兩次相遇行程問題地基本解法

1、兩次相遇行程問題的基本解法例1.甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇 后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即按原路返回，第二次在 距B地60千米處相遇。求 A B兩地間的路程。分析與解根據(jù)題意可畫出下面的線段圖:由圖中可知，甲、乙兩車從同時出發(fā)到第二次相遇，共行駛了 3個全程，第 一次相遇距A地80千米，說明行完一個全程時，甲行了 8O千米。兩車同時出發(fā) 同時停止，共行了 3個全程，說明兩車第二次相遇時甲共行了 8X3= 240（千米）， 從圖中可以看出來甲車實際行了一個全程多 60千米，所以A、B兩地間的路程就 是：240 60=180 （千米）例2.

2、甲、乙兩車同時從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相 遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即按原路返回，第二次 在距A地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。分析與解根據(jù)題意可畫出線段圖：由圖中可知，甲、乙兩車從同時出發(fā)到第二次相遇，共行駛了3個全程，第一次相遇距A地8O千米，說明行完一個全程時，甲行了 8O千米。兩車同時出發(fā) 同時停止，共行了 3個全程。說明兩車第二次相遇時甲車共行了：80X3=240（千米），從圖中可以看出來甲車實際行了兩個全程少 60千米，所以A、B兩地 間的路程就是：（240+ 6Q +2=150 （千米）可見，解答兩次相遇的行程問題的關(guān)鍵就是抓

3、住兩次相遇共行三個全程，然后再根據(jù)題意抓住第一次相遇點與三個全程的關(guān)系即可解答出來。尋找最佳的解題方法 有些題目，如果從不同的角度去分析，就會得到不同的解題方法，也就是說從多 個角度去想就會有多種解法。這樣做可以使思維更開闊，也能從中找到最佳的解 題方法。下面的題目就可以用三種方法來解。例 某建筑工地，第一天用6輛汽車運(yùn)沙子，共運(yùn)96噸，第二天用同樣的汽 車12輛運(yùn)沙子，第二天比第一天多運(yùn)多少噸？解法一：先求一輛汽車一大運(yùn)沙子的噸數(shù)，再求12輛汽車一大運(yùn)沙子的噸數(shù)，減去第一大運(yùn)的噸數(shù)，就得到第二天比第一天多運(yùn)的噸數(shù)。6 + 6X1296=96 （噸）解法二：先求出12輛是6輛的多少倍，再求12

4、輛汽車每天運(yùn)的噸數(shù)，最后 減去6輛汽車每天運(yùn)的噸數(shù)。96X （ 12+6） 96=96 （噸）解法三：先求一輛汽車一大運(yùn)的噸數(shù)，再求第二天比第一天多幾輛車， 這多 的幾輛所運(yùn)的沙子就是第二天比第一天多運(yùn)的。96+6X （ 126） =96 （噸）答：第二天比第一天多運(yùn)48噸。你認(rèn)為哪種算法最好？我們來看一道題，它可以有五種解法，甚至更多，看完后，請你想一想還有沒有別的解法？例 某飯店買回一桶豆油，連桶稱共有 210千克，用去一半后，連桶稱還有120千克，油桶重多少千克？解法一：把120千克擴(kuò)大2倍，得到一桶豆油的重量和兩只桶重， 從中去掉 210千克（這是一桶豆油與一只桶的重量和），即得桶重。

5、120X 2 210= 30 （千克）解法二：先求出半桶豆油的重量，再從 120千克中去掉這半桶豆油的重量， 也可得桶重。120 （210-120） =30 （千克）解法三：先求出兩只桶和兩桶油的重量，再求出兩只油桶和一桶油的重量， 這樣可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。210 （210X2 120X2） =30 （千克）解法四：基本上與解法三相同，也可以說是它的簡便算法，但算理稍有不同。210 （210120） X2 = 30 （千克）解法五：先求出半只桶重，再求出整個油桶的重量。（120 210+2） X 2=30 （千克）答：油桶重30千克。我們再來看一道題：師傅要加工3080個零件，

