直角三角形的邊角關(guān)系講義

1、 1 直角三角形的邊角關(guān)系講義 第1節(jié) 從梯子的傾斜程度談起 本節(jié)內(nèi)容： 正切的定義 坡度的定義及表示（難點） 正弦、余弦的定義 三角函數(shù)的定義（重點） 1、正切的定義 在確定，那么A的對邊與鄰邊的比便隨之確定，這個比叫做A的正切，記作tanA。 即tanA=baA?的鄰邊的對邊A 例1 如圖，ABC是等腰直角三角形，求tanC. 例2 如圖， 已知在Rt ABC中，C=90，CDAB，AD=8，BD=4，求tanA的值。 DCBA2 2、坡度的定義及表示（難點 我們通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。 斜坡的坡度和坡角的正切值關(guān)系是：lha?tan

2、注意： （1）坡度一般寫成1：m的形式（比例的前項為1，后項可以是小數(shù)）； （2）若坡角為a，坡度為alhitan?，坡度越大，則a角越大，坡面越陡。 例3 如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了提高水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并且保持壩頂寬度不變，迎水坡CD?的坡度不變，但是背水坡的坡度由原來的i1：2變成i1：2.5，（有關(guān)數(shù)據(jù)在圖上已注明）?求加高后的壩底HD的長為多少？ 在Rt中，銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作sinA。 即sinA=ca?斜邊的對邊A 3、正弦、余弦的定義 A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA。 即cosA

3、=cb?斜邊的鄰邊A 例4 在ABC中，C=90，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通過計算你有什么發(fā)現(xiàn)？請加以證明。 3 4、三角函數(shù)的定義（重點） 銳角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函數(shù)。 直角三角形中，除直角外，共5個元素，3條邊和2個角，它們之間存在如下關(guān)系： （1）三邊之間關(guān)系：222cba?； （3）邊角之間關(guān)系：sinA=ca，cosA=cb，tanA=ba。（其中A的對邊為a，B的對邊為b，C的對邊為c） 除指教外只要知道其中2個元素（至少有1個是邊），就可以利用以上關(guān)系求另外3個元素。 （2）銳角之間關(guān)系：A+B=90； 例5 方方和圓圓分別

4、將兩根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墻上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判斷誰的木棒更陡嗎？說明理由。 本節(jié)作業(yè)： 1、C=90，點D在BC上，BD=6，AD=BC，cosADC=53，求CD的長。 2、P是a的邊OA上一點，且P點的坐標(biāo)為（3，4），求sina、tana的值。 4 3、在ABC中，D是AB的中點，DCAC，且tanBCD=31，求tanA的值。 4、在RtABC中，C=90， tanA=125，周長為30，求ABC的面積。 5、在RtABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知CD=2，AC=3，則sinB的值是多少？ 5 第2節(jié) 30，45，60角的三角函數(shù)值 本節(jié)

5、內(nèi)容： 30，45，60角的三角函數(shù)值（重點） 1、30，45，60角的三角函數(shù)值（重點） 根據(jù)正弦、余弦和正切的定義，可以得到如下幾個常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。 例1 求下列各式的值。 （1 ）? ?60tan30sin60sin； （2）?45sin22460tan460tan2。 6 本節(jié)作業(yè)： 1、 求下列各式的值。 （1）?45tan30tan330sin2； （2）?30cos60tan45cos2。 (3) 6tan2 30 3sin 602tan45 (4)022)30tan45(sin)60cos(160sin260sin60tan245tanooooooo? 2、

6、已知a為銳角，且tana=5 ，求aaaasincos2cos3sin?的值。 3、 ABC表示光華中學(xué)的一塊三角形空地，為美化校園環(huán)境，準(zhǔn)備在空地內(nèi)種植草皮，已知某種草皮每平方米售價為a元，則購買這種草皮至少花費多少元？ 7 4、2?45cos的值等于_。 5、計算3845cos260sin3?。 6、計算：2202(3)(3.14)8sin45? 7、( 13 )22sin45o ( 3.14)0 1 2 8(1)3 第3節(jié) 三角函數(shù)的有關(guān)計算 本節(jié)內(nèi)容： 利用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值（重點） 銳角三角函數(shù)計算的實際應(yīng)用（難點）計算三角函數(shù)的具體步驟大體分兩種情形： （1）先按三角函數(shù)

