《數(shù)值計算方法》-試題集與答案

1、數(shù)值計算方法復(fù)習(xí)試題、填空題:答案:-114-10 1A =1/4115/4-1-0-4/151 一56/15 一-A =4-1-140-1A =1、 】0-14 一，則A的LU分解為'1 2、已知f(1) "0, f(2) "2, f (3).3，則用辛普生(辛卜生)公式計算求得3if(X)d,用三點式求得f(1H。答案：2.367, 0.253、 f(1) = -1, f(2) =2, f(3)叮，則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為 。1 1答案：-1，L2(x)-2)(x -3) -2(x _l)(x -3) -?(x -1)(x-

2、2)4、 近似值x* =0.231關(guān)于真值x = 0.229有(2 )位有效數(shù)字；5、設(shè)f(x)可微,求方程x二f(x)的牛頓迭代格式是()；Xn - f(Xn)Xn 1 二 Xn -答案1 - f (xn)&對 f(x)=x3 x 7,差商 f0,123 =( 1 ),f0,1,2,3,4=( 0 )；7、計算方法主要研究( 截斷)誤差和( 舍入)誤差；8、 用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為b -a(戸)；9、 求解一階常微分方程初值問題y = f (x,y)，y(xo)=yo的改進的歐拉公式為hy2yn hf(xn,yn) f(xn

3、510、已知f =2, f(2) = 3, f(4) = 5.9，則二次 Newton插值多項式中x2系數(shù)為0.15 )；11、兩點式咼斯型求積公式111. 3 -13 10f(x)dx (0心*尹(2 3) f(23 ")，代數(shù)精度為(5 )；12、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。13、為了使計算y"0丄亠x_1 (x_1)63(X -。 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表1_，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式達式改寫為一 “10 (3 _6t)t)t,"R2001 - 一 1999 改寫為 2001*1999o14、

4、用二分法求方程f(x)二X *-1=0在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進行一步后根的所在區(qū)15、16、17、18間為0.5 ，1進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5 ，0.755'Xdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268，0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為丄，辛卜計算積分用辛卜生公式計算求得的近似值為生公式的代數(shù)精度為A3x1 +5x2 =1求解方程組Q2x1 +4X2 =0的高斯塞德爾迭代格式為丄代格式的迭代矩陣的譜半徑'(M)= 石 。卅刊=(1-5x2k)/3(k*l)(k 卅)/cc/2=一*/20 該迭設(shè) f(0)=0, f(1)=16, f (2)=46,則

5、l1(x)=_l1(x) = -x(x2)_，f(x)的二次牛頓插值多項式為N2(x16x 7x(1)_ 0求積公式abnI f (x)dx 賂無 Akf (xk)akn的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n 1)次代數(shù)精度。19、已知 f (1)=1,5f (3)=5, f (5)=-3,用辛普生求積公式求1 f(x)dx氣12 )。20、設(shè) f (1)=1 ,f (2)=2 , f (3)=0，用三點式求 f (1) ： ( 2.5 )21、次。如果用二分法求方程2x ' x -'4 = 0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分(10r 3XS(x)=1已知I3

6、2(x1) +a(x1) +b(x1)+c 1ExE3 2a=( 3)，b=( 3)，c=(1l0(X),l1(X) ,ln(x)是以整數(shù)點X0,X1，&為節(jié)點的22、是三次樣條函數(shù)，則23、n'Tk(x)二7(1n、'(X： X：3)lk(x)=k=0(Lagrange插值基函數(shù)，則X4n' Xjjgk=0Xjy f (x, y)24、解初值問題.yd。)= y。2_階方法。a,b "上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b "上具有直到的改進歐拉法.sy0yn 1hy-f (Xn, yn) + f(Xn卅，yhf (Xn,yn)是25、區(qū)間階

7、的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。26、改變函數(shù)f(X)八x T i x ( X 1 )的形式，使計算結(jié)果較精127、次。若用二分法求方程of x =0在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分10廠 32x3,3 +X +S(x)=設(shè)a= 3 , b= -3 , c= 128、0 乞 x12ax bX c，仁x乞2是3次樣條函數(shù)，則29、若用復(fù)化梯形公式計算 個求積節(jié)點。o01eXdx，要求誤差不超過10"，利用余項公式估計，至少用47730、 寫出求解:x1kHr)= 1 -1.6xg)= 0,1,，迭代矩陣為_x-i 1.6x2 二 1 -0.4X1 X2 = 2 的(0-1.6、一 0.

