《固體物理學(xué)答案》 晶體的結(jié)構(gòu)

1、第一章、 晶體的結(jié)構(gòu)習(xí) 題1 以剛性原子球堆積模型，計算以下各結(jié)構(gòu)的致密度分別為：（1）簡立方，; （2）體心立方, （3）面心立方， （4）六角密積，（5）金剛石結(jié)構(gòu)，解答設(shè)想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度， 設(shè) n為一個晶胞中的剛性原子球數(shù),r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度=（1） 對簡立方晶體，任一個原子有6個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.2所示，中心在1，2，3，4處的原子球?qū)⒁来蜗嗲?，因?面1.2 簡立方晶胞晶胞內(nèi)包含1個原子，所以 = （2）對體心立方晶體，任一個原子有8個最近鄰，若原子剛性球堆積，如

2、圖1.3所示，體心位置O的原子8個角頂位置的原子球相切，因為晶胞空間對角線的長度為晶胞內(nèi)包含2個原子，所以= 圖1.3 體心立方晶胞（3）對面心立方晶體，任一個原子有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.4所示，中心位于角頂?shù)脑优c相鄰的3個面心原子球相切，因為，1個晶胞內(nèi)包含4個原子，所以=. 圖1.4面心立方晶胞（4）對六角密積結(jié)構(gòu)，任一個原子有12個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1。5所示，中心在1的原子與中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子與中心在6，7，8的原子相切， 圖 1.5 六角晶胞 圖 1.6 正四面體晶胞內(nèi)的原子O與中心在1，3，4，5，7，8處的原子相切，即O

3、點與中心在5，7，8處的原子分布在正四面體的四個頂上，因為四面體的高 h=晶胞體積 V= ,一個晶胞內(nèi)包含兩個原子，所以 =.（5）對金剛石結(jié)構(gòu)，任一個原子有4個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.7所示，中心在空間對角線四分之一處的O原子與中心在1，2，3，4處的原子相切，因為 晶胞體積 , 圖1.7金剛石結(jié)構(gòu)一個晶胞內(nèi)包含8個原子，所以 =.2在立方晶胞中，畫出（102），（021），（1），和（2）晶面。 解答 圖1.8中虛線標(biāo)出的面即是所求的晶面。3如圖1.9所示，在六角晶系中，晶面指數(shù)常用（）表示，它們代表一個晶面在基矢的截距分別為在C軸上的截距為 證明：求出 O 和A 四個面的面指

4、數(shù)。 圖1.9六角晶胞對稱畫法 解答設(shè) d是晶面族（）的面間距， n是晶面族的單位法矢量，晶面族（）中最靠近原點的晶面在 軸上的截距分別為 所以有=,=,=.因為所以。由上式得到=.即由圖可得到： 晶面的面指數(shù)為(111) 面的面指數(shù)為(110)晶面的面指數(shù)為(100)晶面的面指數(shù)為(0001)4設(shè)某一晶面族的面間距為 d , 三個基矢 的末端分別落在離原點的距離為,的晶面上，試用反證法證明：是互質(zhì)的。解答設(shè)該晶面族的單位法量為 由已知條件可得假定 不是互質(zhì)數(shù)，且公約數(shù) 即是互質(zhì)的整數(shù)，則有今取離原點最近的晶面上的一個格點，該格點的位置矢量為由于 心定是整數(shù)，而且于是得到由上式可得上式左端是整

5、數(shù)，右端是分?jǐn)?shù)，顯然是不成立的。矛盾的產(chǎn)生是 p為不等于1的整數(shù)的假定。也就是說，p只能等于1，即 一定是互質(zhì)數(shù)。5證明在立方晶體中，晶列與晶面（）正交，并求晶面() 與晶面()的夾角。 解答設(shè)d 是為晶面族（）的面間距 ，n為法向單位矢量，根據(jù)晶面族的定義，晶面族（）將 a,b, c分別截為 等份，即an=acos(a,n)=hd,bn=bcos(b,n)=kd,cn=ccos(c,n)=ld于是有 n=i+j+k=(hi+kj+lk)其中,i ,j,k 分別為平行于a,b,c 三個坐標(biāo)軸的單位矢量，而晶列 的方向矢量為R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1），（2）兩式得

