2013年遼寧卷數(shù)學(xué)試題及答案(文)

1、2013遼寧卷(文科數(shù)學(xué))1 .已知集合 A=0, 1, 2, 3, 4, B = x|x|<2,則 AAB=()A. 0 B. 0 , 1C. 0 , 2 D. 0, 1, 21. B 解析由題意可知，|x|<2,得2<x<2,從而 B=x2<x<2 , AAB=0, 1, 故選B.1 2 .復(fù)數(shù)z= 口的模為()1 .2A.2 BqC.V2 D. 2. .111 + i1 i _2- B 解析 z=二7=一二7一(1 i) (1 + i)= 22，故選 B.3.已知點(diǎn)A(13),B(4, 1),則與向量AB同方向的單位向量為(A35C.D.45'

2、3. A 解析由A, B坐標(biāo)可知，AB = (3, 4),對(duì)應(yīng)的單位向量為=(3, 4)432+ ( 4) 2345, 一4，故選 A.4.下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題: an IP1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；P2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；P3：數(shù)列1是遞增數(shù)列；P4： 數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列.)P4P4其中的真命題為(A . P1 , P2B . P3C. P2, P3D . P14 . D 解析因?yàn)閿?shù)列an為d>0的數(shù)列，所以an是遞增數(shù)列，則 p1為真命題.而 數(shù)列an+3nd也是遞增數(shù)列，所以 p4為真命題，故選 D.1-1,數(shù)據(jù)的分組依5 .某班的全體學(xué)生參

3、加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖 次為：20, 40), 40, 60), 60, 80), 80, 100.若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是()圖1 1A. 45 B. 50C. 55 D. 605. B解析由成績(jī)的頻率分布直方圖可以得到低于60分的頻率為0.3,而低于60分的人數(shù)為15人，所以該班的總?cè)藬?shù)為慢=50人.0.3 _16. 在 4ABC 中，內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c.若 asin Bcos C+ csin Bcos A= b,且 a>b,則/ B=()兀兀A二 B二63C今D.年 36 _,1 ，一，6 . A 解析由正弦te理可

4、以得到sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,所以可以得到 sin Acos C+sin Ccos A = ",即 sin(A+C) = sin B=-,則/ B = °,故選 A. 2267 .已知函數(shù) f(x)=ln(W + 9x2 3x)+1,則 f(lg 2) + flg ；=()A. - 1 B. 0C. 1 D. 27. D 解析由已知條件可知，f(x)+f(-x)=ln(31 + 9x2-3x) + 1 + ln(1+ 9 (-x) 2 +11 一3x) + 1= 2,而 lg 2 + lg2=lg 2-lg 2 = 0,故

5、而 f(lg 2) +f lg- =2.8.執(zhí)行如圖1 2所示的程序框圖，若輸入 n=8,則輸出S=()4A.9c.98. A10D 11解析由程序框圖可以得到S= 22 1 + 42 1 + 62_ 1 + 82_ 11X3 3X5 5X7 7X99.A.B.11_1+1_1 + 1_1 + 1_1 = 4 故選 a.21 3355779 9已知點(diǎn)0(0, 0), A(0, b), B(a, a3).若 OAB為直角三角形，則必有 (),b= a33 , 1b= a 十 一 aC.。1-(b a3)b a3 £= 0D.9.|b- a3|+ b- a3 ；= 0C 解析由題意知當(dāng)三

6、角形 ABC為直角三角形時(shí),分為兩類(lèi)，/ OAB, /OBA分別為直角，當(dāng)/ OAB為直角時(shí)b=a3,當(dāng)/ OBA為直角時(shí),b) = 0,所以 b-a3-1=0,所以(ba3)ba31=0,故選 aaOB AB=0,則(a, a3) (a, a3 C.10.已知直三棱柱 ABC A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若 AB=3, AC = 4,ABXAC, AA1=12,則球。的半徑為（）A.3217 B. 2航13c.2D. 3回10. C 解析由題意可將直三棱柱 ABC AiBiCi還原為長(zhǎng)方體 ABDC AiBiDiCi,則 球的直徑即為長(zhǎng)方體 ABDC AiBiDiCi的體對(duì)角線A

7、Di ,所以球的直徑 ADi =i3、AB2+AC2+AA2 =M32 + 42+i22 =i3,則球的半徑為-23,故選 C.ii.已知橢圓C: W+y2i=i(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F, C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于Aa b點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AF, BF.若 |AB|= i0, |BF|=8, cos/ ABF = 7,則 C 的離心率為()53A.5C4C.5D。ii. B 解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Q,由已知|BF|=8,利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性可以得到|AQ|., ，一 5=8, FAQ為直角三角形，然后利用橢圓的定義可以得到2a=i4, 2c=i0,所以e= 5.i2. 已知函數(shù) f(x) = x