8、64丿，此迭代法是否收斂收斂_。Gauss-Seidel 迭代公式A =31、設(shè)543丿,則IA32、設(shè)矩陣34、數(shù)值積分公式35、4 82"4 82U =0 1 62 5 71'J 3 6 一0 0 的 A=LU，則 U =-2一A 二333、若 f(X)二 3x4 2x 1，則差商 f2,4,8,16,32】=_1 2(x)dx 才f( -1) 8 f( 0) f (1)9的代數(shù)精度為_2線性方程組12 136、設(shè)矩陣二、單項選擇題:321_32n0410204332135 一分解為A = LU，則U =00的最小二乘解為1A =1、Jacobi迭代法解方程組Ax=b的必

9、要條件是（CA .A的各階順序主子式不為零C.aii -0,i= 1,2, ,n2、設(shè)_20衛(wèi)-31-7，則（A）為（C. 73、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為（BB. 5 C . 34、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中,A須滿足的條件是A.對稱陣B.正定矩陣C.任意陣 D.各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是（A ）產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值6、 3.141580是n的有(B )位有效數(shù)字的近似值。A . 6B. 5 C . 4 D .77、用1 + x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C ) 誤差。A.模型 B .觀測C.截斷 D .舍入8、 解線性方

10、程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A )。A.控制舍入誤差B .減小方法誤差C.防止計算時溢出D .簡化計算x9、 用1 + 3近似表示31 x所產(chǎn)生的誤差是(D )誤差。A.舍入 B .觀測 C .模型D.截斷10 > -324 . 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效數(shù)字。A . 5 B . 6C. 7 D . 8211、 設(shè)f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,貝U拋物插值多項式中x的系數(shù)為(A )。A .-0 . 5 B . 0 . 5 C . 2 D . -212、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為(C )。A . 3 B . 4C. 5 D . 2

11、13、( D )的3位有效數(shù)字是0.236 X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82 X 10-2(C) 235.418(D) 235.54 X 10- 114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x= (x)，則f(x)=0的 根是(B)。(A) y= (x)與x軸交點的橫坐標(B) y=x與y= ：:(x)交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標(D) y=x 與y=(x)的交點|3xx2 4x3 = 1« -捲 +2x2 _9x3 = 015、 用列主元消去法解線性方程組廠4為-3X2+忑1，第1次消元，選擇主元

12、為(A )。(A) 4(B) 3(C) 4(D) 916、 拉格朗日插值多項式的余項是(B ),牛頓插值多項式的余項是(C )。f M)Rn(X)=f(X)_Pn(X)=(B)(C)(D)17、等距二點求導(dǎo)公式f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn)，f (n 1)()Rn(X)=f(X) Pn(X)' n1(X)(n +1)!f(x1)( A )。f(X1)- f (X0)(A)X1 X0(B)f(X1)-f(X0)(C)X0 X1X0 X1f (Xo) f (Xi)(D) f (xj f(X0)XiXo18、用牛頓切線法解方程

13、f(X)=0，選初始值x0滿足(A),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。(A) f (X0)f (x) 0(B)f(x°)f(x) .0(C) f(x°)f (x) ：0(D) f (x。)f (x) ： 019、為求方程X3 X2仁0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )(A)X21 ,迭代公式:Xk 1X -11_X _1(B)X = 1 丄，迭代公式：Xk 4X=12Xk(C)=1 X2 ,迭代公式:Xk 1=(1 x：)1/3(D)X3-1 = X2,迭代公式:Xk 11X

