完整word版高中數(shù)學必修2立體幾何專題二面角典型例題解法總結

1、 二面角的求法 一、 定義法： 這兩個半平面叫這條直線叫做二面角的棱從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角, , 做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角 的平面角。上的一已知ABM中從二面角1SAMB中半平面本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例，）AM的垂線（如GF）作棱；在另一半平面點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）ASM內(nèi)過該垂足（F）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助BF、GF這兩條垂線（ 直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。2?ADABCDSD?ABCDS?ABCD ，如圖，四

2、棱錐例1 為矩形，底面中，底面 SCDC2?SDABM? 在側棱，點=60M上，SC 的中點I）證明：M在側棱（S?AM?B的大小。）求二面角 （II 證（I）略 ABMBBF?AMAMFF為作交中過點，則點于點解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形 GF?AMGF交ASASM內(nèi)作于G， FAM的中點，過點在平面，連結AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點， G F 的中點，為GFAS，又AMSCAM， GFAM，F(xiàn) AS的中點。AMS的中位線，點G是GF是2?GF2SM?GFB?，即為所求二面角. ，則 則206AC?SA?60ABM?ABM2AM?2AM?AB?是等邊，三角，

3、形，又，31160?4BG?3?BF?AG90?GABGAB2AB? ，。在中，222 111?3?2226?2GF?FB?BG22?cos?BFG? 32GF?FB6G 3?2?F 6)?arccos(B?SAM? 二面角的大小為3 ?60?ABC, BC，練習1如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,EF分別是 . PC的中點 AEPD; （）證明：所成最大角的正切值AD與平面P為（）若HPD上的動點，EH6. AF為C，求二面角的余弦值E2 ，APD后推出AE平面：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE分析AD題，則首先必須在找到最大角正切值有關的線段計算出各線段的長度

4、之后，考慮到運2使命題獲證，而第進而計算二面角的余弦值。與SC，上找到可計算二面角的平面角的頂點用在二面角的棱AFS，和兩邊SE15二面角的余弦值為 ）（答案：5 二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂 直通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。上的一已-C中半平面BFC本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC1，連結起點與終FC的垂線，得垂足P的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱知點B作另一半平面FCC11。再解直角三角形求二、射影OP）PB，便形成了三垂線定理的基本構圖（斜線PB、垂線

5、BO點得斜線段 面角的度數(shù)。 AA=2, ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, 2如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面例11111DC AB的中點。分別是棱AD、AA、E、E、F 1 1 11AB 1 1 ；）（1 證明：直線EE/平面FCC11D B-FC（2） 求二面角-C的余弦值。 EC 1 1 E B A F DC 1 1 ）略證（1所以,的中點是棱BC=CD=2, 、FABAB=4, 解（2）因為A F B 1 1 1 又因為正三角形BF=BC=CF,BCF,O,則OBCF,的中點取CFP平面CCABCD,所以中DCBABCD-A為直四棱柱,CCD EC

6、 111111 1 OE垂足為內(nèi)作FOP在平面過F,平面所以BO,OBCCOCCCF,111 A B F BCF的一個平面角為二面角則連接P,BP,OPBB-FC-C, 在1OPOF12?3OB?OP?2? F,OPF, 中FCCRt在,為正三角形中,CC , 11CCCF2222?211 21417OP222?OP?BP3OB?OPB?cos角二面,Rt在OPF中,所以22BP71427. 的余弦值為B-FC-C17 P?ABCDABCD是矩形已知練習2如圖，在四棱錐中，底面 ?60PAB?22,?2,PA?2,PD?AB?3,AD? AD?PAB；（）證明平面 PCAD所成的角的大??；與（

7、）求異面直線 P?BD?A的大小 （）求二面角 分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCDP?BD?A的大的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角39arctan）小為 4P 三補棱法 本法是針對在解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決 例3如圖所示，四

8、棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，D E 2. A底面ABCD，P60，E是CD的中點，PABCD; AB（）證明：平面PBE平面P C A . 所成二面角（銳角）的大小和平面PBE（）求平面PADB P 沒有明確的交線，依本法顯然分析：本題的平面PAD和平面PBE再在完整圖形中.），連結PFF要補充完整（延長AD、BE相交于點G .上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（）證略PF的. ，連結PFAD解: （）延長、BE相交于點F ，由（）知過點A作AHPB于HF . PBE所以AB,AH平面平面平面PBEPH ，60ABF在Rt中，因為BAFD E . =2=APABAF所

