空間向量及幾何公式

1、空間向量及幾何公式118.共面向量定理向量p與兩個(gè)不共線的向量 a、b共面的 存在實(shí)數(shù)對(duì)x, y ,使 推論 空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的或?qū)臻g任一定點(diǎn) O有序?qū)崝?shù)對(duì)x, y，使119.對(duì)空間任一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)A、B、 z k),則當(dāng)k 1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn) 0, 平面ABC貝U P、A、B、C四點(diǎn)共面；若 0乂對(duì) x,xMAax(X y 時(shí)，若O 面.C,滿足總有P、A、B C四點(diǎn)共面；當(dāng)k 1平面ABC貝U P、A B、C四點(diǎn)不共AD xABB、C、D四點(diǎn)共面x y)0A xOB yOC (0 平面 ABC .120. 空間向量基本定理如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量

2、p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y, z，使 p= xa + yb+ zc .推論設(shè)O數(shù)x, y,乙使C121. 射影公式oD A1共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)峛i,a2 b2,a3 d)； bi,a2 b2,a3 b?); a2, a3)(入 R)； a2b2 a3b3 ；AB Oi24t空間的線線平行或垂直設(shè) a (Xi,%,乙)，b (X2, y2,Z2)，則JI a -J7a卷y2Xy12zzNKTX2X1已知向量AB =a和軸I , e是I上與I同方向的單位向量作A點(diǎn)在I上的射影 A,作B 點(diǎn)在I上的射匕B,則A B | aB | cos a, e =a e1

3、22. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)“忌住),bugdd)則(1) a+ b = (a1 a-b = (a1(3)入 a= ( c, a b = a1b1 123設(shè) A(xi 當(dāng)zi) , B(X2,y2,Z2)，則0A=(X2 人”2%,Z2 zj.125. 夾角公式設(shè) a= (ai, a2, a3),、aibja2b2 a3b3cos a,b =宀223 3222/,2,2,2_ aa?av b(b?b3推論(aibia?b2asbs)2(a；a；af)(bi2bfb|)，此即三維柯西不等式126. 四面體的對(duì)棱所成的角cos|(AB2 CD2) (BC2 DA2)|2AC BD四面體ABCD中，

4、AC與BD所成的角為 ，則127 異面直線E角cos|cos，：a,b：|IX1X2 y2 Z!Z2 |22y2Z21 a| |b|xj yj n2 x22（其中（90.）為異面直線a,b所成角,128.直線AB與平面所成角,b分別表示異面直線 a,b的方向向量）arc sin（m為平面 的法向量）.A129.若 ABC所在平面若與過(guò)若AB的平面 成的角 ,另兩邊AC , BC與平面成的角分別是1、 2, A、B為 ABC的兩個(gè)內(nèi)角，貝U2 2 2 2 2sin 1 sin 2 （sin A sin B）sin .特別地，當(dāng) ACB 90時(shí)，有.2 . 2 . 2 sin 1 sin 2 si

5、n130.若 ABC所在平面若與過(guò)若AB的平面 成的角，另兩邊AC , BC與平面成的角分別是 1、2, A、B為 ABO的兩個(gè)內(nèi)角，貝Vtan2 1 tan2 2 （sin2 A sin2 B ）tan2特別地，當(dāng) AOB 90時(shí)，有.2 . 2 . 2sin 1 sin 2 sin .131. 二面角arc cos為平面的法向量）1 , AB 與AC所成的角為2 , AO與 AC所成的角為則cos133.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是角的棱所成的角是B,則有 sin2 sin2cos 1 cos 2.2,與二面2 2sin 1 sin 2 2si n

6、 1 sin2 cos| 12|180（ 12）（當(dāng)且僅當(dāng)134.空間兩點(diǎn)間的距離公式若 A（X1,90時(shí)等號(hào)成立）.），dA,B =|135.點(diǎn)Q到直線l距離,Z2)，則 (X2 X1)2 (y2 yj2 (Z2 Z1)2 .h 丄 J（| a |b（a（點(diǎn)P在直線l上，直線l的方向向量|a|b= PQ）.a= PA，向量132.三余弦定理設(shè)AC是 a內(nèi)的任一條直線，且 BC丄AC,垂足為C,又設(shè)AO與AB所成的角為136.異面直線間的距離d和|n|Il,l2間的距離）.137.點(diǎn)B到平面的距離（l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n ,C、D分別是- J上任一點(diǎn)，d為（n為平面 的法向量，

7、AB是經(jīng)過(guò)面 |n|138.異面直線上兩點(diǎn)距離公式的一條斜線，A ）.Jh2 m2 n22mncos .h2 m2 n2 2mn cosd（兩條異面直線點(diǎn) E、F, AE139.三個(gè)向量和的平方公式2 2 m n 2mn cos （ E AA Fa、b所成的角為B,其公垂線段 AA的長(zhǎng)度為h.在直線a、b上分別取兩m, AF n , EF d ）.b + 4 b c(a2a b , 2b2c a2|b| |c|cosb,C 2|c|140.c 2 | a | | b |cos. a,長(zhǎng)度為I的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為| a | cos. c, a11、12、I3，夾角分別為

8、122、 3,則有.2 .2 2 2 2 2 2l l1 l2 l3cos 1 cos 2 cos（立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）141. 面積射影定理ISS.cos（平面多邊形及其射影的面積分別是142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是I ,側(cè)面積和體積分別是S斜棱柱側(cè)和V斜棱柱,它的直截面的周長(zhǎng)和31si n2 1 si n2.2sin 3S，它們所在平面所成銳二面角的為).面積分別是&和S|,則 6斗棱柱側(cè)c1l . V斜棱柱S1l .143. 作截面的依據(jù)三個(gè)平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行144. 棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所

9、截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.145. 歐拉定理（歐拉公式）V F E 2（簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V、棱數(shù)E和面數(shù)F）.（1）E =各面多邊形邊數(shù)和的一半 .特別地，若每個(gè)面的邊數(shù)為 n的多邊形，則面數(shù) F1與棱數(shù)E的關(guān)系：E nF ；21(2) 若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為 m，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：E丄mV.2146. 球的半徑是R,則其體積V 4 R3,3其表面積S 4 R2 .147. 球的組合體(1) 球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2) 球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體