立體幾何大題訓(xùn)練題(含答案)(共25頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何大題訓(xùn)練題一、解答題（共17題；共150分）1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，在四邊形ABCD中，ABC= ，AB=4，BC=3，CD= ，AD=2 ，PA=4. （1）證明：CD平面PAD； （2）求二面角B-PC-D的余弦值. 2.如圖，在四棱錐 中， 平面 ，在四邊形 中， ， ， ， ， ， . （1）證明： 平面 ； （2）求B點(diǎn)到平面 的距離 3.如圖，在四棱錐 中，底面 為長方形， 底面 ， ， ， 為 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為線段 上靠近B 點(diǎn)的三等分點(diǎn). （1）求證： 平面 ； （2）求平面 與平面 所成二面角的正弦值. 4.如圖，四

2、邊形 為正方形， 分別為 的中點(diǎn)，以 為折痕把 折起，使點(diǎn) 到達(dá)點(diǎn) 的位置，且 .（1）證明：平面 平面 ; （2）求 與平面 所成角的正弦值. 5.如圖，在三角錐 中， , , 為 的中點(diǎn).（1）證明： 平面 ; （2）若點(diǎn) 在棱 上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離. 6.如圖，在三角錐 中， , , 為 的中點(diǎn).（1）證明： 平面 ; （2）若點(diǎn) 在棱 上，且二面角 為 ，求 與平面 所成角的正弦值. 7.如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90°（12分） （1）證明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，APD=90°

3、，求二面角APBC的余弦值 8.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1. （1）證明：BE平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值. 9.如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1 ， A1D的中點(diǎn)（1）證明：MN平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值。 10.已知三棱柱 ，底面三角形 為正三角形，側(cè)棱 底面 ， ， 為 的中點(diǎn)， 為 中點(diǎn). （1）求證：直線 平面 ； （2）求平面 和平面 所成的銳二面角

4、的余弦值. 11.如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1 ， 平面A1AC1C平面ABC，ABC=90°.BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)   （1）證明：EFBC （2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值. 12.如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（）證明：平面ACD平面ABC；（）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值13.如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=

5、AD，BAD=ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)（）證明：直線CE平面PAB；（）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角MABD的余弦值14.如圖，已知多面體ABCA1B1C1 ， A1A ， B1B ， C1C均垂直于平面ABC ， ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）證明：AB1平面A1B1C1；（）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值15.如圖所示多面體中，AD平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BP的中點(diǎn)，AD3，AP3 ，PC （1）求證：EF/平面PDC； （2）若C

6、DP120°，求二面角ECPD的平面角的余弦值 16.如圖，四棱錐 中，側(cè)棱 垂直于底面 ， ， ， 為 的中點(diǎn)， 平行于 ， 平行于面 ， . （1）求 的長； （2）求二面角 的余弦值. 17.如圖，在斜三棱柱 中， 側(cè)面 ， ， ， ， （）求證：平面 平面 ；（）若 為 中點(diǎn)，求二面角 的正切值答案解析部分一、解答題1.【答案】 （1）解：連接 ，由ABC= ，AB=4，BC=3， 則 ， 又因?yàn)镃D= ，AD=2 ，所以 ，即 ，因?yàn)镻A平面ABCD， 平面ABCD，所以 ，因?yàn)?，所以CD平面PAD； （2）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的延長線為x， 為y軸， 過點(diǎn)D與 平行

7、線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖： 作 交 與點(diǎn)G， ，即 ， 所以 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ，則 ， ， ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，則 ，即 ，令 ，則 ， ，即 ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ， 則 ，即 ，令 ，則 ， ，即 ，由 ，所以二面角B-PC-D的余弦值為 .【解析】【分析】（1）連接 ，證出 ，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得 ，再利用線面垂直的判定定理即可證出.（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的延長線為x， 為y軸，過點(diǎn)D與 平行線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面 的一個(gè)法向量與平面 的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積即可求解.2.【答案】 （1）解：在平面 中，

8、 ， ， ，則 ， 又 ， ，即 ，又 平面 ，則 ，又 ， 平面 . （2）解：在平面 中，過A作BC的平行線交CD的延長線于M， 因?yàn)?， ， ，則 ,又因?yàn)?， ,所以 .所以 又 ，則 ，所以 ,在 中，.因?yàn)?,則 面 ,所以 由 可知： ， , 所以 ，則 ，因此P點(diǎn)到平面 的距離為 .【解析】【分析】(1)在三角形 中，由勾股定理可證得 ，由 平面 ，可得 ，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；(2) 在平面 中，過A作BC的平行線交CD的延長線于M，因?yàn)?利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得距離.3.【答案】 （1）證明： ， 為線段 中點(diǎn)， . 平面 ， 平面 ， .又 底面 是長方形，

9、.又 ， 平面 .平面 ， . 又 ， 平面 .（2）解：由題意，以 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則 ， ， ， ， ， . 所以 , ， ， ，設(shè)平面 的法向量 ，則 ，即 ，令 ，則 ， ， ，同理可求平面 的法向量 ， ， ，即平面 與平面 所成角的正弦值為 . 【解析】【分析】（1）通過 ， 可證明 平面 ，進(jìn)而可得 ，結(jié)合 證明線面垂直.（2）以 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求出平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，則可求出兩向量夾角的余弦值，從而可求二面角的正弦值.4.【答案】 （1）解：由已知可得，BFPF ， BFEF ， 又 ，BF平面PEF.又 平面ABFD ， 平面PEF平

