用平面的法向量解高考立體幾何試題

1、用平面的法向量解高考立體幾何試題張靖松平面的法向量在課本上有定義，考試大綱中有“理解”要求，但在課本和多數(shù)的教輔材料中都沒有提及它的應用， 其實平面的法向量是中學數(shù)學中的一顆明珠，是解立體幾何題的銳利武器，開發(fā)平面法向量的解題功能，可以解決不少立體幾何中有關(guān)角和距離的難題，也能順利解決2005年全國高考試卷中的立體幾何試題。一、平面法向量的概念和求法，則稱這個向量垂向量與平面垂直如果表示向量a的有向線段所在的直線垂直于平面直于平面，記作a 。的法向量。進而就可以利用平面的法向量解決相關(guān)平面的法向量如果a，那么向量a叫做平面一般根據(jù)平面法向量的定義推導出平面的法向量，立體幾何問題。推導平面法向量

2、的方法如下：在給定的空間直角坐標系中，設(shè)平面的法向量n (X, y,1)或 n (x,1,z)，或n (1,y,z)，在平面內(nèi)任找兩個不共線的向量a, b。由 n，得n a 0且n b 0，由此得到關(guān)于 X, y的方程組，解此方程組即可得到n。有時為了需要，也求法向量n上的單位法向量n0，則n0例1在棱長為1的正方體ABCDA BiCi Di 中，求平面aCD1的法向量n和單位法向量n。解：建立空間直角坐標系，如圖 1,則 A(1,0,0)，C(0,1,0)。設(shè)平面 ACD1的法向量n(x,y,1)。y口 uuvLUUV得 AC ( 1,1,0)，AD1(1,0,1)。又n 面ACD1，得nU

3、ULVAC， nULUVAD1。有(x,y,1)(x,y,1)(1,1,0)1,0,1)0，得n (1,1,1),門0(1,1,1)(1 1 1.43 73 43 (T,T,T)。二、平面法向量的三個引理為了能方便地運用平面法向量解題，特介紹平面法向量的三個引理，以此為工具，可以 順利地解決立體幾何問題。引理1設(shè)向量n。是平面的單位法向量，點 B是平面 外一定點，點A是 內(nèi)任意一點，則點B到平面 的距離duuvAB n0。證明：如圖2，過B作BO垂直平面 于O,在uuvABO為AB與n的夾平面上任取一點A，則角，設(shè)為 。在Rt ABO中,uuvABcos例2在例1中,uuvBOuuvABuuv

4、AB nttuAB nuuv AB nuuvABno。求點Ai到平面ACDi的距離。解析：由例1的解答知，平面 ACDi的單位法向量又 黑 （0,0,1），設(shè)點A到平面ACD1的距離為d，則uuivAA| n。所以，點A到平面ACD1的距離為3。3說明：利用引理1求點到平面的距離比用傳統(tǒng)的幾何方法求距離簡單得多, 證明等推理論證，直接通過向量運算得到正確的結(jié)果。引理2設(shè)AB是平面 的斜線，BO是平面 的垂線，它省去了作圖、uuv向量AB與n的夾角 ABO（見圖2），則sin例3在例1中，求直線 AAi與平面ACD1所成的角。解析:由例1知,lulvn (1,1,1)，AA(0,0,1)，sin

5、uuuzAA1n|UuuzAAn弓即逅arcsin 一。3引理如圖3,設(shè)向量n1與n2分別是二面角中的兩個半平面的法向量,AB與平面所成的角 BAOuuv 1AB n|uuvABcos。（證略）則向量n1與n2的夾角 n1,n2的大小就是所求二面角或其補角的大小。(證略)例4在例1中，求二面角 Di AC D的大小。解：由例1知，平面ACDi的法向量是ni (1,1,1),平面DAC的法向量是門2 (0,0,1),設(shè)二面角D1 ACD的大小為，則cosn1 n2 I |n2(1,1,1)(0,0,1) 逅 得3"'寸73arccos。3說明:由于法向量的多樣性，二面角的兩個半

6、平面的法向量n1與n2的夾角可能等于所求面角的平面角，如本例；也可能等于二面角的平面角的補角，如若n2 (0,0, 1),貝y cos ni, n2cosn2于是mearccos晅)arccos晅。33如何來確定兩法向量的夾角是二面角的平面角還是其補角呢？ 一靠經(jīng)驗：通過題目估計它是鈍角還是銳角，同類相等，異類互補；二用半平面旋轉(zhuǎn)法：把二面角的一個半平面繞棱I按照同一個方向旋轉(zhuǎn)到與另一個半平面重合時， 若兩個半平面的法向量的方向相同， 則相等, 若方向相反，則互補。三、利用法向量解 2005年高考立體幾何試題例5(05江西理)如圖4，在長方體 ABCDAB,C1D1 中，AD= AA1 =1,

