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1、B0TTEST9簡(jiǎn)易使用指南如何安裝和運(yùn)行B0TTEST9 ?B0TTEST9是在Maple平臺(tái)上開發(fā)的應(yīng)用程序,如果離開了Maple您將無法使用這個(gè)程序。首先將B0TTEST9拷貝到您的計(jì)算機(jī)的某個(gè)子目錄之下, 譬如說X:yyzzz 。在進(jìn)入Maple環(huán)境后您就可以運(yùn)行這個(gè)程序。首先讀入 bottest9 (或者bottest9.dat,如果該程序帶擴(kuò)展名的話),即鍵入:> read 'X:/YY/ZZZ/bottest9'或者> read 'X:/YY/ZZZ/bottest9.dat'注意標(biāo)點(diǎn) ' ' 是不能省略的,然后您就可以
2、執(zhí)行B0TTEST9的所有指令,使用其所有功能 關(guān)于三角形中幾何不變量的約定記號(hào)列表(可擴(kuò)充) 如果您需要證明某個(gè)三角形中的幾何不等式, 那么在輸入指令時(shí)對(duì)其中一些主要 的幾何不變量必須采用約定的記號(hào),如下表所列:a, b, c,三角形各邊之長(zhǎng)即三角形周界長(zhǎng)度之半s,s=(a+b+c)/2,x, y, z,x=s-a, y=s-b, z=s-cR,r,ra, rb, rc, ha, hb, hc,外接圓半徑 內(nèi)切圓半徑 各旁切圓半徑 各邊對(duì)應(yīng)的高ma, mb, mc,各邊對(duì)應(yīng)的中線長(zhǎng)wa, wb, wc,各邊對(duì)應(yīng)的內(nèi)角平分線長(zhǎng)S,三角形的面積p,p=4*r*(R-2*r)q,q=sA2-16*
3、R* 葉5*r2A, B, C,三角形的各內(nèi)角sin( A).角的正弦,其他三角函數(shù)類似abs(),絕對(duì)值aa,這是一個(gè)約束條件,表示討論的是一個(gè)銳角三角形 提示:這些代表幾何不變量的記號(hào)在BOTTEMA中屬于保留字符,對(duì)它們賦值是無效的 對(duì)于代數(shù)不等式?jīng)]有約定記號(hào)和保留字符(除 Maple固有的保留字符之外)證明不等式型定理的主要指令及其例解prove目的-證明某個(gè)三角形中的幾何不等式或與之等價(jià)的代數(shù)不等式。 輸入指令:prove(ineq);prove(ineq,ineqs); 指令中各項(xiàng)的含義 : ineq -一個(gè)待證的不等式,它是用上面列表中的幾何不變量來表述的in eqs-作為假設(shè)條
4、件的一組不等式,其中每一個(gè)都是用上面列表中的幾何不變量來表述的。 待證的幾何不等式必須是 <= 型或者 >= 型的,而且作為假設(shè)條件的 那組不等式定義一個(gè)開集或者一個(gè)開集加上它的全部 / 部份邊界; ineq 和 ineqs 必須由上述表列的幾何不變量的根式表出。 指令 prove 也適用于這樣的命題: 其假設(shè) ineqs 和結(jié)論 ineq 都是用 x, y, z( 其中 x>0, y>0, z>0) 的有理函數(shù)或根式表出的齊次代數(shù) 不等式,它是<= 型或者 >= 型的,而且作為假設(shè)條件的那組不等式定 義一個(gè)開集或者一個(gè)開集加上它的全部 / 部份邊界。
5、這樣的代數(shù)命題等 價(jià)于一個(gè)幾何不等式命題。例子:> prove( aA2+bA2+cA2 >=4*sqrt (3)*S+(b-c)A2+(c-a)A2+(a-bF2 );> prove( A >= B, a >= b )xprove目的-證明某個(gè)具有非負(fù)變量的代數(shù)不等式。 輸入指令:xprove(ineq); xprove(ineq,ineqs);指令中各項(xiàng)的含義 :ineq - 一個(gè)待證的代數(shù)不等式,它的所有 變量都取非負(fù)值 。 ineqs-作為假設(shè)條件的一組代數(shù)不等式,其中所有變量都取非負(fù)值。 待證的代數(shù)不等式必須是 <= 型或者 >= 型的,而且
6、作為假設(shè)條件的 不等式組 ineqs 定義一個(gè)開集或者一個(gè)開集加上它的全部 / 部份邊界 其假設(shè) ineqs 和結(jié)論 ineq 中只出現(xiàn)有理函數(shù)和根式。 “所有變量非負(fù)”在此是默認(rèn)的,不必寫入假設(shè)條件中。 例子:> xprove( sqrt(uA2+vA2)+sqrt(1-u)A2+(1-v)A2) >=sqrt(2), u <= 1,v <= 1 );> xprove( (x+1)A(1/3)+sqrt(y-1)+x*y+1/x+1/yA2 >=42496/10000, y > 1 );> xprove( (x+1)A(1/3)+sqrt(y-