10、面ABFD.（2）解：作PHEF ， 垂足為H.由（1）得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閥軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE= .又PF=1，EF=2，故PEPF.可得 .則   為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為 ，則 .DP與平面ABFD所成角的正弦值為 .【解析】【分析】(1)在翻折過程中,作 于H,由 得到 ,從而得到面面垂直;(2)DP與平面所成的角就是 ,在三角形中求其正弦值.5.【答案】 （1）PA=PC=AC=4   且O是AC的中點(diǎn)P

11、OACAB=BC=2 ，AC=4, ABC=90°    連接BO則OB=OCPO2+BO2=PB2POOB，POOCOBOC=OPO平面ABC（2）過點(diǎn)C作CHOM交OM于點(diǎn)H又PO平面ABC CH的長度為點(diǎn)C到平面POM的距離在COM中，CM=  ，OC=2，OCM=45° OM= 【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理易得；（2）由線面垂直可得面面垂直，易找點(diǎn)面距，可求.6.【答案】 （1）PA=PC=AC=4   且O是AC的中點(diǎn) POACAB=BC=2 ，AC=4, ABC=90°

12、    連接BO則OB=OCPO2+BO2=PB2POOB，POOCOBOC=OPO平面ABC（2）PO平面ABC，POOBAB=BC=2    O是AC的中點(diǎn)OBAC    OB平面PAC如圖所示以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為x軸正方向建立如圖所示的直角坐標(biāo)系O-xyz則P（0,0， ） A（,0，-2,0），C（0,2,0），B（2,0,0）平面PAC法向量為 =（1,0,0）設(shè)M（x，2-x，0）平面PAC法向量為 =（1，），=（0，2， ）, = （x，4-x，0）則 即 即 得到 ，x=-4（舍），x= 即M P

13、AM的法向量 記PC與平面PAM所成的角為 即PC與平面PAM所成的角為的正弦值為 .【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理易得；（2）先由條件建系，找到點(diǎn)M的位置，再用公式求線面角.7.【答案】 （1）證明：BAP=CDP=90°，PAAB，PDCD， ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四邊形ABCD為平行四邊形， 由（1）知AB平面PAD，ABAD，則四邊形ABCD為矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90°，可得PAD為等腰直角三角形，設(shè)

14、PA=AB=2a，則AD= 取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ） ， ， 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為 ，由 ，得 ，取y=1，得 AB平面PAD，AD平面PAD，ABAD，又PDPA，PAAB=A，PD平面PAB，則 為平面PAB的一個(gè)法向量， cos = = 由圖可知，二面角APBC為鈍角，二面角APBC的余弦值為 【解析】【分析】（1.）由已知可得PAAB，PDCD，再由ABCD，得ABPD，利用線面垂直的判定可得AB平面PAD，進(jìn)一步得到平面PAB平面P

15、AD； （2.）由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB平面PAD，得到ABAD，則四邊形ABCD為矩形，設(shè)PA=AB=2a，則AD= 取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個(gè)法向量，再證明PD平面PAB，得 為平面PAB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角APBC的余弦值8.【答案】 （1）解：由已知得， 平面 ， 平面 ， 故 又 ，所以 平面 （2）由（1）知 由題設(shè)知 ，所以 ，故 ， 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)閤軸正方向， 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

16、系D-xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0）， （0，1，2），E（1，0，1）， ， 設(shè)平面EBC的法向量為 =（x，y，x），則即 所以可取 = .設(shè)平面 的法向量為 =（x，y，z），則即 所以可取 =（1，1，0）于是 所以，二面角 的正弦值為 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直，再由線線垂直的判定定理出線面垂直。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，構(gòu)造出法向量n由向量垂直的數(shù)量積為零，求出法向量n，同理求出平面 的法向量m，則兩個(gè)平面垂直即為兩個(gè)法向量垂直，利用數(shù)量積的運(yùn)算公式即可求出兩個(gè)法向量所成角的余弦值，從而求出該角

17、的正弦值即為二面角 的正弦值。9.【答案】 （1）解：連結(jié) .因?yàn)镸 ， E分別為 的中點(diǎn)，所以 ，且 .又因?yàn)镹為 的中點(diǎn)，所以 .由題設(shè)知 ，可得 ，故 ，因此四邊形MNDE為平行四邊形， .又 平面 ，所以MN平面 .（2）解：建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)N在底面投影為點(diǎn)F，設(shè)平面 的法向量為 由 取 得其中一個(gè)法向量 易知平面 的一個(gè)法向量為 所以二面角 的正弦值為 【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合已知條件，用中點(diǎn)作中位線證線線平行，再利用線線相等結(jié)合平行四邊形的定義證出四邊形MNDE為平行四邊形，再利用平行四邊形的定義證出另一組線線平行，從而用線線平行結(jié)合線面平行的判定定理