9、以，=2C . GPFAF在等腰RtP中，取的中點，連接AGA PF則AGHG.連結，由三垂線定理的逆定理得，B . 所成二面角的平面角（銳角）PBEAGH是平面PAD和平面PFHG.所以 2 2.AG?PA AF中， 在等腰RtP 2 gg5AP2ABAP2AB.AH? AB中，在RtP 5PB522ABAP? 52 10AH5?sin?AGH?. AHG中， 所以，在Rt 5AG2 10.arcsin 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是 5 A 1，側棱與底aC的棱長都是已知斜三棱柱練習3ABCAB111 BC 110 ABC。面成60BCC的角，側面B底面11 BC；（1

10、）求證：AC1 與平面）求平面ABC ABC所成的二面角（銳角）的大小。（211 A L B C L 的平行線提示：本題需要補棱，可過A點作CBO （答案：所成的二面角為45）s射影=cosq 四、射影面積法（） S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影S射? ）求出二面角的大小。面積公式（cos S斜P o90?ACB?2P?ABCAC?BC? 例4如圖，在三棱錐，中，AC?PCAB?AP?BP ，A B AB?PC ；（）求證：C?B?APC （）求二面角的大小； ACPABP與平面APC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面分析：本

11、題要求二面角B S中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S與P 射原 于是得到下面解法。E （）證略解：BPCAPC?ACQ?BCBPAP? ，（），B A PC?AC?PC?BC又， oC?PCACI90?ACB?BCAC? ，即又，且，C CE?PACBE，?BCEAP 中點取連結平面AP?BE?QAB?BP ，PACQECBE 是內(nèi)的射影，在平面APCE? 內(nèi)的射影，ABEACE是在平面ACP22222ECAE?6?22BEAEAC?BP?AP?CBABAB?，于是可求得：，1112CE?SS?2?AE? 則，ACE?射2211C D 3?EB?2?6AES?S? ABE?原22B A S

12、13E 射?cos?CB?AP? 的大小為二面角，則設3S3原D1 C1 3?arccos?C?B?AP 二面角的大小為AB31 1 5 圖 所成銳CDECC的中點，求平面AB和底面ABABCD： 如圖5，E為正方體ABCD的棱4練習1111111111 角的余弦值. 則必須先作要找到二面角的平面角，交線即二面角的棱沒有給出，與底面ABCD分析 平面ABE11111上的射影是三角形DE在平面ABC兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB11111 ，從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。ABC1112. cos）=（答案：所求二面角的余弦值為3 五、向量法向量法解立體幾

13、何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線 段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。?的中點，EC，MABCD, 平面AD/BC/FE，AB為AD例4：如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 1 AF=AB=BC=FE= AD 2 所成的角的大?。籅F與DE(I) 求異面直線? ；平面 (II) 證明平面AMDCDE A-CD-E的余弦值。 求二面角 ，?1ABA依題意得為坐標原點。設現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標系，以點?，F(xiàn)，E，D10，02，00B

14、1，C110，11，000 11?.，M，1? 22?，1，?1，BF?，?1，0，1解：DE?0 （ I ） 11DE0?0?BF?.?，于是cosBFDE? 222?DEBF060DEBF. 所成的角的大小為與所以異面直線11?，?，1，由AM0AM，20?CE?，可得?1AD?CE?0，0，1? ，（II）證明： 22?.AMD，故CE?平面A.因此，CE?AM，CE?AD.又AM?AD?0CE?AD? 而CE?平面CDE，所以平面AMD?平面CDE. ?u?CE?0，?解：設平面CDE的法向量為u?(x，y，z)，則 （III） ? ?u?DE?0.?x?z?0，?于是令x?1，可得u?(1，1，1）. ?y?z?0.?v?(0，0，1).ACD的一個法向量為又由題設，平面 ABC?ABCAABB?ABC. 、如圖，在直三棱柱側面中，平面練習511111AB?BC；（）求證： ?BCAA?BC?AAC的（）若直線二面角與平面,所成的角