七、微波濾波器的基本概念與理論

1、1第七章 微波濾波器的基本概念與理論 27.1 微波濾波器基本概念 圖7.1.1 二端口網(wǎng)絡(luò)大部分微波濾波器和濾波器元件可以通過一個二端口網(wǎng)絡(luò)來表示：31. 二端口網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù)二端口網(wǎng)絡(luò)的散射參數(shù) 定義如下：定義如下： S212111111212002221221200aaaabbSSaabbSSaa4寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式為：由其物理意義可以看出由其物理意義可以看出 、 為反射系數(shù)，為反射系數(shù)， 、 為傳輸系數(shù)。為傳輸系數(shù)。111121221222bSSabSSa11S22S12S21S52. 二端口網(wǎng)絡(luò)的二端口網(wǎng)絡(luò)的 參數(shù)定義如下參數(shù)定義如下: : 2222112200112200

2、IVIVVVABVIIICDVIT6 寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式為：1212VVABIICD73.特性參數(shù)定義20log,1,220log1,2AmnRmnLSdBm nmnLSdBn 11nnnnSVSWRS21P21ddd 87.2 傳遞函數(shù)7.2.1 7.2.1 概要概要1、無源無耗濾波器的傳遞函數(shù)的振幅的平方記為、無源無耗濾波器的傳遞函數(shù)的振幅的平方記為: :2、對于線性時不變網(wǎng)絡(luò)，傳遞函數(shù)可以定義成有理函數(shù)的、對于線性時不變網(wǎng)絡(luò)，傳遞函數(shù)可以定義成有理函數(shù)的形式：形式： 22211nG jF 21N pSD p93、相應(yīng)的衰減函數(shù)定義為相應(yīng)的衰減函數(shù)定義為: 4、濾波器的反射損耗為

3、濾波器的反射損耗為:2110lgALdBG j 2( )10lg 1()RLG jdB 107.2.2 復(fù)平面的極點和零點 定義有理傳遞函數(shù)的平面稱之為復(fù)平面。 零點和極點分別為N(p)和D(p)等于零的解。7.2.3 按照濾波器的傳遞函數(shù)類型，可將濾波器分為：Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器、橢圓函數(shù)濾波器、高斯濾波器、全通濾波器。 Butterworth濾波器的振幅平方特性如下所示： 221211nSj11圖7.2.1 Butterworth最大平坦低通響應(yīng)圖7.2.2 Butterworth響應(yīng)的極點分布127.2.4 Chebyshev響應(yīng) Chebyshev低通

4、響應(yīng)有等波紋的通帶和最大平坦的阻帶，其傳遞函數(shù)振幅平方特性為：2212211nSjT圖7.2.3 Chebyshev低通響應(yīng)圖7.2.4 Chebyshev響應(yīng)的極點分布137.2.5 橢圓函數(shù)響應(yīng) 如果響應(yīng)在通帶和阻帶都是等波紋的，便是橢圓函數(shù)響應(yīng)。傳遞函數(shù)為：2212211nSjF圖7.2.5 橢圓函數(shù)低通響應(yīng) 147.2.6 高斯（最大平坦群延遲）響應(yīng) 高斯響應(yīng)可以用下面的有力傳遞函數(shù)來近似： 0210nkkkaSpa p2!2!kn knkaknk圖7.2.7 高斯（最大平坦群延遲）響應(yīng) 157.2.7 全通響應(yīng) 傳遞函數(shù)為 其中，p為復(fù)頻率變量，D(p)為Hurwitz多項式。 C類