7、鍵，再按數(shù)字鍵； （2）或先按數(shù)字鍵，再按三角函數(shù)鍵。 利用計算器還可以求角度的大小。 1、利用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值（重點） 例1 利用計算器求下列銳角的三角函數(shù)值。 （1）?35sin； （2）?85tan； （3）253872sin?； （4）1547cos?。 8 2、銳角三角函數(shù)計算的實際應(yīng)用（難點） 仰角：當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。 俯角：當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角成為俯角。 例2 小剛面對黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一個字看作點E，過點E的該矩形的高為BC，把小剛眼睛看做點A?，F(xiàn)測得BC=1.41米，視線AC

8、恰與水平線平行,視線AB與 AC的夾角為25,視線AE與AC的夾角為20，求AC與AE的長（精確到0.1米）。 典型例題： 例1用計算器求下列三角函數(shù)值。（精確到0.001） （1）?35sin （2）?42cos （3）?75tan 例2已知下列銳角的三角函數(shù)值，利用計算器求銳角。（精確到1） （1）5276.0sin? （2）5276.0cos? （3）5276.0tan? 9 例3某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，如圖。BC/AD，斜坡AB長22m，坡角BAD=68，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對土坡進行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50時，可確保山體不滑坡。

9、（1） 求改造前坡頂與地面的距離BE的長；（精確到0.1m） （2） 為確保安全，學(xué)校計劃改造時，保持坡腳A不動，坡頂B沿BC前進到F點處，問BF至少是多少？（精確到0.1m）（,4751.268tan,3746.068cos,9272.068sin?,7660.050sin?,6428.050cos?1918.150tan?） 例4如圖，矩形ABCD是供一輛機動車停放的車位示意圖，請你參考圖中數(shù)據(jù)，計算車位所占街道的寬度EF。（參考數(shù)據(jù)：,84.040tan,77.0cos,64.040sin?結(jié)果精確到0.1m） 10 例5要求?45tan的值，可構(gòu)造如圖所示直角三角形,作RtABC,使C

10、=90,兩直角邊AC=BC=a，則ABC=45, 所以145tan?aaBCAC。你能否在此基礎(chǔ)上，求出?3022tan的值？ 例6在學(xué)習(xí)實踐科學(xué)發(fā)展觀的活動中，某單位在如圖所示的辦公樓迎街的墻面上垂直掛了一長為30米的宣傳條幅AE，張明同學(xué)站在離辦公樓的地面C處測得條幅頂端A的仰角為50，測得條幅底端E的仰角為30。問張明同學(xué)是在離該單位辦公樓水平距離多遠(yuǎn)的地方進行測量？（精確到整數(shù)米） 11 例7某輪船自西向東航行，在A處測得某島C在其北偏東60方向上，前進8千米到達B，測得該島在輪船的北偏東30方向上，問輪船繼續(xù)前進多少千米與小島的距離最近？ 第4節(jié) 船有觸礁的危險嗎 本節(jié)內(nèi)容： 方向角

11、的定義 解直角三角形（重點） 解直角三角形的實際應(yīng)用（難點） 方向角：方向角是以觀察點為中心（方向角的頂點），以正北或正南為始邊，旋轉(zhuǎn)到觀察目標(biāo)所形成的銳角，方向角也稱象限角。如圖，目標(biāo)方向線0A、0B、0C的方向角分別為北偏東15、南偏東20、北偏西60。 其中南偏東45習(xí)慣上又叫東南方向，同樣北偏西45又叫西北方向。如OE的方向角為南偏東45，OG的方向角為南偏西45，那么，G、E可以說在O的哪個方向呢？由方向角的定義可知，G在O的西南方向，E在O的東南方向。 1、方向角的定義 12 例1 某次臺風(fēng)襲擊了我國南部海域。如圖，臺風(fēng)來臨前，我們海上搜救中心A接到一越南籍漁船遇險的報警，于是指令

12、位于A的正南方向180海里的救援隊B立即前往施救。已知漁船所處位置C在A的南偏東34方向，在B的南偏東63方向，此時離臺風(fēng)來到C處還有12小時，如果救援船每小時行駛20海里，試問能否在臺風(fēng)來到之前趕到C處對其施救？（參考數(shù)據(jù) ：3234tan,5334sin,263tan,10963sin?） 在直角三角形中，由已知一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫做解直角三角形。 在RtABC中，C=90，A、B、C所對的邊分別為cba、。 （1） 三邊之間關(guān)系：222cba? （2） 銳角之間關(guān)系：A+B=90 （3） 邊角之間關(guān)系：BbaABcbABcaAtan1tan,sincos,cossin?