8、22(a+2)x+a2, g(x) = x2 + 2(a 2)xa2 + 8.設(shè) Hi(x) = maxf(x), g(x) , H2(x)= minf(x), g(x)(max p, q表示 p, q 中的較大值,min p, q表示 p, q中的較小值)，記Hi(x)的最小值為A, H2(x)的最大值為B,則A- B=()A. a22a i6 B. a2+2a i6C. i6 D. i6i2. C 解析由題意知當(dāng)f(x)=g(x)時(shí)，即x2-2(a+2)x+a2= x2+2(a2)xa2+8,整理得 x2-2ax+ a2-4= 0,所以 x=a+2 或 x = a-2,x2-2 (a+2)

9、 x+a2 (x< a2),Hi(x)= max f(x), g(x) = -x2+2 (a2) x a2 + 8, (a 2<x<a+2), x22 (a+2) x+a2 (x>a+2),-x2+ 2 (a2) x- a2+ 8 (x< a-2)H2(x)= min f(x), g(x) = x2 2 (a + 2) x+ a2, (a2<x<a+ 2)-x2+ 2 (a-2) x- a2+ 8 (x>a + 2).由圖形可知(圖略)，A= Hi(x)min = 4a 4, B = H2(x)max= i2 4a,則 A B=i6,故 選C.i

10、3.某幾何體的三視圖如圖 i 3所示，則該幾何體的體積是 .圖1 313. 16l 16 解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱里面挖去了一個(gè)長(zhǎng)方體，所以 該幾何體白體積為 V=4ttX 4 16=16兀- 16.14.已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和.若a1, a3是方程x2-5x+ 4 =0的兩個(gè)根，則 S6=.14. 63 解析由題意可知 a+a3=5, a1 a3= 4.又因?yàn)閍n為遞增的等比數(shù)列，所以11-26a1=1, a3=4,則公比 q=2,所以 Ss=63.x2 y215. 已知F為雙曲線C: jf6=1的左焦點(diǎn)，P，Q為C上的點(diǎn)，若PQ的長(zhǎng)等于虛 軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)

11、A(5, 0)在線段PQ上，則 PQF的周長(zhǎng)為 .16. 44 解析由題意可知，a= 3, b = 4, |PQ|=4b=16,三角形 PQF的周長(zhǎng)為|PQ| 十 |PF|+ |QF|= |PF| |FA|+ |QF| |QA|+2|PQ|= 4a+8b= 44.16.為了考察某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 .17. 10 解析由已知可設(shè)5個(gè)班級(jí)參加的人數(shù)分別為X1, X2, X3, X4, X5,又S2 = 4,x= 7,(X1-7) 2+(X27)

12、2+(X3-7) 2+(X47) 2+(X57) 2所以=4,5所以(X17)2 +(X27)2+(X37)2+(X47)2+(X5 7)2=20,即五個(gè)完全平方數(shù)之和為20,要使其中一個(gè)達(dá)到最大，之五個(gè)數(shù)必須是關(guān)于0對(duì)稱(chēng)分布的，而 9+1 + 0+1 + 9=20,也就是(3)2+( 1)2+ 02+ 12+ 32= 20,所以五個(gè)班級(jí)參加 的人數(shù)分別為4, 6, 7, 8, 10,最大數(shù)字為10.18. 設(shè)向量=(73sin x, sin x) , = (cos x, sin x), xC0,(1)若=,求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)=,求f(x)的最大值.19. 解：(1)由|2 = (

13、sin x)2+ (sin x)2=4sin2x,|2= (cos x)2+ (sin x)2= 1.及|= |,得 4sin2x= 1.又 xC0,從而 sin x=1,所以 x=J.226當(dāng) x=3te o,c、匚.2 小.c 11, 16 1(2)f(x)= 43sin x cos x+ sin2x= 亍sin 2x cos 2x+ = sin2x 6十萬(wàn), sin2x 也最大值1.6所以f(x)的最大值為2.圖1 41 8.,如圖14, AB是圓。的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn).(1)求證：BCL平面PAC;(2)設(shè)Q為PA的中點(diǎn)，G為AAOC的重心，求證： QG/平面