6、n=R即n與R 平行，因此晶列與晶面（）正交。對于立方晶系，晶面() 與晶面() 的夾角，就是晶列 R=a+b+c與晶列R=a+b+c的夾角，設(shè)晶面 ()與晶面 () 的夾角為 由RR= =得 6如圖1.10所示，B,C 兩點是面心立方晶胞上的兩面心。（1） 求 ABC 面的密勒指數(shù)；（2） 求 AC 晶列的指數(shù)，并求相應(yīng)原胞坐標(biāo)系中的指數(shù)。 圖1.10 面心立方晶胞解答（1） 矢量與矢量的叉乘即是 ABC 面的法矢量= 因為對立方晶系，晶列與晶面族（）正交，所以ABC 面的密勒指數(shù)為(31).（2）可見 與晶列 (a+b-2c) 平行，因此 AC 晶列的晶列指數(shù)為11.由固體物理教程（13）

7、式可得面心立言結(jié)構(gòu)晶胞基矢與原胞基矢的關(guān)系晶列 (a+b-2c) 可化為 (a+b-2c)=-2()由上式可知，AC晶列在原胞坐標(biāo)系中的指數(shù)為117試證面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。 解答 設(shè)與晶軸a,b,c 平行的單位矢量分別為i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取為 由倒格矢公式,可得其倒格矢為設(shè)與晶軸a,b,c 平行的單位矢量分別為i,j,k ,體心立方正格子的原胞基矢可取為以上三式與面心立方的倒格基矢相比較，兩者只相差一常數(shù)公因子， 這說明面心立方的倒格子是體心立方。將體心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 則得其倒格子基矢為 可見體心立方的倒格子是面心立方。8

8、六角晶胞的基矢 求其倒格基矢。解答晶胞體積為 其倒格矢為 9證明以下結(jié)構(gòu)晶面族的面間距：（1） 立方晶系:（2） 正交晶系: （3） 六角晶系:（4） 簡單單斜:.解答（1）設(shè)沿立方晶系軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k,則正格子基矢為 圖1.11立方晶胞倒格子晶矢為 與晶面族(hkl)正交的倒格為由晶面間距 與倒格矢的關(guān)系式得，（2）對于正交晶系，晶胞基矢相互垂直，但晶格常數(shù)設(shè)沿晶軸 的單位矢量分別為i,j,k 則正格子基矢為 圖1.12正交晶胞倒倒格子基矢為與晶面族 (hkl) 正交的倒格為由晶面間距 與倒格矢的關(guān)系式得（2） 對于六角晶系，晶面族 (hkl) 的面間距 圖 1.13

9、六角晶胞也即由圖1.13可得六角晶胞的體積倒格基矢的模倒格基矢的點積其中利用了矢量混合的循環(huán)關(guān)系及關(guān)系式因為 矢量平行于 c 所以將以上諸式代入（1）式得即= （4）單斜晶系晶胞基矢長度及晶胞基矢間的夾角分別滿足 和 , 晶胞體積 由abc得其倒格子基矢長度 a及bc倒格基矢間的點積 = =因為矢量平行于b所以將以上諸式代入 得到 =即 10求晶格常數(shù)為 的面心立方和體立方晶體晶面族 的面間距解答面心立方正格子的原胞基矢為a由 可得其倒格基矢為 倒格矢 根據(jù)固體物理教程（1。16）式 得面心立方晶體面族 的面間距 =體心立方正格子原胞基矢可取為其倒格子基矢為 則晶面族的面間距為 11試找出體心

10、立方和面心立方結(jié)構(gòu)中，格點最密的面和最密的線。解答由上題可知，體心立方晶系原胞坐標(biāo)系中的晶面族 的面間距 可以看出，面間距最大的晶面族就是，將該晶面指數(shù)代入固體物理教程（1.32）式，得到該晶面族對應(yīng)的密勒指數(shù)為 面間距最大的晶面上的格點最密，所以密勒指數(shù) 晶面族是格點最密的面，格點最密的線一定分布在格點最密的面上，由圖1.14虛線標(biāo)出的(110)晶面容易算出，最密的線上格點的周期為 圖 1.14 體心立方晶胞 由上題還知，面心立方晶系原胞坐標(biāo)系中的晶面族 的面間距可以看出，面間距最大的晶面族是。由本章第15題可知，對于面心立方晶體，晶面指數(shù) 與晶面指數(shù)(hkl)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 將晶面指數(shù) 代入

