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1、用特征根法求數(shù)列的通項公式蔣一波義 1 形如 an =C1anJC2an2 +IH 川+Ckan±HI "HI （1 ）, c” c2 I 11Hle卜都是常數(shù)且Ck #0稱為常系數(shù)線性齊次遞推數(shù)列定義 2 方程 xk _CiXk±_IIHII -Ckx _Ck =0川川川（2）叫做遞推數(shù)列的特征方程，它的k個根qi, q2, q3,qk叫做遞推數(shù) 列（1）的特征根證明：令a1是遞推數(shù)列任一解，那么a1由它的初始條件 a。=b0,a1 =>,111川0,=by完全確定，待定常數(shù)d= d 2,山川，dk ,聯(lián)立方程 組d d - HI

2、 Hl - d = b k0d1 d 2q2 ,川川，d k = bk ±kdg dzQk =b解出 d1,d2"H ,dk ,方程的系數(shù)矩陣是111M1q1q2山qkIIIIIIIIIIIIk _Lk _2Ll Jk _Lq1q2 川 qk因為所有的特征根q1，q2，q3Hqk ,都不同，所以這個行列不為零， 于是方程關(guān)于d-d2,惘川，dk有唯一的解，證畢例1已知遞推數(shù)列滿足an+=3anan/n之2.a1=a2=1,求解數(shù)列同的通項公式解：a“ +=3a” a“”n22 ）的相應(yīng)特征方程九2 _3兒+1=0,解出其特征根是所以an ”由初始值氏=a2 =1得求得從而5

3、-255 _5 2 -55評注：本題的解題關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確 定出C10的值。從而可求出數(shù)列an的通項公式,a4 =4 ； (2)例2已知數(shù)列m 滿足條件：（1）耳=a2 =1 , a3 =2an =an+an垓十a(chǎn)n（n >4 ）, 求通項公式a解：特征方程x4x3x1=0,其四個根為i,i,士后 匕后，通項 22由初值條件得'ii - -2 -i(1)(2)331 -中,1i二4(3)(4)由(1)(3) (4)得2 - i3, .2一 n -%2 也21 02 i n 2 i n 1 1 - '51i - ( -i)一 -1 01 0525評注：本題的解題關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出C”C2 Q,C4的值。從而可求出數(shù)列a的通項公式參考文獻(xiàn)：1范端喜.遞推數(shù)列的通項.數(shù)學(xué)通訊J,20

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