7、1)+x*y+1/x+1/yA2 >=42497/10000, y > 1 );yprove目的-證明某個(gè)代數(shù)不等式。輸入指令:yprove(ineq);yprove(ineq,ineqs);指令中各項(xiàng)的含義 :ineq - 一個(gè)待證的代數(shù)不等式。 ineqs-作為假設(shè)條件的一組代數(shù)不等式。 待證的代數(shù)不等式必須是 <= 型或者 >= 型的,而且作為假設(shè)條件的 不等式組 ineqs 定義一個(gè)開集或者一個(gè)開集加上它的全部 / 部份邊界 其假設(shè) ineqs 和結(jié)論 ineq 中只出現(xiàn)有理函數(shù)和根式。例子:>f:=xA6*yA6+6*xA6*yA5-6*xA5*yA6+
8、15*xA6*yA4-36*xA5*yA 5+15*xA4*yA6+20*xA6*yA3-90*xA5*yA4+90*xA4*yA5-20*xA3*yA6 +15*xA6*yA2-120*xA5*yA3+225*xA4*yA4-120*xA3*yA5+15*xA2*y A6+6*xA6*y-90*xA5*yA2+300*xA4*yA3-300*xA3*yA4+90*xA2*yA5 -6*x*yA6+xA6-36*xA5*y+225*xA4*yA2-400*xA3*yA3+225*xA2*yA 4-36*x*yA5+yA6-6*xA5+90*xA4*y-300*xA3*yA2+300*xA2*y
9、A3-90 *x*yA4+6*yA5+15*xA4-120*xA3*y+225*xA2*yA2-120*x*yA3+15*y A4-20*xA3+90*xA2*y-90*x*yA2+20*yA3+16*xA2-36*x*y+16*yA2- 6*x+6*y+1:> yprove(f>=0);sprove 目的-證明某個(gè)具有非負(fù)變量的對(duì)稱的多項(xiàng)式不等式。輸入指令: sprove(ineq);ineq -一個(gè)待證的具有非負(fù)變量的對(duì)稱的多項(xiàng)式不等式?!八凶兞糠秦?fù)”在此是默認(rèn)的。 此版本尚未考慮另加約束條件的 sprove.關(guān)于全局優(yōu)化的主要指令及其例解cmin目的-對(duì)于某個(gè)依賴于一個(gè)參數(shù)
10、(譬如var )的幾何不等式,尋求使該不 等式成立的 var 的最小可能值。輸入指令:cmin(ineq,ineqs,var);指令中各項(xiàng)的含義 :ineq -一個(gè)依賴于參數(shù) var 的幾何不等式,當(dāng) var 取常數(shù)值時(shí)它屬于指令 prove 所能處理的不等式的類型。ineqs - 一組作為約束條件的幾何不等式,其中每個(gè)都屬于指令 prove 所能處理的不等式的類型。var - 參數(shù)。輸出-一個(gè)代數(shù)數(shù)。例子:> cmin( waA2+wbA2+wcA2 <=4*RA2+11*rA2+k*r*(R-2*r),k );ccmin這個(gè)指令的功能和用法與 cmin 幾乎完全相同,但它只適用
11、于如果我們已經(jīng) 知道該最小可能值只在等腰三角形上取到。例子:> ccmin( waA2+wbA2+wcA2 <=4*RA2+11*rA2+k*r*(R-2*r),k );findmin目的 - 對(duì)于某個(gè)依賴于一個(gè)參數(shù)(譬如 var )的幾何不等式,尋求使該不 等式成立的 var 的最小可能值。與 cmin 不同的是:待證的幾何不 等式以及作為約束條件的不等式組都必須是關(guān)于三角形三邊對(duì)稱的。輸入指令:findmin(var,ineq,ineqs);指令中各項(xiàng)的含義 :var - 參數(shù)。ineq -一個(gè)依賴于參數(shù) var 的幾何不等式,當(dāng) var 取常數(shù)值時(shí)它屬于指令 prove 所能
12、處理的不等式的類型,而且是關(guān)于三角形三邊 對(duì)稱的。ineqs - 一組作為約束條件的幾何不等式,其中每個(gè)都屬于指令 prove 所能處理的不等式的類型,而且都是關(guān)于三角形三邊對(duì)稱的。輸出-一個(gè)代數(shù)數(shù)。例子:> findmin( k,waA2+wbA2+wcA2 <=4*RA2+11*rA2+k*r*(R-2*r), );fmin目的-對(duì)于某個(gè)依賴于一個(gè)參數(shù)(譬如 var )的幾何不等式,尋求使該不 等式成立的 var 的最小可能值的近似值 。輸入指令:fmin(ineq,start,end,dig,var,ineqs);指令中各項(xiàng)的含義 :ineq -一個(gè)依賴于參數(shù) var 的幾何