6、他用4天加工了 280個零件。 照這樣計算，加工剩下的零件還需要多少大？解法一：先求每天加工多少個零件和還剩下多少個零件，再求需要加工多少大。(3080 280) + ( 280+4) =40 (天)解法二：先求每天加工多少個零件，再求加工這批零件一共需要多少大， 最 后求還需要加工多少大。3080+ (280+ 4) 4=40 (天)解法三：先求這批零件的總數(shù)是他4天加工零件的多少倍，再求加工這批零 件一共需要多少大，最后求還需要加工多少天。4X (3080+ 280) 4=40 (天)解法四：先求還要加工多少個零件，然后求還加工的零件數(shù)是4天加工零件 數(shù)的多少倍，最后求還需要加工多少天。4

7、X ( 3080 280) +28 =40 (天)答：加工剩下白零件還需要40天0一道思考題的三種解法題目是這樣的：選擇+、X、一中的運(yùn)算符號，把下面各題連成算式，使它 們的得數(shù)分別等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1) 2 2 2 2 2 =0(2) 2 2 2 2 2 =1(3) 2 2 2 2 2 =2(4) 2 2 2 2 2 =3(5) 2 2 2 2 2 =4(6) 2 2 2 2 2 =5(7) 2 2 2 2 2 =6(8) 2 2 2 2 2 =7(9) 2 2 2 2 2 =8(10) 2 2 2 2 2 =9下面向你介紹三種解這道題的方法， 希望你能受到啟發(fā)，

8、從而舉一反三，學(xué) 會解更多的思考題。猜測法，也叫試驗法。它完全是靠邊猜測、邊試驗的方式求解。如(1)題, 先試 2X2 + 2+2 2W0,后試 2 + 2 + 2 2 + 2W0最后試得 2+2+2+22 =0,成功了。猜到了一種答案，還可以繼續(xù)下去，以尋找第二、第三種答案。逆推法，就是從問題的要求或結(jié)果出發(fā)，一步一步地進(jìn)行逆向推理，逐步靠 攏已知條件，把已知條件逐個用進(jìn)去，直至求出問題的答案。如(2)題，因為等號右邊的1比等號左邊的2小，所以只能在等號左邊第一個2前面添上減號或 者除號。如添上減號，使原題變成 2 2 2 2 =3。同理又因3>2,故可在等號左 邊第二個2的前面添上加

9、號，使原題變成2 2 2 =1。這時就很容易看出2 2 + 2 =1 了。綜合前兩步逆推，就得到 2 2 + 2 + 2 2=1的一種解法。如繼續(xù)作其 它逆推，還可得到第二、第三種解法。前面介紹的兩種方法你看懂了嗎？請不要著急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。下面請看第三種解法。湊數(shù)法，這是一種綜合運(yùn)用知識的方法，它同樣要結(jié)合試驗才能順利進(jìn)行。如(3)題，可以讓等式左邊的5個2兩兩相減得0,剩下的一個2當(dāng)然就和等 式右邊的2相等了，即22+22+2=2。從某種意義上說，它和猜測法有相同的地方，那就是都要試驗，但試驗的方 法是不同的，你能總結(jié)出它們的不同點嗎？怎么樣？這三種解法和你以前用過的方法一

10、樣嗎？你還有更好的方法嗎？ 如果有，那真是太好了，因為你現(xiàn)在的思路寬了，解題的速度和正確率都會大大 提高的。好吧，看看你學(xué)習(xí)的效果怎樣，是不是真正能舉一反三。請做下面的題。選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號和括號，使下式成立。(1) 2 3 5 7 1 =2 (2) 2 3 5 7 1 =4(3) 2 3 5 7 1 =6 (4) 2 3 5 7 1 =8找出等量關(guān)系解決復(fù)雜應(yīng)用題同學(xué)們在解答較復(fù)雜的應(yīng)用題時，往往不知從何下手。如果根據(jù)條件找出相應(yīng)的 等量關(guān)系或能將其中的條件轉(zhuǎn)化一下，那么問題就會迎刃而解了。題目修一多公路，已修和未修長度的比是1:3,再修300米后，已修和未 修長度的比是1:2。這條路長多少

