函數(shù) 柱函數(shù)一、 章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 柱面問題定解條件2. 階貝塞耳微分方程的形式3. 貝塞耳函數(shù)前兩項(xiàng)的表達(dá)式4. 理解塞耳函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式5掌握貝塞耳函數(shù)的母函數(shù)、主要遞推公式、正交性、展開定理及其應(yīng)用。6. 掌握在柱坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。二、章節(jié)重點(diǎn)、要點(diǎn)本部分學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容包括貝賽耳微分方程及貝賽耳函數(shù)、貝賽耳函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式、按貝賽耳函數(shù)展開、第二類和第三類貝賽耳函數(shù)、變形（或虛變量）貝賽耳函數(shù)和貝賽耳函數(shù)的漸近公式五個方面的內(nèi)容。了解柱面問題定解條件其中為已知正數(shù),和為已知函數(shù).這個定解問題因與z坐標(biāo)無關(guān), 故又稱

34、為柱面問題.了解階貝塞耳微分方程的形式方程(16.11)和(16.13)都稱為v階貝塞耳微分方程。掌握貝塞耳函數(shù)前兩項(xiàng)的表達(dá)式稱為v階貝塞耳函數(shù).掌握貝塞耳函數(shù)的母函數(shù)、主要遞推公式、正交性、展開定理及其應(yīng)用。貝塞耳函數(shù)的母函數(shù)貝塞耳函數(shù)的遞推公式在柱坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。三 、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、 貝賽耳微分方程的導(dǎo)出 冪級數(shù)解和貝賽耳函數(shù)的定義第二節(jié)、 貝賽耳函數(shù)的母函數(shù) 貝賽耳函數(shù)的積分表達(dá)式 貝賽耳函數(shù)的遞推公式 半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)第三節(jié)、 貝賽耳函數(shù)的零點(diǎn) 貝賽耳函數(shù)的正交性 貝賽耳函數(shù)的歸一性 展開定理的敘述 圓膜振動問題四、章節(jié)練習(xí)題（一）計(jì)算題一個半徑

35、為a高為h的圓柱體，下底和側(cè)面保持溫度為零度，上底的溫度分布為，求柱體內(nèi)穩(wěn)定的溫度分布?？荚嚇宇}（2套） 數(shù)學(xué)物理方法 試卷A卷得分評卷人一、選擇題（每小題2分，共10分）1. 復(fù)變函數(shù)在奇點(diǎn)展開時沒有主要部分，奇點(diǎn)是何種類型 本性奇點(diǎn) 非孤立奇點(diǎn) 可去奇點(diǎn) 極點(diǎn)。2由對數(shù)函數(shù)的定義有 3. 下列方程是波動方程的是 A ； B ；C ； D 。4用分離變量法求解偏微分方程定解問題的一般步驟是 A 分離變量 解單變量本征值問題 得單變量解 得分離變量解；B 分離變量 得單變量解 解單變量本征值問題 得分離變量解；C 解單變量本征值問題 得單變量解 分離變量 得分離變量解；D 解單變量本征值問題

36、分離變量 得單變量解 得分離變量解。5一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時有則我們稱 A 收斂于； B 絕對收斂于；C 弱收斂于； D 條件收斂于。得分評卷人二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）1. 復(fù)數(shù)的幅角為 ，模為 。2. 就奇點(diǎn)的類型而言，是函數(shù)的 奇點(diǎn)。 。3 一維波動方程的齊次邊界條件為 。4 熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為 5 已知則 6 勒讓德多項(xiàng)式的模 7 得分評卷人三、 簡答題（每小題10分，共40分。）1.計(jì)算積分，其中積分路徑如下圖示，（1）C為連結(jié)O點(diǎn)到點(diǎn)的直線段（2）C為連結(jié)O點(diǎn)到1點(diǎn)再到點(diǎn)的折線2.計(jì)算積分， 此處C是。 3.將函數(shù)在（1）（2）內(nèi)展

37、成羅朗級數(shù)。4. 求（是常數(shù)）的付里葉變換；得分評卷人四、 計(jì)算題（每小題15分，共30分。）1.利用付里葉級數(shù)法求解定解問題2. 半徑為a的球殼上電勢分布為，為常數(shù)，試計(jì)算球殼內(nèi)的電勢分布。 數(shù)學(xué)物理方法 試卷A卷答案一、選擇題（每小題2分，共10分）1. C 2. C 3. A 4. A 5. C二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）1. ; ; 2. 本性奇點(diǎn); ; 3. ； 4. ; 5. ; 6. ; ; 7. 0;三、 簡答題（每一小題10分，共40分。）1. 解：（1）C可表為 故，。 （2）C分為兩段為：， 2. 解：在圓內(nèi)，函數(shù)除外均為解析。今以為中心以為

38、半徑作兩個圓周，將上述定理應(yīng)用于復(fù)圍線即得 。又 ，最后可得3. 解：（1）在內(nèi)，（2）在內(nèi)，4. 解： 四、 計(jì)算題（每小題15分，共30分。）1解： 根據(jù)（2）式可得 將（4）代入（1）得： 將（5）代入（4）得： 由（3）和（6）得： 故 將（7）代入（6）中得： 2. 解：當(dāng)時，該問題可化為如下定解問題 滿足（1）（3）式的解的普遍形式是： 由（2）（4）得： 又因?yàn)?故比較（5）式兩邊系數(shù)可得：將（6）代入（4）得： 數(shù)學(xué)物理方法 試卷B卷得分評卷人一、選擇題（每小題2分，共10分）1. 復(fù)變函數(shù)在奇點(diǎn)展開時沒有主要部分，奇點(diǎn)是何種奇點(diǎn) 本性奇點(diǎn) 非孤立奇點(diǎn) 可去奇點(diǎn) 極點(diǎn)。2下列積

39、分不為零的是 A ； B ；C ； D 。3二維拉普拉斯方程的定解問題是 A 哥西問題； B 狄拉克問題；C 混合問題； D 狄里克雷問題。4下列表述中不正確的是 A 在處是二階極點(diǎn)；B 某復(fù)變函數(shù)在開復(fù)平面內(nèi)有有限個奇點(diǎn)，所有這些奇點(diǎn)的殘數(shù)之和為零；C 殘數(shù)定理表明，解析函數(shù)的圍線積分為復(fù)數(shù)；D 某復(fù)變函數(shù)在某處為階極點(diǎn)，則其倒函數(shù)在該奇點(diǎn)處為階零點(diǎn)。 5級數(shù)的收斂半徑為 0 。得分評卷人二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20 分。）1.已知函數(shù)，則的實(shí)部是 2. 就奇點(diǎn)的類型而言，為的 則為的 3. 在處的殘數(shù)為 則積分 4. 已知則 5. 勒讓德多項(xiàng)式的模 6. 寫出三維直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程 7. 得分評卷人三、簡答題（每一小題10分，共40分。）1.已知，求解析函數(shù)。2.計(jì)算積分。 3.將函數(shù)在（1）（2）內(nèi)展成羅朗級數(shù)。4.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換（1）. （2）. 得分評卷人四、計(jì)算題（每一小題15分，共30分。）1.利用分離變量法求解定解問題2.半徑為a的球殼，球殼上電勢保持，為常數(shù)，試求球殼內(nèi)的電勢分布。（） 數(shù)學(xué)物理方法 試卷B卷答案一、選擇題（每小題2分，共10分）1. C 2. C 3. D 4. C 5. A二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）1. ； 2. 一階極點(diǎn)； 二階極點(diǎn)； 3. ；