7、 AB=2，點 E 在棱 AB 上移動。(n)當E為AB的中點時，求點 E到面(I)證明：D1E AD ;ACD1的距離;(川)AE等于何值時，二面角 D1 EC D的大小為一。4分析 本題是立體幾何試題的常見題型，考查的是傳統(tǒng)內(nèi)容。證線線垂直，求點到平面的 距離，求二面角的大小， 可用傳統(tǒng)的幾何方法求解，也可利用向量法求解。下面給出向量法求解。解：建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè) AE a ,則 Ai(1,0,1), Di(0,0,1) , E(1,a,0),A(1,0,0) , C(020)。JJLM(I)證明：由DA1ujuv(1,0,1) , D1E(1,a 1, 1),JUJ JJJ

8、VDA D1E(1,0,1) (1a1,1) 1 1JJJM JJJM0，有DA D1E，于是D1EAD 。(n) E是AB的中點,E(1,1,0)。ujuvJJJVD1E(1,1, 1), ACUJUM1,2,0) , AD1( 1,0,1) o設(shè)平面ACD1的法向量為n(x, y,1)，單位法向量為no，JJM,n AC 0由 JJJMn AD10(x,y,1)(x,y,1)(1,2,0)1,0,1)：12y00，解得于是n (1,3,1),有no1(1,1)24(i'1,|)o設(shè)點E到平面ACD1的距離為d，則ujuvD1E n。2 1 22, 1匹,3,2)所以點E到平面ACD

9、1的距離為-o3(川)平面DEC的法向量n1(0,0,1)，設(shè)平面 D1EC 的法向量 n2(x,y,1)。juv又EC(1,2JLUJfa,0) , DC(0,2,1)。由n2n2jjiv EC JJJVD1C2yy(21 0a)(x,y,1) ( 1,2(x,y,1) (0,2,a,0)01) 00，解得a2，于是 n2 (1 ,1,1) o2 2x設(shè)所求的二面角為，則設(shè)平面AEF的法向量為n(x, y,i)，有 cos cosuuuvDDi, n2(0,0,1) (1 |,1,1)2 24|)2(1 I)2 1 1解得a 2,所以，當AE= 2J3時，二面角D1ECD的大小為一o4PD1

10、 1F(a'?2).ABCD 中,例6(05全國卷n)如圖 5,四棱錐底面ABCD為矩形，PD 底面ABCD , AD=PD , E, F分別CD、PB的中點。(I)求證：EF 平面PAB;(n)設(shè)AB= BC，求AC與平面AEF所成角的大小。分析：本題考查的是立體幾何的重點內(nèi)容：直線與平面 垂直和直線與平面所成的角，考查空間想像能力和推理 論證能力，本題也是一題兩法。(I)證明：建立空間直角坐標系(如圖5),設(shè)AD=PD=1 , AB= 2a ( a 0 )，則 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),UUV11 LUMUUV得

11、EF (0,1,-) , PB (2a,1, 1), AB2 21 1LLUV(0, ,) (2a,0,0)0，得 EF2 2又 ABI PB B ,PAB o(2a,0,0) ouuv由EFuuvABuuvAB，即 EF AB ,同理EF所以，EFPB ,平面(n)解：由ABJ2bC，得 2a ，即得 E(d0,0),2F,)，皿。,0)42uuuv(-hO)，EFUUV LUUV有 AC (甩 1,0) , AELUIV EF LUIV AE1 1(x,y,1) (0,2,-)0¥，1,0)(x,y,1)(12y2于是1,1）。設(shè)AC與面AEF所成的角為uuuv,AC與n的夾角為

12、則sin所以,cosuuvAC, nULUV IAC n uuv AC n(72, 1,0)arcs in 。6AC與平面AEF所成角的大小為0，解得uuvAC, n 。血，1,1）J2 1 0j2 1 1巧arcsin。61。7273。6AC與平面AEF說明：用傳統(tǒng)的幾何方法，在限定的時間內(nèi)，很難找到利用平面的法向量解題，可順利地避開這一切麻煩， 只要找到平面的法向量 n，利用向量間的代數(shù)運算，可方便簡捷地解決此題。利用法向量也可順利求解如圖6已知四棱錐所成的角。而形，AB/DC , DAB2005全國卷I第18題:P ABCD的底面為直角梯90° , PA 底面 ABCD ,1 且 PA=AD=DC=丄 AB2（I）證明：面 PAD1 , M是PB的中點。面 PCD;（n）求AC與PB所成的角；（川）求面 AMC與面BMC所成二面角的大小。解：（略）說明：本題求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，圖6無論是用傳統(tǒng)的幾何方法還如果用一般的向量方法， 都很不易解決，這也是造成立體幾何解