11、米？(九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊 思考題)分析與解解法一：這道題的條件是：再修 300米后，已修和未修長度的比是1: 2 , 這里隱藏著一個等量關(guān)系，如果抓住這個等量關(guān)系，就可列方程解答。設(shè)已修的 長度為x米，那么未修的長度為3x米。, 2（x+300） ： （3X-300）= 1：2 工 3 + 2尸9即x+ 3X=9DO+9COX 3 = 3600 （米）需這條路長360咪，一 解法二工如果把條件品已修和未修長度的比是1B,再修3口米后，已修和未修長度的比亶一I12以轉(zhuǎn)化為；已修親款是未修米散的行，再修3期米，已修米數(shù)是未修米數(shù)密萬又因為公路的總1 2米敷是“不變董"，我

12、們把它看作單位苗產(chǎn)，所以，已修的米敬就是總米數(shù)的4=a,再修1 £ 1300米后，已修的米數(shù)就是總半數(shù)的' = §，由此可知，3口味就相當(dāng)于總半數(shù)的1司 所以 1 1可列式為3m2 （ 1 + 2 1+3） =300- 12=3600 （米）答：這條路有36cl口米，利用雙向思考解決奧數(shù)題早晨小明和爸爸、媽媽一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米，比媽媽的2倍多10米。小明和他媽媽誰跑的路程長些？（人教版九年義務(wù)教育五年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊第86頁思考題）此題可以用三種方法來解。解法一：畫線段圖來解。小明» I =M .kn . T爸爸工1-2喀10* 成

13、耳媽：i由圖可見，小明比媽媽跑的路程長。解法二：用方程解。設(shè)小明跑了 100米，爸爸跑的路程就是100X220= 180 （米），再設(shè)媽媽 跑了 x列出方程：2x+10= 180 x=85 （米）即媽媽跑了 80米，可見小明比媽媽跑的路程長。解法三：設(shè)小明、爸爸、媽媽跑的路程分別為 x米、y米、z米，根據(jù)題意 可以列出下面兩式，再做適當(dāng)?shù)淖冃尉湍艿媒?。即：y = 2x20- y = 2x+20y = 2x+10- y = 2x10 （x>z）即小明比媽媽跑的路程長。畫圖法解決奧數(shù)難題一個山清水秀的村子里有三個好朋友： 小明、小剛和小強(qiáng)，他們常在一起合伙打 魚。一次，他們忙碌了大半天，打了

14、一堆魚。實在太累了，就坐在河邊的柳樹下 休息，一會兒都睡著了。小明醒了想起家里有事，看小剛和小強(qiáng)睡得正香，沒有 吵醒他們。他把魚分成三份，自己拿一份走了。不一會兒小剛也醒了，要回家。 他也把魚分成三份，自己拿一份走了。太陽快落山了，小強(qiáng)才醒來。他想，小明 和小剛上哪去了？這么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把魚分成三份，自己 拿走一份。最后還剩下8條魚。第二天，他們又合伙到河邊打魚，才知道昨天分的魚不合理。小明立即把剩 下的8條魚給小剛3條，小強(qiáng)5條。你能算出他們原來共打多少條魚嗎？這個問題直接從文字上分析有一定難度， 為了幫助我們理解題意，啟發(fā)解題 思路，可以根據(jù)題意，畫出下面的線段圖。由于

