二項(xiàng)式定理十大典型問題及例題0001

1、二項(xiàng)式定理十大典型問題及例 題學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年 級(jí)：高二輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)員編號(hào):課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名: 學(xué)科教師：教學(xué)內(nèi)容系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依 次是以CC，項(xiàng)的系數(shù)是a與6的系數(shù)（包括二項(xiàng) 式系數(shù)4 .常用的結(jié)論：令r = L8=卷(l + x)w -C： + Jx + C2+- + CX+ - + CH(/?e N")令口 = 1,6 =-r,(1 -x)" = -C> + C>2+ C>r + - +5 .性質(zhì):二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式 系數(shù)相等，即Gc；，二項(xiàng)式系數(shù)和：令”底| ,則二項(xiàng)式系

2、數(shù)的和為+ C+c* +q+g=2”， 變形式C+小+c;+GT-1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和二偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和： 在二項(xiàng)式定理中，令=1,八_1,貝加Y + Q -C + = （i-ir = 0， 從而得到：c：+c+c"，y'+.=c+c：+-TCy*"=1Q=2g奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：a + x）n =+ C>n-lx+C>fl-2x2+ - + Cxn =/ + 弭£ + a2x2 +- + *（x + ”=端口。父+ Crav'i +" + + a2x2 十處金 + 即令工=1, 則為+ / + % +硝+

3、 % = S +】）"令 H 1,則& 一"| +&，_a+*'+% =（.一1）H（2）+得當(dāng)+旦+%牛旦+（奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和）一得,/%+ 4 = 9 +（偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和）1 .二項(xiàng)式定理：(a b)n C0an C：an1b C：a" rbr C：b"(n N),2 .基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C；(r 0,1,2, ,n).項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第r 1項(xiàng)C；anb叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用 Tn C：anrbr 表

4、示。3.注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有(n 1)項(xiàng)。順序：注意正確選擇a, b,其順序不能更改。(a切。與8 2y是不 同的。指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0 ,是降塞排列。b的指數(shù)從0逐 項(xiàng)減到n,是升塞排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的騫指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：取得最大值。如果二項(xiàng)式的塞指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中 n 1 n 1-.間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 導(dǎo)，導(dǎo)同時(shí)取得 最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別M從而解出來(lái)。為AA, ,An1,設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有：Ar題型一：二項(xiàng)式定理的逆用;例

5、：Cn Cn2 6 C； 62 Cn 6n 1解：(1 6)nCn1用 6 Cn2 62C3 63Cn 6n與已知的有一些差距,c： C6 Cn3 62 C6n 1 1(Cn 6 c2 626C； 6n)6(CCn 6 C： 621Cn 61) 6(1 6)1 6(7n 1)練：C： 3C29C；3n e解：設(shè) Sn C； 3C：9C；3n 1c12 23Sn 3 C；32C；33 C：3n,則C； Cn3 C；32C；33 C：3n 1 (1 3)n 1Sn(1 3)n 134n 13題型二：利用通項(xiàng)公式求必的系數(shù);例：在二項(xiàng)式（右M/）n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45,求含有x3的項(xiàng)的系

6、數(shù)?解：由條件知Cn 2 45)即 C； 45) n2 n 90 0)解得 n9(舍去)或 n 10)Tr1 C：o(x；)1Or(x3)r C；ox，3,由題意 Uj |r 3,解得 r 6)43則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1Ci6oX3 210x3,系數(shù)為210。練：求(x2白9展開式中x9的系數(shù)？ 2 x/J. O n rI rr d Q OrI r rrI r d Q O rJ t 4| /4 -r-/ 2 9r / r 18 2r z l r / r 183r/ C C CI r I I Ic用牛. Tr 1 C9 (x )( x)C9 x( ) x C9 (萬(wàn))'118 3

7、r 9 , r 3故x9的系數(shù)為c：( I)321。題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式（x2赤）10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？5斛：Tr1 C1ro（x2）10 r（f）r C；o（；）rx "令 20 ：r 0 得r 8 所以 T9 C*。8 2 . x 222256練：求二項(xiàng)式（2x-6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解:6 2r 0,得r 3,所以r 6 r r 1 rr r 6 r 1 r 6 2rTr1 C6 (2x) ( 1) ()( 1) C6 2 (3) x )T4 ( 1)3C320練：若（x2為的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n x解：T5 C4(x2)n 4(1)4