13、 （4） 面積公式：)(2121為斜邊上的高h(yuǎn)chabSABC? 在直角三角形中，除直角的五個量中，若已知其中的兩個量（其中至少有一條邊），就可以求出另外三個未知量，有如下四種類型： RtABC中，C=90 已知 選擇的邊角關(guān)系 a 2、解直角三角形（重點） 斜邊和一直角邊 ac, 由cA?sin，求A；B=90-A，22acb? 兩直角邊 ba, 由baA?tan，求A；B=90-A，22bac? 斜邊和一銳角 Ac?, B=90-A；Acasin?；Acbcos? 13 一直角邊和一銳角 Aa?, B=90-A；Aabtan?，Aacsin? 注意： （1） 在解直角三角形中，正確選擇關(guān)系

14、式是關(guān)鍵： 若求邊：一般用未知邊比已知邊，求尋找已知角的某一個三角函數(shù)； 若求角：一般用已知邊比已知邊，去尋找未知角的某一個三角函數(shù)； 求某些未知量的途徑往往不唯一。選擇關(guān)系式常遵循以下原則： 一是盡量選可以直接應(yīng)用原始數(shù)據(jù)的關(guān)系式； 二是設(shè)法選擇便于計算的關(guān)系式，若能用乘法計算就避免用除法計算。 （在解決實際問題時，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，我們要學(xué)會將千變?nèi)f化的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，具體地說，要求我們善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中的元素（邊、角）之間的關(guān)系，這樣就可運用解直角三角形的方法了。 一般有以下幾個步驟： 1.審題：認(rèn)真分析題意，根據(jù)題目中的已知條件，畫

15、出它的平面圖，弄清已知和未知； 2.明確題目中的一些名詞、術(shù)語的漢語，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角； 3.是直角三角形的，根據(jù)邊角關(guān)系進行計算；若不是直角三角形，應(yīng)大膽嘗試添加輔助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形進行解決； 4.確定合適的邊角關(guān)系，細(xì)心推理計算。 2） 對于含有非基本量的直角三角形，比如有些條件中已知兩邊之和，中線、高線、角平分線長，角之間的關(guān)系，銳角三角函數(shù)值，周長、面積等等。對于這類問題，我們常用的解題方法是：將非基本量轉(zhuǎn)化為基本量，或由基本量間關(guān)系通過列方程（組），然后解方程（組），求出一個或兩個基本量，最終達到解直角三角形的目的

16、。 （3） 在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構(gòu)成直角三角形來解決，而作高時，常從非特殊角的頂點作高；對于較復(fù)雜的圖形，往往通過“補形”或“分割”的方法，構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，實現(xiàn)問題的有機轉(zhuǎn)化。 例2某公園“六一”親新增設(shè)一臺滑梯，如圖。滑梯高度AC=2m，滑梯著地點B與梯架之間的距離BC=4m。 （1）求滑梯AB的長；（結(jié)果精確到0.1m） （2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（ABC）不超過45屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符合要求？ 3、解直角三角形的實際應(yīng)用（難點） 14 例3 臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)千米范圍內(nèi)形成旋風(fēng)暴

17、，有極強的破壞力。根據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米的B處有一臺風(fēng)中心，其中心的最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米，臺風(fēng)就會弱一級。臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市風(fēng)力達到或超過4級，則稱為受臺風(fēng)影響。 （1） 該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？請說明理由。 （2） 若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該市的持續(xù)時間有多長？ 典型例題： 例1在ABC中，已知AB=1， AC=2，ABC=45，求BC的長。 例2如圖，甲、乙兩只捕撈船同時從A港出海捕魚。甲船以每小時 152千米的速度沿北偏西60方向前進，乙船以每小時15千米的速度沿

18、東北方向前進。甲船航行2小時到達C處，此時甲船發(fā)現(xiàn)魚具丟在了乙船上，于是甲船快速（勻速）沿北偏東75的方向追趕，結(jié)果兩船在B處相遇。 （1） 甲船從C處追趕乙船用了多長時間？ （2） 甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米？ 15 例3某年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，一條船在松花江某段自西向東沿直線航行，在A處測得航標(biāo)C在北偏東60防西哪個上。前進100m到達B處，又測得航標(biāo)C在北偏東45方向上（如圖），在以航標(biāo)C為圓心，120m為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進，是否有被淺灘阻礙的危險？（73.13?） 第5節(jié) 測量物體的高度 本節(jié)內(nèi)容： 測量底部可以到達的物體的高度（重點）