11、上式，得到該晶面族對應(yīng)的密勒指數(shù)也為.面間距最大晶面上的格點最密，所以密勒指數(shù)晶面族是格點最密的面,格點最密的線一定分布在格點最密的面上,由圖1.15虛線標(biāo)出的(111) 晶面上的格點容易算出,最密的線上格點的周期為 圖1.15面心立方晶胞12證明晶面 及 屬于同一晶帶的條件 解答設(shè)原胞坐標(biāo)系中的倒格子基矢為 則晶面，及 的倒格矢分別為當(dāng)三個晶面共晶帶時,它們的交線相互平行,這些交線都垂直于倒格矢即 位于同一平面上,于是有利用正倒格子的關(guān)系得式中為倒格原胞體積,于是得到代入(1)式,得013.晶面 的交線與晶列平行,證明解答與晶面垂直的倒格矢分別為晶面的交線應(yīng)同時與和垂直,即與平行,而式中 為

12、倒格原胞體積 , 為正格原胞基矢已知晶面的交線與晶列平行,即和平行,因此 可取為.14今有正格矢其中; 及均為整數(shù),試證 可選作基矢的充分條件是解答解法一:固體物理原胞的選取方法有無數(shù)種,但它們有一個無同的特點,即它們的體積都相等,是晶體的最小重復(fù)單元。因此 可選作基矢的充分條件是，由基矢 構(gòu)成的原胞體積一定等于由基矢 構(gòu)成的原胞體積，即將代入得將上式代入（1）得解法二：設(shè)，當(dāng)為基矢時，應(yīng)取整數(shù)值，將代入 得由此得方程組解方程得由于的表示式中的三分子的行列式的值均為整數(shù)，為整數(shù)，因此 可選作基矢的充分條件是15對于面心立方晶體，已知晶面族的密勒指數(shù)為，求對應(yīng)的原胞坐標(biāo)中的面指數(shù) 若已知求對應(yīng)的

13、密勒指數(shù)。解答由固體物理教程（1。3）式和（1。4）兩式得面心立方晶體原胞坐標(biāo)系中的倒格基矢 與晶胞坐標(biāo)系中的倒格基矢的關(guān)系為也即與晶面族 垂直的倒格矢與晶面族 正交，因此，若已知晶面族的密勒指數(shù)(hkl)則原胞坐標(biāo)系中的面指數(shù) 其中 p是的公約數(shù)同樣與晶面族 (hkl) 正交，因此，若已知晶面族的面指數(shù) 則晶胞坐標(biāo)系中的面指數(shù)(hkl)其中 是 的公約數(shù)。16證明不存在5度旋轉(zhuǎn)對稱軸。解答如下面所示，A,B 是同一晶列上 O 格點的兩個最近鄰格點，如果繞通過 O 點并垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸順時針旋轉(zhuǎn) 角，則 A 格點轉(zhuǎn)到 點，若此時晶格自身重合，點處原來必定有一格點，如果再繞通過 O點的轉(zhuǎn)軸逆時針

14、旋轉(zhuǎn) 角，則晶格又恢復(fù)到未轉(zhuǎn)動時的狀態(tài)，但逆時針旋轉(zhuǎn) 角，B 格點轉(zhuǎn)到 處，說明 處原來必定有一格點，可以把格點看成分布在一族相互平行的晶列上，由圖可知，晶列與AB晶列平行平行的晶列具有相同的周期，若設(shè)該周期為則有 圖1.16晶格的旋轉(zhuǎn)對稱性其中m為整數(shù)，由余弦的取值范圍可得于是可得因為逆時針旋轉(zhuǎn)，分別等于順時針旋轉(zhuǎn)，所以晶格對稱轉(zhuǎn)動所允許的獨立轉(zhuǎn)角為上面的轉(zhuǎn)角可統(tǒng)一寫成稱n為轉(zhuǎn)軸的度數(shù)，由此可知，晶格的周期性不允許有度旋轉(zhuǎn)對稱軸17利用轉(zhuǎn)動對稱操作，證明六角晶系介電常數(shù)矩陣為解答由固體物理教程（1。21）式可知，若 A是一旋轉(zhuǎn)對稱操作，則晶體的介電常數(shù) 滿足 對六角晶系，繞 x（即 a）軸旋

15、 和繞z （即 c）軸旋 都是對稱操作，坐標(biāo)變換矩陣分別為假設(shè)六角晶系的介電常數(shù)為則由 得可見即。將上式代入 得由上式可得于是得到六角晶系的介電常數(shù)18試證三角晶系的倒格子也屬三角晶系，解答對于三角晶系，其三個基矢量的大小相等。且它們相互間的夾角也相等。即利用正倒格子的關(guān)系，得設(shè) 與 的交角為 , 與的交角為,與的交角為 則有由（1）和（2）式得由 和 可得可見倒格基矢 與 的交角，與的交角,與的交角都相等，這表明三個倒格基矢的長度不僅相等，且它們之間的夾角也相等，所以三角晶系的倒格子也屬于三角晶系.19討論六角密積結(jié)構(gòu)，X光衍射消光的條件.解答圖1.17示出了六角密積結(jié)構(gòu)的一個晶胞，一個晶胞