8、C：x2n12, 令 2n 12 0)得 n 6.題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng); 例：求二項(xiàng)式（人版）9展開式中的有理項(xiàng)？11127 r斛：Tr1C；(x2)9r( x3)r(1)rC；xF)令36Z,( 0 r 9)得 r3或 r9)所以當(dāng) r 3時(shí)，£61 4, T4 ( 1)3cs3x484x4 ,當(dāng) r 9 時(shí))2L-L 3T10 ( 1)3C9x3x3o6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;例：若(萬(wàn)展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為求n.解：設(shè)(3 與)n展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為ao,a1, an, x令X 1,貝U有aoaan0,令x 1,貝有 a。a

9、a283( 1)nan2n,將-得：2(a1a3as)2n,&a3as2n1,有題意得 ,2n 125628 , n 9 o練：若(行。)。的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024 ,求它的中間項(xiàng)。由漢,0242r13 02r1Qn 19n 1用午*, Cn Cn CnCnCn CnCn2 ,21024,用牛 1 寸 n 11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n 6,n 7, Ts1 C5(g)6(g)5 462 x4,61T6 1462 x 15題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng);例：已知(1 2x)n,若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解：；

10、C： C： 2C：, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14 ,當(dāng)n 7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T,和Ts T,的系數(shù) 明）423日,，T5的系數(shù) C；（1）324 70,當(dāng) n 14時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是 T8, T8的系數(shù) C74（2）7273432。練：在（a b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的哥指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T* Tni也就是第n 1項(xiàng)。 I 2練：在（xi）n的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開 2、x式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則51 5,即n 8,所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等

11、于C；（：）2 7 2練：寫出在（a b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的嘉指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第4,5項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4 C3a4b3的系數(shù)最小,T5 C；a3b4系數(shù)最大。練：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79,求g 2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？解：由C0C：C279,解出 n 12 假設(shè)Tr1項(xiàng)最大，v(-2x)12(2)12(14x)12/ 7 I II 1r n1r n1r n ，/ ij 4|, | |i i /、l/12，'/Ar 1ArAr 1Ar 2r , rC12 4_ r rC124C；214

12、r 1C；214r 1 '化簡(jiǎn)得到9.4r 10.4)又丫 0 r 12)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為-I-丁 /1、1210/01010T11，侶 T11(-) C12 4 x 16896x練：在(1 2x)10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?解：假設(shè)Tr1項(xiàng)最大)I1 C；02rxrAr 1ArAr 1Ar 2C；0 2rC；° 2rC r 10r 1C10 2r 1 r 1C10 2解得2(11；,化簡(jiǎn)得到 6.3 kr 1 2(10 r)7.3)又,0 r 10) r 7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為丁8以2%7 15360x7.題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng)(x2 3x 2)5

13、的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法：(x23x 2)5(x22) 3x5,Tr1C； (x22)5r (3x)r,當(dāng)且僅當(dāng) r 1 時(shí),Tr1的展開式中才有x的一次項(xiàng))此時(shí)Tr 1 T2 c5(x2 2)43x , 所以x得一次項(xiàng)為C5C：243x 它的系數(shù)為C5C：243 240。z 2c c5/八 5/c5小0 5C1 4c 5、小 0 5八1 4cc5c5用牛(x3x 2)(x1) (x2)(C5 xC5xC5 )(C5 XC5x 2C52 )故展開式中含x的項(xiàng)為C；xCQ5 C4x24 240x,故展開式中x 的系數(shù)為240.練：求式子(M這2)3的常數(shù)項(xiàng)?解：(1x1 2 2)3 (桐

14、卡)、設(shè)第r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng))則r rl 6r 1r6 r 6 2r41| 八 c -33 3Tr 1C；(1)|x(jxj)r( 1)6C； x ,侍 6 2r 0, r 3,T31(1)3C320 .題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘;例:求(1 2x)3(1 x)4展開式中x2的系數(shù).解:/(1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是Cm (2x)m Cm 2m xm,(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是 C4 ( x)nC41n xn,其中 m 0,1,2,3,n 0,1,2,3,4,令m n 2,則 m 0且n 2,m 1且n 1, m0,因此(1 2x)3(1 x)4的展開式中x2的系數(shù)等于C； 20 C2 ( 1)