14、2Xk 1、丄 f(x, y)20、求解初值問題(xQryo歐拉法的局部截斷誤差是()；改進歐拉法的局部截斷誤差是()；四階龍格庫塔法的局部截斷誤差是(A )(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程組Ax=b的簡單迭代格式X - BX g收斂的充要條件是(1) ;?(A) <1, (2) '(B) J (3);?(A)1, (4)'(B)1bn/ f(x)dx %(b-a)E Ci(n)f (Xi)C(n)22、 在牛頓-柯特斯求積公式：a心中，當系數(shù)Ci是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當()時的牛頓-柯特斯求積公式不使

15、用。(1) n -8，(2) n-7，(3) n-10，(4) n-6，23、有下列數(shù)表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25)。所確定的插值多項式的次數(shù)是(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次hhyn =yn24、若用二階中點公式試問為保證該公式絕對穩(wěn)定，步長(1)0 :： h 空 1,(2)0 空 h 乞 1,+ hf(X?y2f(Xn'yn)求解初值問題八-2y,y(0) = 1 , h的取值范圍為()。(3) 0 ： h ： 1,(4)0 乞 h ： 125、取31.732 計算 x = ( 3 -1)4，下列方法中哪種最好？(16)16

16、(A)26、(C) (4 2、3r ；(D)0 - x _ 2(-3 1)4。28-16 ,3 ；(B)(4-2、3)2 ；f 3X32(x _1) *以一2) b 2乞x乞4是三次樣條函數(shù)，則a,b的值為()(D)8S(x) =x11.522.533.5f(x-10.52.55.08.011.5)5;已知(A)6 , 6；(B)6, 8；(C)8, 6；(D)8, 8。27、由下列數(shù)表進行 Newt on插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是(3 ；( D) 2。b(A)(B)4 ；(C)28、(A)形如f (x)dx A f (x1) A2 f (x2) A3f (x3)a的高斯(Gauss

17、)型求積公式的代數(shù)精度為29、(A)計算)_(B)7 ；( C) 5 ；3的Newton迭代格式為() xk3-2x-x.3xk彳：k 22x(B)22xk ；(D)(C)Xk ； (D)xk廠蘭衛(wèi)3xk。呂=丄匯10要求誤差限為21,2】內(nèi)的實根,32x 4x -10 = 0在區(qū)間用二分法求方程 次數(shù)至少為()(A)10 ；(B)1231、經(jīng)典的四階龍格一庫塔公式的局部截斷誤差為30、，則對分(A)O(h4) ；(B)O(h2)；(C)8；(D)9。()(C) °(h5)；(D)32、設(shè) li(x)是以 x 二k(k 二0，1，山,9)為節(jié)點的 Lagrangex ；( B) k

18、；(C) i ；(A)33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()(A)5 ；插值基函數(shù)，則(D) 1。次代數(shù)精度O(h3)。9' kli(k) =k=0(B)4；(C)6；(D)3。x30 乞 x E 2S(x)3i2(xT) *a(x-2) + b 2蘭x蘭4是三次樣條函數(shù)，則(B)6, 8；(C)8, 6；(D)8, 8。34、已知(A)6 , 6 ；335、已知方程x -2x-5=0在x= 2附近有根，下列迭代格式中在a,b的值為(Xo=2不收斂的是(A) x 1 二 3 2 xk5 ； (B)2+立=3_Xk .( c Xk 1 XkXk(2 x； + 5x- 1(D)

19、3X- - 2。36、由下列數(shù)據(jù)X012可4f(x)124:3-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為（）（A） 4 ;（B）2;（C）1；（D）3。37、5個節(jié)點的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為（）（A）8 ；（B）9 ；（C）10；（D）11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打，否則打）1、 已知觀察值（Xi，yi）（i =°，1,2,，m）,用最小二乘法求n次擬合多項式Pn（x）時,Pn（x）的次數(shù)n可以任意取。（）2X2、 用1- 2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。（）（X -Xo）（X -X2）3、 （X1 -Xo）（Xi -X2）表示在節(jié)點X1的二次（拉格朗日）插值基函數(shù)

