FINTS第四章線性ARMA模型4ppt課件

1、模型定階或識(shí)別n假設(shè)數(shù)據(jù)已經(jīng)平穩(wěn)化，下一步是確定模型的階數(shù)。有兩種方法，一種是根據(jù)隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)特征，一種是根據(jù)信息準(zhǔn)則。n下面是幾類隨機(jī)過(guò)程的參數(shù)特征：三種隨機(jī)過(guò)程偏自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)三類過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù) MAq） ARp） ARMAp，q）自相關(guān)函數(shù) q步截尾 拖尾 拖尾偏自相關(guān)函數(shù) 拖尾 p步截尾 拖尾 定階樣本自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算和判斷TttyTy11)( )(11yyyyTktkTttk0/kk定階H0：i =i+1 =0用前面介紹的方法計(jì)算出樣本自相關(guān)系數(shù) ，零假設(shè)成立時(shí) 近似服從正態(tài)分布N(0,1/T)所以近似5%顯著水平下，每個(gè) 在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之間，則不能拒絕零假設(shè)。 i

2、ii具體地說(shuō)，假如-2/ p那么估計(jì)的偏相關(guān)系數(shù)近似服從正態(tài)分布N0，1/T）所以近似5%顯著水平下，假如-2/T1/2 *k p成立 n評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣準(zhǔn)則TyyTitt12)(min根據(jù)信息準(zhǔn)則進(jìn)行模型識(shí)別(定階)殘差平方和最小化AIC (Akaikes information criterion) BIC(Schwartz Bayesian information criterion)原則n對(duì)自由度進(jìn)行調(diào)整nk是模型中未知參數(shù)的個(gè)數(shù),et是估計(jì)出的誤差 TeTBICTeTkAICTttTkTtt12/12)/2exp(定階： AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則不同的書(shū)對(duì)AIC和BIC使用不同的變形。經(jīng)

3、常使用的有兩種 AICp，q）=ln( )+2(p+q)/TBICp，q）=ln( )+(p+q)ln(T)/TT樣本長(zhǎng)度，如果有常數(shù)項(xiàng)p+q被p+q+1代替，ln表示自然對(duì)數(shù)。在ARMA模型中需要選擇p和q，所以用p+q代替k。 是對(duì)噪聲項(xiàng)方差的估計(jì)22TeTtt122定階： AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則AICp，q）=2lnL/T+2(p+q)/TBICp，q）=-2lnL/T+(p+q)ln(T)/TLnL是模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值Q是與參數(shù)無(wú)關(guān)的量。因?yàn)槲覀冎魂P(guān)心使得AIC或BIC最小的值，所以忽略Q.帶入對(duì)數(shù)似然函數(shù)表達(dá)式中，可以發(fā)現(xiàn)與前面的AIC和BIC的表達(dá)是一致的。 QTL)ln(2ln

4、2AIC和BIC判斷步驟（1給定滯后長(zhǎng)度的上限P和Q，一般取為T/10， Ln(T),（2修改樣本區(qū)間使得滯后長(zhǎng)度不出現(xiàn)負(fù)值。（3對(duì)任意一對(duì)滯后長(zhǎng)度p=0，1，P，q=0，1，Q，分別估計(jì)模型ARMAp，q）（4代入上面的公式，計(jì)算出AIC(p，q)和BIC(p，q)（5最小值對(duì)應(yīng)的p，q值作為ARMA模型的階數(shù)。T用AIC和BIC準(zhǔn)則確定階數(shù)AIC準(zhǔn)則-MA(1) q 0 1 2 3P 0 -7.415 -7.455 -7.426 -7.373 1 -7.39 -7.395 -7.422 -7.272 2 -7.433 -7.383 -7.174 -7.221 用AIC和BIC準(zhǔn)則確定階數(shù)B

5、IC-白噪聲 q 0 1 2 3P 0 -7.415 -7.411 -7.338 -7.239 1 -7.346 -7.251 -6.998 -7.001 2 -7.345 -7.251 -6.998 -7.001 練習(xí)：nP179 15(9)極大似然估計(jì):以AR(1)為例t=c+t-1 +t 假設(shè) i.i.d.N(0, 2)估計(jì): =( c, , 2) 知: y1,y2,yTE(1)=c/(1-)E(1-)2=2/(1-2) 極大似然估計(jì)當(dāng)1的觀測(cè)已知時(shí)，2的條件分布2=c+1 +2 （2|1= y1） N(c+y1, 2) )1/(2)1/(exp)1/(21);(22212211cyyf

