正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布

1、§5.5正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布1.單個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體X中抽取容量為n的樣本Xi, X2,，Xn ,樣本均值與樣本方差分別是-1 n 01n X Xi,S2 ='、Xi -X .n i 4n -1 i 4f 2、定理1設(shè)總體X服從正態(tài)分布N (巴。2 ),則樣本均值X服從正態(tài)分布N ， < n J即/2、X N 1,I n )證 因?yàn)殡S機(jī)變量 X1,X2，Xn相互獨(dú)立，并且與總體X服從相同的正態(tài)分布22N伊,。2 ),所以由§4.3中的定理知，它們的線(xiàn)性組合 X服從正態(tài)分布N巴二。n n jX - 1定理2設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(R,。2 ),則統(tǒng)計(jì)

2、量u = 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 二,nN (0,1 ),即X - 1u = - 丁 N 0,1二 n由定理1結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)化即得到定理2。21 n2定理3設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(R,。2),則統(tǒng)計(jì)量12=7£ (Xi-X)服從自由 二 i w度為n的72分布，即n_2 二！ Xi -X 2 2 n二 i 1證注意到Xi NW,。2 ),則Xi - N 0,1 , i =1,21，n又上述統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，并按照 *分布的定義可得結(jié)果定理4設(shè)總體X服從正態(tài)分布N卜尸2),則(1)樣本均值X與樣本方差S2相互獨(dú)立;(2)統(tǒng)計(jì)量72 =見(jiàn)孝-服從自由度為n1的72分布，即 CT_ 2 2 n -12

3、 n-1S一2CJ證明略 c X _定理5設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(巴仃2),則統(tǒng)計(jì)量t=X 服從自由度為n-1的S nt分布,即弋飛-1)證由定理2知，統(tǒng)計(jì)量X - 1u = - N 0,1二 n又由定理4知，統(tǒng)計(jì)量 2 n 1因?yàn)閄與S2相互獨(dú)立，所以u(píng)與矛也相互獨(dú)立，于是根據(jù)t分布的定義得結(jié)論2.兩個(gè)正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)量的分布從總體X中抽取容量為nx的樣本X1,X2，Xnx ,從總體Y中抽取容量為ny的樣本Y,Y2,，Yny。假設(shè)所有的抽樣都是相互獨(dú)立的，由此得到的樣本Xi(i =1,2,，nx )與Yj (j =1,2,，ny臍是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。我們把取自?xún)蓚€(gè)總體的樣本均值分別記作-1

4、nx-1 nyX - -、Xi, Y - -、Yjnx idny jd樣本方差分別記作c 1nx2c 1 nySx =X (Xi -X t Sy =Y (Yj -Ynx _1 idny -1 j +定理6設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(Nx,o2 )，總體Y服從正態(tài)分布N(Ny,0y 計(jì)量父十5nx ny服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1 ),即 N 0,1X _YyU 二12 二_x -nxn證 由于獨(dú)立的正態(tài)統(tǒng)計(jì)量的線(xiàn)性組合服從正態(tài)分布，所以X Y ny標(biāo)準(zhǔn)化即得結(jié)論。仃y =仃時(shí)，我們有推論設(shè)總體X服從正態(tài)分布Nix,。2 )，總體Y服從正態(tài)分布Nly,。2則統(tǒng)計(jì)X -YTx N 0,1精品資料CJn

5、y定理7設(shè)總體X服從正態(tài)分布N (巴,仃2 )，總體Y服從正態(tài)分布N(Ny,。2計(jì)量X -Y '.-x - -ynx nyT ： y t nx ny -21 . 1其中nx -1 S2ny -1 S2nx ny -2證由定理6的推論知，統(tǒng)計(jì)量又由定理4知因?yàn)镾；與S；相互獨(dú)立,u = X-Y-y11一十 一nxny N 0,1_ 2nx -1 Sx22 ny -1 Sy 2 nx -12 ny -1由X2分布的可加性知nx -1 S2 ny -1 S2V 二nxny -22 nx ny -2因?yàn)閁和V相互獨(dú)立，所以由t分布的定義得結(jié)論定理8設(shè)總體X服從正態(tài)分布 山巴,。2 ），總體Y服從正態(tài)分布Ney,。；），則統(tǒng)計(jì)量nxXi - X_ 2 nx 二 xny' Yj -Y服從自由度為（nx,ny柏向F分布,即nxny F nx, ny22-Y ny 二 y證由定理3知nxny' Xi - 2 2 nx2 2 ny因?yàn)槿襞c彳相互獨(dú)號(hào)結(jié)合F分布的定義得結(jié)論。定理9設(shè)總體X服從正態(tài)分布 鵬匕,。3,總體Y服從正態(tài)分布N（，9y ）,則統(tǒng)計(jì)量F =Q2Sy服從自由度為1,ny-1的F分布，即F = S2 F nx -1,ny -1證由定理4知2nx -1