20、。（）4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。（ ）廣 311'-25 35、矩陣2 5丿具有嚴格對角占優(yōu)。（）四、計算題:2x2 x3 =11x-! 4x2 2x3 二 181、用高斯-塞德爾方法解方程組求按五位有效數(shù)字計算）。2x1 x2 5x3 二 22(0)，取X= (0,0,0)T，迭代四次（要答案：迭代格式J(11-2x2k)-x3k)4仃2宀=1(18 x1內(nèi)2x3k)4J(22-2x；k -x2k 1)5k(k)X1(k)X2(k)X3000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240

21、432.59973.183940.504202.48203.70191 1 12、求A B使求積公式的代數(shù)精度盡量I高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求2ldx1 x（保留四位小數(shù)）。J(x)dx ： Af(-1)f(1) Bf (-才 f(-)2答案：f（x） =1,x,X是精確成立，即2A 2B =22A1-IaJ,B 工99求積公式為1 1小弓心1)f(1)當f（x） = x3時，公式顯然精確成立；當f (x) =x4 時,左=5 ,1右=3。所以代2 1 t 3x -3 11;dx數(shù)精度為3。8Jt 39、-13139 -1/231 23970.692861403、已知Xi1345f (x

22、j2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f（X）的三次插值多項式P3（x），并求f（2）的近似值（保留四位小數(shù)）。彳"3)4*6(m)答案:(1 - 3)(1 - 4)(1 - 5)(3 -1)(3 - 4)(3 - 5).5(x-1)(x-3)(x-5) . 4(x-1)(x-3)(x-4)(4 一1 )(43)(4 -5)(5 -1)(5 3)(5 - 4)差商表為Xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-101/41P3(x) =N3(x) =22(x -1) (x 1)(x -3) (x 一 1)(x 3)(x -4)4f (2) ： P3(2) =5.

23、54、取步長h =0.2，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題W = 2x+3yy(0)=1(0 乞 x zl) (0)yni=yn0.2(2xn3y“)答案：解:yn1二yn0.1(2Xn3y“)(2x“1 3yn0)J即yn i =0.52xn 1.78yn 0.04n012345Xn00.20.40.60.81.0yn11.825.879610.713719.422435.02795、已知Xi-2-1012f (xj42135求f(x)的二次擬合曲線P2(X)，并求f (°)的近似值答案：解：iXiyi2Xi3Xi4 XiXi yi2Xi yi0-244-816-8161-121

24、-11-2220100r 0P 003131113342548161020E015100343415a0 +10a2 =1510a, =3正規(guī)方程組為J0a0 +34a2 =4110311a。, a1, a2 ：71014P2（x）二10311 2x x7 1014P2（x）二311x1073f (0廠 5(0)乓6、已知sinx區(qū)間0.4 , 0.8的函數(shù)表x0.40.80.50.60.70.389420.479430.564640.64422yi0.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最??？并求該近似值答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差|R2(x)匸 3

25、(X)1盡量小，即應(yīng)使'3（x）|盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點°.5°6,°.7最好，實際計算結(jié)果sin0.63891 ： 0.596274,且sin 0.63891 -0.5962741 蘭一|(0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7)3!< 0.55032 10*7、構(gòu)造求解方程ex 10x-2 =0的根的迭代格式xn(xn), n二0,1,2,，討論其收斂f(x)=ex，10x-2, f(0)-2：0,f(1)=1O，e.O且f (x)，10 . 0對-x(-：:,r),故f(x)

26、 =0在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程f (x) =0變形為1xx (2 -e )10則當x(0,1)時故迭代格式(x)寺小r: (x)i=101 xhi收斂。取x0 ".5，計算結(jié)果列表如下:n0123X0.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n4567Xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 IX7x6 戶 0.000 000 95 £ 10"6 所以 x* 止 0.090 525008x +2x2 +3x3 = 14“ 2x +5x2 + 2