13、不等式,當(dāng) var 取常數(shù)值時(shí)它屬于指令 prove 所能處理的不等式的類型。ineqs - 一組作為約束條件的幾何不等式,其中每個(gè)都屬于指令prove所能處理的不等式的類型。start-參數(shù)var的最小可能值的一個(gè)已知的下界。end - 參數(shù) var 的最小可能值的一個(gè)已知的上界。dig -對(duì)近似值所要求的有效數(shù)字的位數(shù)。var -參數(shù)。輸出-參數(shù)var的最小可能值的滿足要求精度的下界和上界。例子:> fmin( waA2+wbA2+wcA2 <=4*RA2+11*rA2+k*r*(R-2*r),-10,10,5,k, );xmin目的-對(duì)于某個(gè)依賴于一個(gè)參數(shù)(譬如 var )的
14、代數(shù)不等式,尋求使該不 等式成立的 var 的最小可能值。輸入指令:xmin(ineq,ineqs,var);指令中各項(xiàng)的含義 :ineq -一個(gè)依賴于參數(shù) var 的代數(shù)不等式,當(dāng) var 取常數(shù)值時(shí)它屬于指令 xprove 所能處理的不等式的類型。in eqs- 一組作為約束條件的代數(shù)不等式,其中每個(gè)都屬于指令xprove所能處理的不等式的類型。var - 參數(shù)。輸出-一個(gè)代數(shù)數(shù)。例子:> in eq:=1/5*(x2A3+1)A(1/3)*x2A2*x3A2<=k;> in eqs:=x2A3+1 <= 12167/1000,x3 <= 32/10,10-(
15、x2A3+1)A(2/3)-x2A2-x3A2-2/5*x2*x3 >= 0,sqrt(250-25*(x2A3+1)A(2/3)-25*x2A2-25*x3A2+10*x2*x3)+sqrt(250-25*(x2A3+1)A(2/3)-25*x2A2-25*x3A2-10*x2*x3)<= 32;> xmin(ineq,ineqs,k);xfmin目的-對(duì)于某個(gè)依賴于一個(gè)參數(shù)(譬如 var )的代數(shù)不等式,尋求使該不 等式成立的 var 的最小可能值的近似值。輸入指令:xfmin(ineq,start,end,dig,var,ineqs);指令中各項(xiàng)的含義 :ineq -一
16、個(gè)依賴于參數(shù) var 的代數(shù)不等式,當(dāng) var 取常數(shù)值時(shí)它屬于指令 xprove 所能處理的不等式的類型。in eqs- 一組作為約束條件的代數(shù)不等式,其中每個(gè)都屬于指令xprove所能處理的不等式的類型 。start-參數(shù)var的最小可能值的一個(gè)已知的下界。end - 參數(shù) var 的最小可能值的一個(gè)已知的上界。dig -對(duì)近似值所要求的有效數(shù)字的位數(shù)。var -參數(shù)。輸出-參數(shù)var的最小可能值的滿足要求精度的下界和上界。例子:> ineq:=1/5*(x2A3+1)A(1/3)*x2A2*x3A2<=k;> ineqs:=x2A3+1 <= 12167/1000
17、,x3 <= 32/10,10-(x2A3+1)A(2/3)-x2A2-x3A2-2/5*x2*x3 >= 0,sqrt(250-25*(x2A3+1)A(2/3)-25*x2A2-25*x3A2+10*x2*x3)+sqrt(250-25*(x2A3+1)A(2/3)-25*x2A2-25*x3A2-10*x2*x3)<= 32;> xfmin(ineq,0,40,5,k,ineqs);關(guān)于尋求參數(shù)的“ 最大可能值 ”,我們有函數(shù) cmax,ccmax,findmax,fmax, xmax 和 xfmax ,其用法相應(yīng)地與 cmin,ccmin,findmin, fmin,xmin 和 xfmin 類似。注:由于這是一個(gè)簡(jiǎn)易的使用指南, 以上介紹的只是軟件的主要功能, 并不包括 所有的函數(shù)。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究;不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f
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