14、PBC.18 .證明：(1)由AB是圓。的直徑，得 ACXBC.由 PAL平面 ABC, BC?平面 ABC,得 PAXBC.又 PAAAC = A, PA?平面 PAC, AC?平面 PAC,所以BCL平面PAC.(2)聯(lián)結(jié)OG并延長(zhǎng)交AC于M ,聯(lián)結(jié)QM , QO ,由G為 AOC的重心，得 M為AC中點(diǎn)，由Q為PA中點(diǎn)，得QM / PC.又。為AB中點(diǎn)，得OM / BC.因?yàn)?QM n MO=M, QM?平面 QMO.MO?平面 QMO,BCnPC=C, BC?平面 PBC, PC?平面 PBC, 所以平面 QMO/平面PBC.因?yàn)镼G?平面QMO,所以QG /平面PBC.19 .現(xiàn)有6

15、道題，其中4道甲類(lèi)題，2道乙類(lèi)題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：(1)所取的2道題都是甲類(lèi)題的概率；(2)所取的2道題不是同一類(lèi)題的概率.20 .解：(1)將4道甲類(lèi)題依次編號(hào)為 1, 2, 3, 4; 2道乙類(lèi)題依次編號(hào)為 5, 6,任取 2 道題，基本事件為：1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4, 1 , 5 , 1 , 6, 2 , 3 , 2 , 4, 2 , 5, 2, 6, 3,4, 3, 5, 3, 6 , 4 , 5, 4, 6, 5, 6,共 15 個(gè)，而且這些基 本事件的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“都是甲類(lèi)題”這一事件，則A包含的基本事件有1 , 2 , 1 , 3

16、, 1 , 4,2, 3, 2, 4, 3 , 4,共 6 個(gè)，所以6 2P卡5.(2)基本事件同(1),用B表示“不是同一類(lèi)題”這一事件，則 B包含的基本事件有1 , 、85, 1, 6, 2, 5, 2, 6, 3, 5, 3, 6 , 4 , 5, 4, 6,共 8 個(gè).所以 P(B) = 15.圖1 521 .如圖 1 5,拋物線 Ci: x2=4y, C2： x2=2py(p>0).點(diǎn) M(x°, y°)在拋物線 C2 上，過(guò)M作Ci的切線，切點(diǎn)為 A, B(M為原點(diǎn)。時(shí)，A, B重合于O).當(dāng)xo= 1 42時(shí)， 切線MA的斜率為一12(1)求p的值；(2

17、)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段 AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A, B重合于。時(shí)，中點(diǎn)為O).20.解：(1)因?yàn)閽佄锞€C1: x2= 4y上任意一點(diǎn)(x, y)的切線斜率為y'= 2,且切線MA一.1 1的斜率為一2,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為一1,：故切線MA的方程為y =112(x+ 1) + 4.因?yàn)辄c(diǎn)M(1-V2, yo)在切線 MA與拋物線C2上，于是(1) 2V。一由得p=2.3-2 22Px2x2x1 + x2 -(2)設(shè) N(x,y),Ax1，了 Bx2,；4,x1 wx2,由 N 為線段 AB 中點(diǎn)知 x = 1,區(qū)x2 + x2片丁切線MA, MB的方程為y= (x-x1) + ,x2

18、x2y=2(xx2)+4.由得 MA, MB的交點(diǎn)M(x。，y。)的坐標(biāo)為x1 + x2x1x2 一xo= -2 ，yo= 4 .因?yàn)辄c(diǎn) M(xo, y。)在 C2 上，即 x0=-4y。，所以 x1x2 =22x2+x26由得x2 = 3y, xW 0.當(dāng)X1=X2時(shí)，A, B重合于原點(diǎn) O, AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=4y.因此AB中點(diǎn)N 的軌跡方程為X2= 4y.21. (1)證明：當(dāng) xC 0, 1時(shí),2 x< sin x< x;c x21.解:(2)若不等式ax+ x2+ -+2(x+2)cos x<4對(duì)xC0, 1恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.(1)記 F(x

19、)= sin x- -2-x,則 F'(x)=cos x 當(dāng)xC0, 4日甘，F(xiàn)'(x)>0, F(x)在0, 4上是增函數(shù)；當(dāng)xCj 1時(shí)，F(xiàn)'(x)<0, F(x)在1上是減函數(shù).2又 F(0)=0, F(1)>0,所以當(dāng) xC0, 1時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即 sin x>手x.記 H(x) = sin x x,則當(dāng) x (0, 1)時(shí),H'(x)=cos x 1<0,所以，H(x)在0 , 1上是減函 數(shù)，則 H(x)WH(0)=0,即 sin xwx.綜上，22x<sin x< x, xC0, 1.(2)方法一