27、x3 = 188、利用矩陣的LU分解法解方程組-3治+X2 +5X3 =20答案：解:1 1A=LU = 21'3 -5 1231-4-24令 Ly = b得 y = (14,10,72)T , u x = y 得 x = (1,2,3)T9、對方程組3x +2x2 +10x3 = 15“ 10X1 4x2 一 X3 = 52x +10x2 4x3 = 8(1)試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由;(2)取初值x(0) =(0,0,0)丁，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10x44x2 - x3 =5 2x4 + 10x2 -

28、4x3 = 8i 3x4 +2x2 +10x3 = 15故對應(yīng)的高斯一塞德爾迭代法收斂.迭代格式為104x2k) ' xk) 5)x2(k 1) _"2們-4x3k) 8)x3(k 1)-2x2k d)15)要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R(n)( f)蘭丄勺。/2R(n)(f)蘭(b-a)312n2，只要R(n)(ex) <12n取x(0) =(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得:x* ： x(7) =(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T10、已知下列實驗數(shù)據(jù)Xi1.361.952.16f(Xi)16.84417.378

29、18.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)1解：當0<x<1時,L(x) =£，則廠(X)蘭e，且e dx有一位整數(shù).即可，解得= 67.3087711、用列主元素消元法求解方程組-1-41- 43-12解:1r2 r1523*53 丄213回代得12、取節(jié)點X。1 11-1215_51-14-4-11x訂-4131 上 X3j J1 jX23-121-411-412-1215135-4135251585795-1213515152579585 一15_513795_5_13 一X3 - -1,X2 =6, X1 =3。=0, X1 = 0.5, X2 =1 ,

30、求函數(shù) f (x)=-X e在區(qū)間0,1上的二次插值多項式B（x）,并估計誤差。B(x)=e(x-ORx).e.5(x-°)(x-°解:(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)+ 二 n(x_0)(x_0.5)e(1 -0)(1-0.5)= 2(x _0.5)(x_1)_4eq5x(x_1) 2e'x(x-0.5)f (x) = ef (x) - -e",M 3 二 max | f (x)1又X 0,1|R2(x)F|- 及(x)已 |x(x-0.5)(x-1)|故截斷誤差 。13、用歐拉方法求Xy(x)=0e dt在點X =°.5,

31、1.0,1.5, 2.0處的近似值。X解：y（x）0e dt等價于y二ey(0) =0(x 0)記 f (x, y) =e,取 h =0.5, x° =0,Xi =0.5, x? =0, X3 =5, X4 =20則由歐拉公式An 弗二yn +hf(xn,yn)0=On = 0,1,2,3可得y(0.5) ：=0.5,y(1.0) - y2 ： 0.88940Jy(1.5) ： y3 =1.07334, y(2.0) = y4 1.12604x14、給定方程 f (x) =(x -1)e -1 =01）分析該方程存在幾個根；2）用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3）說明所用的迭

32、代格式是收斂的。解: 1）將方程（x -1）/ -1 = 0（ 1）改寫為x _1 =（2）作函數(shù)f1（x） “-1，f2（x）的圖形（略）知（2）有唯一根X： （1,2）2）將方程（2）改寫為x二1 - e構(gòu)造迭代格式Xk41 =1 +ekX。-1.5(k =0,1,2,)計算結(jié)果列表如下:k123456789Xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)申(x)=1+e® "(x)=-e7當 x 1,2時，(x)(2), ()1,2，且l (x) e_1 : 1所以迭代格式Xk1：（

33、Xk） （QO,1,2,）對任意X。，1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求' 3的近似值。取Xo=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。f (x) =2x，牛頓迭代公式為解：-.3 是 f (x) hx? 3=0 的正根,Xn -3Xn3Xn 1 =Xn-Xn 1-(n =0,1,2,)2Xn ，即22xn取xo=1.7,列表如下:-123Xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式L2(x)及f(i，5)的 近似值，取五位小數(shù)。(xfx-2)3(X 1)(x-2)_4(X W)解：(-1-1)(-1-2)