16、包含兩個原子，它們的位置矢量分別是 圖 1.17 六角密積晶胞因為是密積結(jié)構(gòu)，所以原子散射因子 .將上述結(jié)果代入幾何因子 得(hkl)晶面族引起的衍射光的總強度由上式知，只有當(dāng)奇數(shù)，時，才出現(xiàn)衍射消光.現(xiàn)將 h,k,l 的取值范圍討論如下：(a) 當(dāng) n為奇數(shù)時，若l 為偶數(shù)，則 nl也為偶數(shù),為保證=奇數(shù),成立，須有 奇數(shù)，由此知 奇數(shù)奇數(shù).但由于 h,k 為整數(shù)，上式左端是偶數(shù)，右端是奇數(shù)，顯然是不成立的，矛盾的產(chǎn)生是l 為偶數(shù)的條件導(dǎo)致的，所以 l不能為偶數(shù)，而只能為奇數(shù)，因而偶數(shù)即 整數(shù)整 (b) 當(dāng)n為偶數(shù)時，由奇數(shù)得 奇數(shù)奇數(shù)上式左端是偶數(shù)，右端是奇數(shù)，顯然也不成立，矛盾的產(chǎn)生是n

17、為偶數(shù)的條件導(dǎo)致的，所以 n不能為偶數(shù)，由上述討論可知，衍射消光條件為 奇數(shù) 奇數(shù)整數(shù)(=整數(shù))20用波長為 的X光對鉭金屬粉末作衍射分析，測得布拉格角大小為序的五條衍射線，見表1-1序號1234519.61128.13635.15641.15647.769已知鉭金屬為體心結(jié)構(gòu)，求（1） 衍射晶面族的晶面指數(shù)；（2） 晶格常數(shù)解答（1） 對于立方晶體，晶面族 （hkl） 的面間距布拉格反射公式相應(yīng)化為可見 與衍射面指數(shù)的平方和的開根成正比，由已知條件可知對于體心立方晶系，衍射面指數(shù)的和n（h+k+l） 為偶數(shù)出現(xiàn)衍射極大，因此，對應(yīng)衍射角由小到大排列的衍射晶面族是（110），（200），（12

18、1），（220），（310），而從各衍射角的正弦之比與衍射面指數(shù)的平方和的開根之比可以看出，二者比值是十分接近的，存在的小小偏差，可能是測量誤差所致，因此，對應(yīng)布拉格角大小為序的五條衍射線的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310）。（2）將代入得到鉭金屬的晶格常數(shù) 21鐵在 時，得到最小三個衍射角分別為 當(dāng)在 時，最小三個衍射角分別變成 已知在上述溫度范圍，鐵金屬為立方結(jié)構(gòu)。（1）試分析在和下，鐵各屬于何種立方結(jié)構(gòu)？（2） 在 下，鐵的密度為求其晶格常數(shù)。解答（1）對于立方晶體，晶面族（hkl）的面間距為布拉格反射公式 相應(yīng)化為可見 與 成正比對于體心立方元素晶體

19、，衍射面指數(shù)和 n（h+k+l） 為奇數(shù)時，衍射消光；衍射面指數(shù)和 n（h+k+l） 為偶數(shù)時，衍射極大，因此，對應(yīng)最小的三個衍射面指數(shù)依次為（110），（200），（211）.這三個衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比為鐵在 時，最小的三個衍射角的正弦值之比 =可見，鐵在 時最小的三個衍射角的正弦值之比，與體心立方元素晶體最小的三個衍射面指數(shù)的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比極其接近（存在偏差一般是實驗誤差所致）。由此可以推斷，鐵在 時為體心立方結(jié)構(gòu)。對于面心立方元素晶體，衍射面指數(shù) nh,nk,nl 全為奇數(shù)或全為偶數(shù)時，衍射極大，對應(yīng)聞小三個衍射角的衍射面指數(shù)依次為 (111),(200),