6、Y2)(exp21),|(2212212|12ycyyyfYY極大似然估計(jì)Y1,Y2的聯(lián)合分布密度函數(shù)，是條件密度和邊際密度相乘f2，Y1 (y2，y1; )= f2|Y1 (y2|y1; ) f1 (y1; ) 類似的，已知y1,y2，3的條件分布 2)(exp21);|();,|(2223223|123,|23123ycyyyfyyyfYYYYY極大似然估計(jì)三者的聯(lián)合分布f3，2，Y1 (y3，y2，y1; )= f3|Y2，Y1 (y3|y2，y1; ) f2|Y1 (y2|y1; ) f1 (y1; ) 一般給定y1,y2,yt-1，t的條件分布只和yt-1有關(guān) 2)(exp21221

7、2ttycy極大似然估計(jì)ft,Yt-1，,Y1 (yt, yt-1，,y1; )= f1 (y1; ) ft|Yt-1(yt|yt-1; ) Tt 22221222212121)1log(212)()log(2)2log(2)(cyycyTTlTttt（4.17）0, 0, 02llcl估計(jì)：滿足下面的條件的解求解未知參數(shù)的方程是非線性的，如果只關(guān)心（2，T的條件聯(lián)合分布，得到條件極大似然函數(shù)。極大似然估計(jì)0,0,02llcl同樣通過(guò)解方程來(lái)得到未知參數(shù)的估計(jì)：這時(shí)得到的是線性方程組TtttycyTTl222122)()log(21)2log(21)(最小二乘估計(jì)法：計(jì)算例子- produce

8、 a stationary AR(2) process: yi=-0.6yi-1+0.80yi-2+xi and find the estimate of parametersMatlab code:nx = randn(1000, 1); ny = filter(1, 1 -0.6 0.08, x); %產(chǎn)生上述AR(2)過(guò)程nm = ar(y,2)模型的檢驗(yàn)檢驗(yàn)殘差是否是白噪聲過(guò)程1畫出殘差的折線圖2畫出殘差的ACF,PACF3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量QBox-Pierce Q-檢驗(yàn)其中，T為樣本容量Ljung and BoxmkkTQ12mkkKTTTQ121)()2(檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)1m主觀給定，一般在

9、15到30之間，可令m=T1/22H0：t是白噪聲過(guò)程3) H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Q漸進(jìn)服從2m-p-q)，假如 模型中包括常數(shù)項(xiàng)，那么Q漸進(jìn)服從2(m-1-p-q)4Q檢驗(yàn)會(huì)給出相應(yīng)的P-值P-值0.05拒絕H0） Q檢驗(yàn)圖示真實(shí)臨界值計(jì)算值卡方分布臨界Q檢驗(yàn)存在缺陷:經(jīng)常不能拒絕零假設(shè)。把不是白噪聲時(shí)，也誤認(rèn)為是白噪聲檢驗(yàn)練習(xí)例m=6，模型中有常數(shù)項(xiàng)，考慮下面的幾個(gè)模型，哪個(gè)模型是合格的模型？給出其它幾個(gè)模型Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的自由度。(p+q) Q 自由度 P-value(1,0) 15.92 6-1-0-1 0.019(2,0) 11.82 0.249(0,1) 4.12 0.139(0,2)

10、6.94 0.21(1,1) 7.94 0.047模型選擇一個(gè)好模型滿足的條件每個(gè)解釋變量都顯著不等于0.殘差是白噪聲過(guò)程具有最小的AIC或BIC值練習(xí)：從下面的幾個(gè)模型中選擇一個(gè)最優(yōu)模型 AR(1) AR(2) AR(3) ARMA(1,1) MA(2) 1 0.17 0.21 0.3 0.19 ( 0.0000) (0.0004) (0.002) (0.0024) 2 0.06 0.04 (0.0005) (0.003) 3 0.0005 (0.44) 1 0.05 0.48 (0.0007) (0.0034) 2 0.06 (0.009) AIC 607.3 592.5 615 598.4 609.5 BIC 609.9 594.3 607 593.6 612.6Q(8) P-值 0.000