34、(1 1)(1 - 2)(2 1)(2-1)2 34(x_1)(x-2) -：(x 1)(x-2)-；(x 1)(x-1)3 231f(1.5) ： L2(1.5)0.04167241i eXdx17、n=3,用復(fù)合梯形公式求0e d的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計feXdx 吧T3 二110©。+2(e1'3+e2'3)+e1止 1.7342解：02 3f (x) =ex, f "(x) =ex，o 玄x 蘭1 時，|f“(x)peee|R|=|eXT3|20.025 乞 0.0512漢 32108*30，ZX1'飛、1-3 1X2-1J 一1

35、 4<X3J廠8至少有兩位有效數(shù)字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組 取x(0)=(0,0,0) T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：沙申）（-x3k）+5）宀嚴）1-X嚴）-x3k）-1）3x3®（一才杓“2屮-8）一43011-31系數(shù)矩陣j4嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x（0）=（0,0,0） T，列表計算如下：kx1k)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526V = x + y19、用預(yù)估一校正法求解 M°

36、;）i （0蘭xE1），h=0。2，取兩位小數(shù)。 解：預(yù)估一校正公式為 1yn41 = yn 十2化1 +k2）* k1 =hf（Xn,yn）k2 =hf （Xn +h,yn+kdJn = 0,1,2,其中 f（x,y）二 X y，y”1，h=0.2，n -0,1,2,3,4，代入上式得:n12345Xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.4220、（ 8分）用最小二乘法求形如 Y =a bx?的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):Xi19253038yi19.032.349.073.3解：門二 span1,x2T _ 1 1 1 1yT = 19.0 32.3 49.0

37、73.3】A - Jj92 252 312 38、T解方程組 A AC二A其中C解得：AT A J 4|33910.92555770.0501025Ty33913529603小J 17361 179980.7 一所以 a =0.9255577, b = 0.0501025i r edx時，試用余項估計其誤|RT【f=解：ba111h2f”r)蘭 X 2 xe° =0.0013021212 8276821、（ 15分）用n =8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算差。用n = 8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。/T(8)=刃 f(a) 2、

38、f (xQ f (b)2k 4= £1 2 (0.8824969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207) 0.36787947= 0.6329434322、（ 15分）方程x -X-1=0在x=1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式對應(yīng)迭代格式Xn 1 - ； xn 1 ； （2）_3迭代格式Xn1 =Xn -1。判斷迭代格式在 精確到小數(shù)點后第三位。1 +xn* =x對應(yīng)迭代格式1 +Xn ；( 3)X。=1.5的收斂性，選一種收斂格式計算 x = 1.5附近的根,解:（ 1）： (x) Jx d3W二0.18

39、門，故收斂;(x)(2)(3)： (X)2x2 J1= 3x2"(1.5呎 CI.5) = 0.17 "，故收斂;3 1.51，故發(fā)散。選擇(1):Xo=1.5，xi=1.3572，x2=1.3309，X3=1.3259，x4=1.3249x5 =1.32476x6 =1.3247223、（ 8分）已知方程組 AX = f，其中431一24 1A =34_1f =30-一14 _5-24 _（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。'Xi(5 J(243x2k)4Jxri(33xr+x3k)x3k

40、41)(24 + x2k)4解：Jacobi 迭代法：lk=°，123,X1(k。J(24 3x2k)4x2k1) J(30 3x1k1)才)4二(一24 x2k1)4k = 0,123,x3k d)Gauss-Seidel 迭代法：-0- 3401Bj D (L U)=_3403458(或=0.790569424、1、(15分)取步長h=0.1，求解初值問題 典的四階龍格一庫塔法求y(0-1)的值。 y(0) =1用改進的歐拉法求y(0-1)的值；用經(jīng)yn°t =yn +hf (Xn, yn) =0.9yn +0.1ih(0)yn = yn +； f (Xn, yn )