5、全通網(wǎng)絡(luò)：極點和零點落在軸上。 D類全通網(wǎng)絡(luò)：極點和零點關(guān)于軸對稱。 21DpSpD p圖7.2.8 單個C類全通網(wǎng)絡(luò)的特性 167.3 低通原型濾波器及其元件 低通原型濾波器就是所有元件值都歸一化的低通模擬濾波器。 所謂的歸一化就是使源阻抗或者導(dǎo)納 ，通帶截止頻率 。如圖便是低通原型濾波器的兩種實現(xiàn)： 01g 1c 圖7.3.1 全極點低通原型濾波器 17其對應(yīng)規(guī)則為：其對應(yīng)規(guī)則為：若若 是是串聯(lián)電感串聯(lián)電感 ，則，則 是是源導(dǎo)納源導(dǎo)納 ；若若 是是并聯(lián)電容并聯(lián)電容 ，則，則 是源阻抗；是源阻抗；若若 是是串聯(lián)電感串聯(lián)電感 ，則，則 是是負載導(dǎo)納；負載導(dǎo)納；若若 是是并聯(lián)電容并聯(lián)電容 ，則，

6、則 是是負載阻抗；負載阻抗；1g0g1g0gngng1ng1ng18 7.3.1Butterworth低通原型濾波器 若在通帶截止頻率 處的衰減是 ，則Butterworth低通原型濾波器的元件值可以通過下面的式子來計算： 1c 3.01ArLdB011.0212sin,1,2,21.0ingiginng197.3.2 Chebyshev低通原型濾波器 若給定通帶波紋 和階數(shù) ，則Chebyshev 低通原型濾波器的元件值為：ArLn01122121.02sin221234sinsin221,2,3,1sin21.0,coth,4iinggniinnginginngn為奇數(shù)為偶數(shù)ln coth

7、17.37sinh2ArLn20 Chebyshev低通原型濾波器低通原型濾波器的階數(shù)由下式?jīng)Q定：的階數(shù)由下式?jīng)Q定：0.10.1101arcosh101arcoshAsArLLsn21 若給定的是反射損耗若給定的是反射損耗 ，或者電壓駐波比，或者電壓駐波比 ，則，則換算關(guān)系為：換算關(guān)系為： RLVSWR0.110lg 1 10RLArLdB 2110lg 11ArVSWRLdBVSWR 227.3.3 橢圓函數(shù)低通原型濾波器橢圓函數(shù)濾波器的兩種實現(xiàn)如圖所示： 圖7.3.2 橢圓函數(shù)的低通原型濾波器 237.3.4 高斯低通原型濾波器圖7.3.1所示的網(wǎng)絡(luò)也可以看作Gaussian低通原型濾波器

8、，因為Gaussian低通原型濾波器如Butterworth和Chebyshev濾波器一樣，是全極點濾波器。Gaussian原型濾波器的元件的值一般我們可以通過網(wǎng)絡(luò)合成來得到。 247.3.5 全通、低通原型濾波器基本網(wǎng)絡(luò)單元如圖所示 圖7.3.3 全通濾波器的低通原型 25 該基本單元的 參數(shù)為： 由 參數(shù)很容易轉(zhuǎn)換成散射參數(shù)。 ZZ1122122122babazzzzzzzz267.4 頻率變換 通過頻率變換，把低通原型濾波器的頻域 映射到相應(yīng)的低通、高通、帶通和帶阻濾波器的頻域 。 通過元件變換，把低通原型的元件值轉(zhuǎn)換為實際元件值 阻抗比例尺定義為：0000000/,/,ZgggYg當為

9、電阻時當為電導(dǎo)時g27 阻抗比例尺的用法： 0000/LLCCRRGG287.4.1 低通變換 低通原型到實際低通的頻率變換規(guī)則為： 元件變換規(guī)則為： cc00ccccLggC29圖7.4.1 低通原型到實際低通的變換 307.4.2 高通變換 低通原型到高通濾波器的頻率變換規(guī)則為： 元件變換規(guī)則為：cc 01ccLg011ccCg31圖7.4.2 低通原型到高通的轉(zhuǎn)換 327.4.3 帶通變換 低通原型到帶通濾波器的頻率變換規(guī)則為：其中001cFBW210FBW01233 低通原型中的電感（電容），被變換成帶通濾波器中的串聯(lián)（并聯(lián)） 諧振回路。 對于串聯(lián) 諧振回路： LCLC00csLgFB