15、2C3 21C4 ( 1)1C； 22 C0 ( 1)0練:求(1 3x)6(1 工三)10展開式中的常數(shù)項(xiàng). x解:1m(1次)6(17)10展開式的通項(xiàng)為C6nx3 C；x xm nC6C104m 3n12x 12其中 m 0,1,2, ,6, n 0,1,2, ,10，當(dāng)且僅當(dāng) 4mm3n,即 n°，或 0,3,或4,6,8,練:時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C0 C00 C； C140 C： Cw 4246.11已知(1 x x )(x =)的展開式中沒有吊數(shù)項(xiàng)，：N且2 n 8,則nx解:1c(x 之廠展開式的通項(xiàng)為xCn xnr x3r Cn xn 4r，通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘

16、可得C：n 4r r n 4r 1 r n 4rx ,Cn x ,Cn x2,；展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 n 8n 4r 且 n 4r 1且 n 4r2,即 n 4,8且n3,7且n 2,6, n 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和例： 在(x 2006的二項(xiàng)展開式中，含對(duì)勺奇次幕的項(xiàng)之和為S,當(dāng)x 石時(shí),S解：設(shè)(x , 2006=a0 a1x1 a2x2 a3x32006 a2006x/1 2006123(x 2)=a0 a1xa2xa3x2006 a2006x得 2(ax a3x3 a5x5 a2005x20052006一. 2006)(x 、2) (x 2)(x5006展開式的奇

17、次曷項(xiàng)之和為S(x)2Kx揚(yáng)2006 (x正產(chǎn)3 20062130082當(dāng)x師S訴11（72 .產(chǎn)（&應(yīng)嚴(yán) 題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式（3次勺的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P,所有二項(xiàng) x式系數(shù)的和為s,若P S 272，則n等于多少?解：若（33/x1）na0axa2x2anxn 有 Pa。aan, SC；C：2nx令 x 1得 P 4n）又 p s 272，即 4n 2n 272 （2n 17）（2n 16） 0 解得2n 16或2n17（舍去） n 4.n練：若3G2 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則展開式的常 x數(shù)項(xiàng)為多少？n解：令x 1,則3VX4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n 6

18、4,所以 xn 6）則展開式的常數(shù)項(xiàng)為C；（3）3 （尤）3540.練:2009123右(1 2x) a0 axa?xa3xa2009x2009(x R),則彳制 的值為解：令x 1,可得a° a1 ft泳0,稱愛a20092 2009a0在令x 0可得a0 1,因而01 |f菖91.練:若(x 2)5 a5x5 a4x4 a3x3 a2x2 aR 00,則為a2a3a4a5解：令x0得a032,令x1 得a0a1a2a3a4a51,a a2a3“a§31.題型十一：整除性；例：證明：32n 28n 9(n N*)能被64整除證：32n 28n 9 9n 18n 9 (8

19、1)n 1 8n 9° On 11 Onn1Q2n Q1n 1Cn18Cn18Cn 18Cn 18Cn18n 90 On 11 Onn1O20Qn 11 Q nn 1 Q2Cn 18Cn18C”18 8(n I) I 8n 9 C” 18 Cn 18Cn 1 8由于各項(xiàng)均能被64整除32n 28n 9(n N*)能被64整除1、(x1)11 展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 1、設(shè) f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 f 2f( 1)(2)11/210242、C： 3C； 32c23n C；2、2、4n3、(能專)20的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第 3、3,9,15,21 4、(

20、2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是4、(2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1)5展 開式系數(shù)之和，故令x=1,則所求和為355、求(1+x+x2)(1-x) 1睡開式中x4的系數(shù).5、(1 x x2)(1 x)10 (1 x3)(1 x)9，要得到含x4的項(xiàng))必須第一個(gè)因式中的1與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)c；(x)，作積，第一個(gè)因式中的x3 與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C9(x)作積，故x4的系數(shù)是C19 C4 135.6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 1曝開式中x3的系數(shù).6、(1 x) (1x)2(1 x)1。(1 x)1 (1 x)10 = (x 1)11 (x 1),原式中 x3 實(shí)為這1 (1 x)x分子中的x則所求系數(shù)為c71