41、+ f 儀価 丫補如=0.905y 0.095解：改進的歐拉法：2所以 y(0-1) Y1 胡；經(jīng)典的四階龍格一庫塔法：hyn+ = yn +沙1 +2k2 +2k3 +kqk1 = f (Xn, yn)«k2 = f (Xn +,yn +kj22hhk3 = f (Xn +?,yn +?k2)、一k4 = f (Xn + h, yn + hk3)k1 = k2 = k3 = k4 = 0，所以 y(o.1)= % = 1 。25、數(shù)值積分公式形如10 Xf (X)dX ： S(x)二 Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)試確定參數(shù) A, B,C, D 使公式代數(shù)精

42、度盡1量高；(2)設(shè)f(x) C40,1，推導(dǎo)余項公式R(x)0Xf(x)dx-S(x)，并估計誤差。130,d3723A , B ,B 解：將f(x1，x，x，x分布代入公式得：2020:H3(Xi) = f(xJ (x)滿足 iH3(xi) = f (xi)i = 0,1 其中 x0f化)f(x) -H3(x)二 ')構(gòu)造Hermite插值多項式H 31nt . I xH3(x)dx = S(x) 則有：03、1 1R(x)°xf(x) -S(x)dx°f(4)()-4!f (4)()1x3(x 1)2dx 二04! 601440f ® 3(1)2d(

43、x -1) dx 4!f(4)()x2(x _1)24!120=0, x<| = 126、用二步法yn 1 =%yn * ： "nhf (Xn,Yn) ( ) f(Xnj,Ynj)f (x, y)o, - 1 ,求解常微分方程的初值問題 部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的y( X。)= y0時，如何選擇參數(shù)0 ,1戶使方法階數(shù)盡可能高， 并求局解:Rn,hh2 ”h3叩二 y(Xn 1) - yn 1 =y(Xn) hy (Xn) y (Xn)y X)h2h3-：°y(Xn) -： 1(y(Xn) -hy (Xn) qy (Xn)y (Xn)J23-hry(Xn) (

44、1 - "(y (Xn) - hy (Xn)境 y (xn)-詈 y(4)(xn)=(1：0 - ： Jy(Xn)h(1 -1： Jy (Xn)2 1 :-1h2(1 12 231-")y (Xn) h (-1 46 6-)y (xn) O(h)-01 -°0 -°1” % =01a1介+1 B =0 所以衛(wèi)25 . 3 y (Xn)叫=1«% = 0心. 2h主項：12該方法是二階的。27、( 10 分)已知數(shù)值積分公式為:hh2''f (x)dx f(0)f(h)，h2 f (0) - f (h)02，試確定積分公式中的參數(shù)

45、，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。 解：f(x) =1顯然精確成立；丿0 h h21 -12 ；hxdx = f(x)=x 時，0f(x)2=x時,2dxh3f(x)3=x時,h 3°xdx3h4h 220 h2h20 -2h二 2- 2h=：2f(x)所以,4=x時,4dx4h5h3122目0h nh0_3h-0 h4 h20 _4h3 口2 12h5其代數(shù)精確度為3。28、( 8分)已知求 a(a 0)的迭代公式為:xk 1 二 2(xka)x00 k= 0,1,2Xk證明：對一切k =1,2,Xk -心，且序列風(fēng)'是單調(diào)遞減的,從而迭代過程收斂。證明:X

46、kXkaX Xk二 a k= 0,1,2故對一切k - 1,2, xkXk 1Xk=丄(1 電)乞!(1 1) =1又 程收斂。xk2所以Xk 1豈Xk，即序列'Xk '是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過29、( 9分)數(shù)值求積公式30f(x)dx2 f (1)f(2)是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少?解：是。因為f(x)在基點x _ 21、2處的插值多項式為P(X"G f(1)2-1口 f (2)30 P(x)dx 二If(1)f(2)。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程4x = cosx 1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。xn +(

47、6分)=1 1 cos Xn 丨4, n=0,1,2,-I*' (x )=丄 |sin (x 卜 1 c 144對任意的初值X0 0,1,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算115的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555f()(115100I115121I115 144)f''' x x3!1 3_5100 2 15