專題1——利用定積分定義求極限0001

1、專題1利用定積分定義求極限對于滿足如下條件的極限，可以考慮采用利用定積分定義求極限的方法:是n時的極限n極限運(yùn)算中含有連加符號a,b,i 1在定積分的定義中， 我們把區(qū)間a,b平均分成n個小區(qū)間(定積分的定義中是任意分割區(qū)間我們當(dāng)然可以平均分割)，那么每個小區(qū)間的長度為(即定義中的X ),這n個小區(qū)間分別為r b aa, a , anb a b an r,a 2 , a nnb ab a.a (n 2),a (n 1) , a (nnn一致取為每個小區(qū)間的右端點(diǎn)i a i banJ a b an2 ,a 3,nn.b a . .1),b,在定義中每個小區(qū)間上任意取的i我們n(也可以取左端點(diǎn) i

2、 a (i 1)ba),那么定義中 nf (x)dx。(取nnn的 f( J x就變?yōu)?f (a i-)亙，那么lim f (ai 1i 1n nn i 1左端點(diǎn)時nlim f (an i 1(i/、b a、b a b、1) f(x)dx)n n a注意：定積分的定義中0表示的意思是把區(qū)間分割為無線個小區(qū)間(n也表示把區(qū)間分割成無數(shù)個小區(qū)間，但是在任意分割的前提下，不能用n來表示把區(qū)間分割成無數(shù)個小區(qū)間，這里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚結(jié)論就行了),當(dāng)分割方式為均等分割時，n 就表示把區(qū)間分割成無數(shù)個小區(qū)間，所以這里是babalim f (a i )- n i 1n nba f (x

3、)dx ,而不是lim f (ai 1f (x) dx。1如f(x)在區(qū)間0,1上的積分可以表示為0上1 nif (x) dx lim f ()n n i 1ni取每個小區(qū)間的右端1點(diǎn)，或者0f(x)dx.1 n lim 一nn i 1f(- 1)ni取每個小區(qū)間的左端點(diǎn)。舉例：求lim n.3i-4n分析：函數(shù)f (x)x3在區(qū)間0,1上的定積分的定義可以表示為1x3dx0limn1 i 3一()(這里 i取n n的是每個小區(qū)間的右端點(diǎn))1x3dxlimnlimn.3二。所以4nnlimn i 1.3i-4n43 . x 1x dxI04對于這個考點(diǎn)的考法應(yīng)該不會很深(這個方法經(jīng)常在數(shù)學(xué)競賽中用到)，給出的極限應(yīng)該可以化為某個函數(shù)在區(qū)間0,1上的定積分，基于此，遇到這類題時，一定要把給出的極限化為如下形式:nlimn i1 一 i、1 1.f ( ) lim 1n n nnn in 1f ()或者 lim -i 11f () limn nni 1 一 f (-一1),只要化為以上的幾種 n形式,那么給出的極限就是函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上的積分，即10 f (x)dx limf(3n1