20、：因?yàn)楫?dāng)xC 0, 1時(shí),c x3ax+x2 + +2(x+ 2)cos x-4=(a + 2)x+ x2+ 4(x+ 2)sin2x<(a+ 2)x+ x2+4(x+ 2)#x2=(a+ 2)x.x3所以，當(dāng) aw 2 時(shí)，不等式 ax+x2+ 2(x + 2)cos x< 4對(duì) xC 0, 1恒成立.x3下面證明，當(dāng) a> 2時(shí)，不等式 ax+ x2+2(x+2)cos x< 4對(duì)xC 0, 1不恒成立.因?yàn)楫?dāng)xC 0, 1時(shí).x3ax+x2 + +2(x+ 2)cos x-4一 x3_x=(a + 2)x+ x2+ - 4(x+ 2)sin22> (a+ 2

21、)x+ x2 +4(x+ 2)x22 x3= (a+2)x- x2-3 9>(a+2)x-2x2=2xx- 3(a+ 2).a _|_ 2 1x3所以存在xoC (0,1)例如x0取一寫(xiě)一和2中的較小值滿足 ax0+x2 +，+2(x0+2)cos x0- 4>0.x3即當(dāng) a> 2 時(shí)，不等式 ax+ x2+ + 2(x+ 2)cos x 4< 0 對(duì) xC 0 , 1不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 8, 2.方法二：x3記 f(x) = ax+x2+2+2(x+2)cos x 4,則“3x2 ,f (x)= a+ 2x+ + 2cos x- 2(x+ 2)si

22、n x.記 G(x) = f'(x),則G (x)= 2 + 3x 4sin x 2(x+ 2)cos x.當(dāng) xC(0, 1)時(shí)，cos x>2,因此 G'(x)<2 + 3x4 乎x(x+ 2) = (2 2 V2)x<0.于是f'(x)在0, 1上是減函數(shù),因此，當(dāng) xC (0, 1)時(shí)f'(x)<f'(0) = a+ 2.故當(dāng)a< 2時(shí)， f'(x)<0,從而f(x)在0, 1上是減函數(shù)，所以 f(x)wf(0)=0,即當(dāng)aw 2時(shí)，不等式ax+x2 x3+ -2+2(x+ 2)cos x< 4

23、對(duì) xC 0, 1恒成立.x3卜面證明，當(dāng) a> 2時(shí)，不等式 ax+ x2+2+2(x+2)cos x< 4對(duì)xC0, 1不恒成立.由于f'(x)在0, 1上是減函數(shù)，且f<0)= a+2>0, f(1)=a + 7 + 2cos 1-6sin 1.當(dāng) a>6sin 1 -2cos 1 ；時(shí)，f'(1)>0,所以當(dāng) xC (0, 1)時(shí)，f'(x)>0 ,因此 f(x)在0, 1 上是增函數(shù)，故 f(1)>f(0) = 0;當(dāng)一2<a<6sin 1 2cos 1 夕寸，f (1)<0.又 f'(

24、0)>0,故存在 x°e (0, 1)使 f(x0)=0,則當(dāng) 0<x<x0 時(shí),f'(x)>f'(x0)=0,所以 f(x)在0, x。上是增函數(shù),所以當(dāng) xC(0, x0)時(shí),f(x)>f(0)= 0.x3一 _所以，當(dāng)a> 2時(shí)，不等式 ax+x2+ + 2(x+ 2)cos x<4對(duì)xC0, 1不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 8, 2.22 .選彳41:幾何證明選講如圖1 6, AB為。O直徑，直線 CD與。相切于E, AD垂直CD于D, BC垂直CD 于C, EF垂直AB于F,聯(lián)結(jié)AE, BE,證明：(1)Z

25、FEB = / CEB;(2)EF2=AD BC.圖1 623 .解：證明：(1)由直線 CD與。相切，得/ CEB=/ EAB.由AB為。的直徑，得 .兀AEXEB,從而/ EAB+/EBF = .一,TT又 EF± AB,得/ FEB + Z EBF = q,從而 / FEB = / EAB .故/ FEB = / CEB.(2)由 BCXCE, EFXAB, Z FEB = Z CEB, BE 是公共邊，得 RtA BCERtABFE,所 以 BC= BF.類(lèi)似可證：RtAADERtAAFE,得 AD=AF.又在 RtAAEB 中，EFXAB,故 FE2=AF BF.所以 EF2=AD BC.24 .選彳4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓Ci,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為p= 4