10、W001scFBWCg34 對于并聯(lián) 諧振回路： LC00cpgCFBW00pcFBWLg35圖7.4.3 低通原型到帶通的轉(zhuǎn)換 367.4.4 帶阻變換 低通原型到帶阻濾波器的頻率變換規(guī)則為： 其中， 00/cFBW 012210FBW37 低通原型中的電感（電容），被變換成帶阻濾波器中的并聯(lián)（串聯(lián)） 諧振回路，這剛好與帶通變換相反。 對于并聯(lián) 諧振回路： LCLC0011pcCFBWg00cpFBWLg38 對于串聯(lián) 諧振回路： LC001scLFBWg00csFBWgC39圖7.4.4 低通原型到帶阻的轉(zhuǎn)換 407.5 導(dǎo)抗變換器 導(dǎo)抗變換器包括阻抗變換器和導(dǎo)納變換器。 若把理想的阻抗變

11、換器看成二端口的網(wǎng)絡(luò)，則其阻抗變換關(guān)系為 其中K是實數(shù)，是特性阻抗的倒數(shù)。 212KZZ41 理想阻抗倒量變換后的ABCD矩陣為： 010jKABCDjK42 理想導(dǎo)納變換器的導(dǎo)納變換關(guān)系為 其中J是實數(shù)，是特性導(dǎo)納的倒數(shù)。212JYY43 理想導(dǎo)納倒量變換后的ABCD矩陣為： 100ABjJCDjJ44 通過導(dǎo)抗變換器，可實現(xiàn)如下變換：圖7.5.1 導(dǎo)抗倒量變化器 457.5.3 導(dǎo)抗倒量變換器的實現(xiàn) 傳輸線是最簡單的導(dǎo)抗變換器。 典型的集總參數(shù)導(dǎo)抗變換器如圖所示： 4圖7.5.5 幾種典型的集總參數(shù)導(dǎo)抗倒量變換器 46 有的導(dǎo)抗變換器是集總元件和傳輸線的混合，如圖所示： 圖7.5.6 導(dǎo)抗

12、倒量變換器混合了集總元件和傳輸線 477.6 Richards變換和變換和Kuroda恒等式恒等式 對于無損耗網(wǎng)絡(luò)，對于無損耗網(wǎng)絡(luò)，RichardsRichards變換定義如下：變換定義如下： 其中，其中，tantjplv48 與頻率成正比，可以表示為：與頻率成正比，可以表示為： 其中其中 是在參考頻率是在參考頻率 時的時的 值。值。000049 令令 ， 則得到頻率映射：則得到頻率映射： tan 0/20tan2 50 圖7.6.1 頻率映射 51 通過Richards變換， 集總電感被變換成短路枝節(jié)；集總電容被變換成開路枝節(jié)。圖7.6.2 在Richards變換下集中和分布式單元的對應(yīng)部分

13、 52另一種重要的分布式元件是二端口網(wǎng)絡(luò) 特性阻抗為 的傳輸線的ABCD矩陣為： 對其應(yīng)用Richards變換為cossinsin/cosuujZABjZCDuZ211/11uuZ tABt ZCDt537.6.2 Kuroda恒等式在設(shè)計傳輸線濾波器時，Kuroda恒等式能實現(xiàn)不同形式的電網(wǎng)絡(luò)之間的轉(zhuǎn)換。圖7.6.3 Kuroda恒等式547.6.3 耦合線等效電路 一般的耦合線網(wǎng)絡(luò)如圖所示： 圖7.6.6 一般的耦合線網(wǎng)絡(luò)55 利用下面的四端口電壓電流關(guān)系： 112222334411pIVCtCvIVIVttCCIV56 其中， 是端電流， 是端電壓。 其中 、 分別是每單位長度線1和線2的自電容，而 是每單位長度的互電容。 kV 1112