15、最后剩的8條是小強(qiáng)分的三份中的兩份，所以小強(qiáng)拿走的魚是8+2條。 那么小剛拿走自己分的一份魚后剩下的魚是 8+2X3條，這占小剛分的三份中的 兩份，所以小剛拿走的魚是（8 + 2X3） +2;同樣可得知小明拿走的魚是（8 + 2X3） +2X3 +2 條。所以打的魚一共是（8+2X3） +2X3 +2X3 = 2 7 （條）。當(dāng)然,我們還可以從小強(qiáng)第一天拿走的魚是 8一條和第二天又拿了 5條知道， 每人平均拿了 8 + 2+5條，所以打的魚一共是（8 + 2+5） X 3 = 27 （條）。小明、小剛和小強(qiáng)三個伙伴互相關(guān)心，他們每個人無論有什么好事都忘不了 另外兩個朋友。一次，小明從山里來了一

16、筐山梨，他把小剛和小強(qiáng)找來，對他們說：“我把這筐梨先分給你們一些，剩下的便是我的?！庇谑?，他把山梨的一半給了小剛， 然后又給小剛加了 1個。接著，他又把剩下的給了小強(qiáng)一半，也同樣給小強(qiáng)加了 1個，最后剩下5個山梨，他自己留下了。你來算算，小明這一筐山梨共有多少個呢?可以按照上次的方法，先畫出下面的圖。小剛的1布小曼.I禮螃小5個然后列出算式：(5+l ) X2+1 X2= 6X2+1 X2=26 (個)答：筐里一共有26個山梨。你知道為什么可以用畫圖的方法來解題嗎？原來， 對于復(fù)雜的題目，可以根 據(jù)題意畫一個直觀示意圖來幫助我們弄清題中的數(shù)量關(guān)系，也就比較容易列出算 式、求出結(jié)果。逆向思維的巧

17、妙運(yùn)用逆向思維，是指將人們通常思考問題的思路反過來， 用對立的、看上去似乎不可 能的辦法解決問題的思維方法。利用這種思維方法，可以巧妙地解決一些我們正 常思維所不能解決的問題。比如，我們在解下面的題目時，就可以應(yīng)用這種思維方法。小遠(yuǎn)買1角錢的郵票和2角錢的郵票共100, 一共花了 17元錢。他買了 1 角和2角郵票各多少？解這一題目，假設(shè)買來的100都是2角郵票，那么總錢數(shù)應(yīng)為：2X100= 2 00 (角)=20 (元)?？蓪嶋H上小遠(yuǎn)只花了 17元錢，比假設(shè)少3元錢，這是因為其中有1角錢的 郵票。若有一 1角郵票，總錢數(shù)就相差1角。由此可求出1角郵票數(shù)為：3元=30角，30+1 = 30 (

18、)。2角郵票數(shù)為：100 30= 70 ()。請你用這種方法算出下面的題目：三年級的46名同學(xué)去劃船，準(zhǔn)備了可乘6人的船和可乘4人的船共10只， 如果所有的學(xué)生恰好分配在這10只船上而沒有剩余，那么大船和小船各幾只？利用周密的推理解決難題J解答奧數(shù)習(xí)題，除了演算之外，有些題需要進(jìn)行周密的推理。在推理過程中，我 們要善于挖掘題中所隱含的條件， 把它作為推理的依據(jù)，有次序地進(jìn)行，使前面 得出的結(jié)論，作為后面推理的依據(jù)，直到最終解決問題。有這樣的一道題：甲、乙、丙三人進(jìn)行一場田徑比賽，比賽項目有：100米、 40印、800米、跳高、跳遠(yuǎn)五項。已知每項第一、第二、第三名各得 5分、2 分、l分；乙800米賽跑得第一名。比賽結(jié)束后，每人的總分是：甲 22分，乙、 內(nèi)各得9分。想想，這三人在五項比賽中各得到什么名次？由題中條件可知：乙800米賽跑得第一名，乙得5分；而甲總分是22,只 有當(dāng)他取得五項中的四項第一名、另一項為第二名時，才會得 22分，很顯然， 甲只能是800米得第二名，其余四項均為第一名；由于參加比賽的只有三人，每 人每項至少能得第三名，拿1分；乙只有除80印外四項都得第三名，才會獲得 9分(5+ l+1+1+1);那么剩下的名次