20、(220) 這三個衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比為鐵在 時最小的三個衍射角的正弦值之比sin=0.137733:0.159020:.224668=1:1.15455:1.63118可見，鐵在 時最小的三個衍射角的正弦值之比，與面心立方元素晶體最小的三個衍射角的衍射面指數(shù)平方和的平方根之比極其接近，由此可以推斷，鐵在 時為面立方結(jié)構(gòu) （2）鐵在時為體立心結(jié)構(gòu)，一個晶胞內(nèi)有兩個原子，設(shè)原子的質(zhì)量為m，晶格常數(shù)為，則質(zhì)密度晶格常數(shù)則為一個鐵原子的質(zhì)量 最后得鐵在時的晶格常數(shù)22對面心立方晶體，密勒指數(shù)為 的晶面族是否出現(xiàn)一級衍射斑點，從光的干射說明之。解答由本章第10題可知，對于面心立方晶體，

21、晶面族 的面間距由本章第15題可知，對于面心立方晶體，晶面指數(shù) 與晶面指數(shù)（hkl）的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 將上式代入前式得 因為立方晶系密勒指數(shù)晶面族的面間距 所以對于立方晶系，兩套晶面指數(shù)對應(yīng)的晶面族的面間距的關(guān)系為將上式代入兩套坐標(biāo)中的布拉格反射公式 得到 將密勒指數(shù)代入（1）式，得 由上式可知，這說明，對于密勒指數(shù) 的晶面族，衍射極大的最小級數(shù)是2，或者說，對于密勒指數(shù)的晶面族，它的一級衍射是消光的，對于密勒指數(shù)的晶面族，它一級衍射產(chǎn)生的原因可從光的干涉來解釋。圖1.18示出了晶面族的1級衍射情況，1與3晶面的面間距為 對于該晶面族的1級衍射，有 對照衍射示意圖1。18上式恰好是1與3晶面產(chǎn)生的

22、光程差，也就是說1與3晶面產(chǎn)生的光程差為1個波長，由此推論，1與3晶面的反射光的相位差為， 它們的確是相互加強的，但實際（對于非復(fù)式格子）的面間距為 即1與3晶面中間實際還有1個原子層，在這種情況下，相鄰原子層的反射光的相位差為 衍射光是相互抵消的，這就是密勒指 圖1.18面的一級衍射數(shù)的晶面族一級衍射產(chǎn)生消光的原因.23設(shè)有一面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，晶格常數(shù)為.在轉(zhuǎn)動單晶衍射中，已知與轉(zhuǎn)軸垂直的晶面的密勒指數(shù)為 求證 其中p是一整數(shù)，是第m個衍射圓錐母線與晶面的夾角。參見圖1.19所示反射球， 圖1.19反射球解答轉(zhuǎn)動單晶衍射法，晶體正格子轉(zhuǎn)動，倒格子也轉(zhuǎn)動，倒格點可以看成分布在與轉(zhuǎn)軸垂直的，等

23、間距的一個個倒格晶面上，由于倒格晶面旋轉(zhuǎn)，落在反射面球面上的倒格點的跡線形成一個個圓，反射球心到跡線上任一點的邊線即是 衍射極大的方向反射球心到任一跡線連線構(gòu)成一個個圓錐面。設(shè)本題晶體一與轉(zhuǎn)軸垂直的倒格面面指數(shù)為() 則倒格面的面間距 其中正格矢 與倒格面 垂直，即與轉(zhuǎn)軸平行，由圖1。19得 其中 是 的光的波矢，即反射球的半徑，現(xiàn)在已知與轉(zhuǎn)軸垂直的晶面的密勒指數(shù)為（hkl） 由題5可知，晶列 R與轉(zhuǎn)軸平行，利用面心立方結(jié)構(gòu)晶胞基矢與原胞基矢的關(guān)系 可得 =pR其中 p 是公約數(shù)，由立方晶體的 可得 24在 20 時銅粉末樣品的一級衍射角是 47.75 在 1000 時是46.60 ， 求銅的線脹系數(shù)。解答設(shè)銅的衍射面指數(shù)為 （hkl） 在 20 時的面間距為 在 1000時的面間距為 則由布拉格反射公式得22由以上兩式得銅的線膨脹系數(shù) 25若 X 射線沿簡立方晶胞的 OZ 軸負(fù)方向入射，求證：當(dāng)或 時一級衍射線在YZ平面內(nèi)，其中 是衍射光線與 OZ 軸的夾角。解答（1） 解法一 由布拉格反射公式和立方晶系晶面族（hkl）的面間距 得到 將已知條件代入上式得 .由已知條件可畫出 X光入射