18、證出線面平行。（2）利用直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合已知條件找出二面角的平面角，再利用空間向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。10.【答案】 （1）證明：取 中點(diǎn)為 ，連接 ，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， 則 ， ，設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，即 ,令 ，則 ，即 ，所以 ，故直線 平面 （2）解：設(shè)平面 的法向量 ，則 【解析】【分析】先利用題中的垂直關(guān)系建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）求出直線的方向向量和平面的法向量，利用兩者垂直進(jìn)行證明；（2）利用兩個(gè)半平面的法向量的夾角進(jìn)行求解.11.【答案】 （1）連接A1E ， 因?yàn)锳1

19、A=A1C ， E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ， 平面A1ACC1平面ABC=AC ， 所以，A1E平面ABC ， 則A1EBC.又因?yàn)锳1FAB ， ABC=90°，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.（2）取BC中點(diǎn)G ， 連接EG ， GF ， 則EGFA1是平行四邊形 由于A1E平面ABC ， 故AE1EG ， 所以平行四邊形EGFA1為矩形由（I）得BC平面EGFA1 ， 則平面A1BC平面EGFA1 ， 所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上.連接A1G交EF于O ， 則EOG是直線EF與

20、平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）.不妨設(shè)AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2 ，EG= .由于O為A1G的中點(diǎn)，故 ，所以 因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值是 方法二：連接A1E ， 因?yàn)锳1A=A1C ， E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC ， A1E 平面A1ACC1 ， 平面A1ACC1平面ABC=AC ， 所以，A1E平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC ， EA1為y ， z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz. 不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2 ），B（ ，1，0）， ， ，C(0，2，0).因此， ， 由 得 【解析】【分析】

21、（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，證明線面垂直，即可得到線線垂直；（2） 通過線面垂直，找到直線與平面所成的角，結(jié)合余弦定理，求出相應(yīng)的角即可.12.【答案】 （）證明：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，ODABC是等邊三角形，OBACABD與CBD中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，AC是斜邊，ADC=90°DO= ACDO2+BO2=AB2=BD2 BOD=90°OBOD又DOAC=O，OB平面ACD又OB平面ABC，平面ACD平面ABC（）解：設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離分別為hD ， hE 則 = 平面AEC把四面體ABC

22、D分成體積相等的兩部分， = = =1點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)AB=2則O（0，0，0），A（1，0，0），C（1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E =（1，0，1）， = ， =（2，0，0）設(shè)平面ADE的法向量為 =（x，y，z），則 ，即 ，取 = 同理可得：平面ACE的法向量為 =（0，1， ）cos = = = 二面角DAEC的余弦值為 【解析】【分析】（）如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，ODABC是等邊三角形，可得OBAC由已知可得：ABDCBD，AD=CDACD是直角三角形，可得AC是斜邊，ADC=90°可得DO= AC利用

23、DO2+BO2=AB2=BD2 可得OBOD利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明（）設(shè)點(diǎn)D，B到平面ACE的距離分別為hD ， hE 則 = 根據(jù)平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，可得 = = =1，即點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB=2利用法向量的夾角公式即可得出13.【答案】 （）證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF AD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90°，BC AD，BCEF是平行四邊形，可得CEBF，BF平面PAB，CF平面PAB，直線CE平面PAB；（）解：四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形

24、且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)取AD的中點(diǎn)O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2，則AB=BC=1，OP= ，PCO=60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2 ， BN= ，MN= ，作NQAB于Q，連接MQ，所以MQN就是二面角MABD的平面角，MQ= = ，二面角MABD的余弦值為： = 【解析】【分析】（）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，通過證明CEBF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可（）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解M到底面的

25、距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角MABD的余弦值即可14.【答案】 解：（）由 得 ，所以 .故 .由 ，   得 ，由 得 ，由 ，得 ，所以 ，故 .因此 平面 .（）如圖，過點(diǎn) 作 ，交直線 于點(diǎn) ，連結(jié) .由 平面 得平面 平面 ，由 得 平面 ，所以 是 與平面 所成的角由 得 ，所以 ，故 .因此，直線 與平面 所成的角的正弦值是 .【解析】【分析】（I）先證得AB1A1B1 ， AB1B1C1 ， 利用直線和平面垂直的判定可得AB1平面A1B1C1；（II）建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，求出平面ABB1的法向量，用空間向量求直線與平面的夾角即可得出線面角的大小15.【答案】 （1）證明：取 的中點(diǎn)為 ，連結(jié) ， ， ， 分別為 、 的中點(diǎn)，且 ，又四邊形 為平行四邊形， ，且 ，且 ， 四邊形 是平行四邊形， 平面 ， 平面 ，平面 （2）解： 平面 ，四邊形 為平行四邊形， 點(diǎn) ， 分別為 ， 的中點(diǎn)， ， ， ，解得 ，如圖，以 為原點(diǎn)，在平面 內(nèi)過 作 的垂線為x軸，為 軸， 為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ， ， ， ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量 ， ，4， ， ，3， ，則 ，取 ，得 ，平面 的一個(gè)法向量 ，