2017_2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章推理與證明6.3數(shù)學(xué)歸納法1分層訓(xùn)練湘教版選修2_220180719138

1、6.3數(shù)學(xué)歸納法(一)一、基礎(chǔ)達標(biāo)1某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kn*)時，該命題成立，那么可推得nk1時，該命題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時，該命題成立，那么可推導(dǎo)出()a當(dāng)n6時命題不成立 b當(dāng)n6時命題成立c當(dāng)n4時命題不成立 d當(dāng)n4時命題成立答案b2一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n2時命題成立，且由nk時命題成立可以推得nk2時命題也成立，則()a該命題對于n>2的自然數(shù)n都成立b該命題對于所有的正偶數(shù)都成立c該命題何時成立與k取值無關(guān)d以上答案都不對答案b解析由nk時命題成立可以推出nk2時命題也成立且n2，故對所有的正偶數(shù)都成立3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3

2、)條時，第一步驗證n等于()a1 b2 c3 d0答案c解析因為是證凸n邊形，所以應(yīng)先驗證三角形，故選c.4若f(n)1(nn*)，則n1時f(n)是()a1 b.c1 d以上答案均不正確答案c5用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nn*)的過程中，第二步假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時等式成立，則當(dāng)nk1時應(yīng)得到_答案12222k12k2k11解析由nk到nk1等式的左邊增加了一項6已知f(n)(nn*)，則f(k1)_.答案f(k)7用數(shù)學(xué)歸納法證明(nn*)證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kn*)時等式成立，即，當(dāng)nk1時，·，所以當(dāng)nk1時等式也成立

3、由(1)(2)可知，對于任意nn*等式都成立二、能力提升8用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1)(nn*)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()a2k1 b2(2k1)c. d.答案b解析nk1時，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)·(k1)k·(2k2)(k1)(k2)(kk)·(2k1)·2，應(yīng)增乘2(2k1)9已知f(n)，則()af(n)中共有n項，當(dāng)n2時，f(2)bf(n)中共有n1項，當(dāng)n2時，f(2)cf(n)中共有n2n項，當(dāng)n2時，f(2)df(n)中共有n2

4、n1項，當(dāng)n2時，f(2)答案d解析觀察分母的首項為n，最后一項為n2，公差為1，項數(shù)為n2n1.10以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“242nn2n(nn*)”的過程中的錯誤為_答案缺少步驟(1)，沒有遞推的基礎(chǔ)證明假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時等式成立，即242kk2k，那么242k2(k1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即當(dāng)nk1時等式也成立因此對于任何nn*等式都成立11用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(1)n1·n2(1)n1·.證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊(1)11×1，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時，結(jié)論成立即12223242(1)k1k2(1)k1·

5、，那么當(dāng)nk1時，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1·(1)k(k1)2(1)k·(k1)(1)k·(1)k11·.即nk1時結(jié)論也成立由(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立12已知數(shù)列an的第一項a15且sn1an(n2，nn*)，sn為數(shù)列an的前n項和(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明an的通項公式(1)解a2s1a15，a3s2a1a210，a4s3a1a2a3551020，猜想an.(2)證明當(dāng)n2時，a25×2225，公式成立假設(shè)nk(k2，kn*)時成立，即ak5×2k2，當(dāng)nk1時，由已知條件和假設(shè)有ak1ska1a2a3ak55105×2k2.55×2k15×2(k1)2.故nk1時公式也成立由可知，對n2，nn*，有an5×2n2.所以數(shù)列an的通項公式為an.三、探究與創(chuàng)新13已知數(shù)列an的前n項和sn1nan(nn*)(1)計算a1，a2，a3，a4；(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)計算得a1；a2；a3；a4.(2)猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時，猜想顯然成立假設(shè)nk(kn*)時，猜想成