19、 測量底部不可以到達的物體的高度（難點） 簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成。如圖。 使用測傾器測量傾斜角的步驟如下： （1） 把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0刻度線重合,這時 度盤的頂線PQ在水平位置。 （2） 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤,使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時鉛垂線所指的度數(shù)。此度數(shù)就是 測點相對于被測點的仰角或俯角。 1、測量底部可以到達的物體的高度（重點） 說明： （1）所謂“底部可以到達“，就是在地面上可以無真納干礙地直接測得測點與被測物體的底部 之間的距離。 （2）測量步驟如圖（測量物體MN的高度）： 在測點A處安置測傾器，測得M的仰角MCE=； 量出測點A到物體底部N

20、的水平距離AN=l； 量出測傾器的高度AC=a（即頂線PQ成水平位置時，它與地面的距離）。 （3）物體MN的高度 = al?tan 。 16 例1 升國旗時，沈杰同學(xué)站在離旗桿底部24m處行注目禮，當(dāng)國旗升到旗桿頂部時，測得該同學(xué)視線的仰角為30，若雙眼離地面1.5m，則旗桿有多高？（結(jié)果精確到0.1m） （1）所謂“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體底部之間的距離。 （2）測量步驟（如圖。測量物體MN的高度）： 在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角MCE=； 在測點A與物體之間的B處擬制測傾器（A、B與N在一條直線上，且A、B之間的距離可以直接測得），測得此時M的仰角

21、MDE=； 量出測傾器的高度AC=BD=a，以及測點A、B之間的距離AB=b 。 （3）物體高度MN=ME+EN=)tantantantan(ab?米。 提示：測量底部不可以到達的物體的高度，求解時常要解兩個直角三角形。 2、測量底部不可以到達的物體的高度（難點） 17 例2：如圖，從山頂A處看到地面C點的俯角為60，看到地面D點的俯角為45，測得 CD=3150米，求山高AB。（精確到0.1 米，31.732） 典型例題： 例1如圖，兩建筑物的水平距離為36m，從A點測得D點的俯角?為36，測得C點的俯角?為45，求這兩座建筑物的高度。（sin360.588,cos360.412,tan36

22、0.723,結(jié)果保留2位小數(shù)） 例2如圖，河邊有一條筆直的公路l，公路兩側(cè)是平坦的草地，在數(shù)學(xué)活動課上，老師要求測量河對岸一點B到公路的距離，請你設(shè)計一個測量方案。 18 例3如圖,某一時刻太陽光從教室窗戶射入室內(nèi)，與地面的夾角BPC的度數(shù)為30，窗戶的一部分在教室地面所形成的影長PE為3.5m，窗戶的高度AF為2.5m，求窗外遮陽篷外端一點D到窗戶上緣的距離AD。（結(jié)果精確到0.1m） 測試題 一、選擇題 1等腰三角形的底角為30 ，底邊長為23，則腰長為（ ） A4 B 23 C2 D 22 2如圖1，在菱形ABCD中，ABC=60，AC=4，則BD長為（ ） A 83 B 43 C 23

23、 D 8 (1) (2) (3) 3在ABC中，C90，下列式子一定能成立的是（ ） AsinacB? BcosabB? CtancaB? DtanabA? 4ABC中，A，B均為銳角， 且有2|tan3|2sin30BA?（），則ABC是（ ） A直角（不等腰）三角形 B等腰直角三角形 C等腰（不等邊）三角形 D等邊三角形 19 5已知tan1? ，那么2sincos2sincos?的值等于（ ） A13 B12 C1 D16 6如圖2，沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工從AC上的一點B，取ABD=145，BD=500米，D=55，要使A，C，E成一直線，那么開挖

24、點E離點D的距離是（ ） A500sin55米 B500cos55米 C500tan55米 D500tan35米 7如圖3，在矩形ABCD中，DEAC，垂足為E，設(shè)ADE=?，且cos?=35，AB=4， 則AD的長為（ ） A3 B 163 C 203 D 165 8如圖4，已知正方形ABCD的邊長為2，如果將線段BD繞著點B旋轉(zhuǎn)后，點D落在CB的延長線上的D處，那么tanBAD等于（ ） A1 B 2 C 22 D 3 (4) (5) (6) 二、填空題（每小題3分，共24分） 9在ABC中，C=90 ，3sin2A?，則cosB的值為 10 化簡2cos2cos1? 11如圖5，DBC=

25、30，AB=DB，利用此圖求tan75= 12如圖6，P是?的邊OA上一點，且P點的坐標(biāo)為（3，4），則cos?= 13若某人沿坡度i=34的斜坡前進10m，則他比原來的位置升高了 m 14如圖7，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了 步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草 (7) (8) (9) 20 15如圖8所示，是某超市自動扶梯的示意圖，大廳兩層之間的距離h=6.5米，自動扶梯的傾角為30，若自動扶梯運行速度為v=0.5米/秒，則顧客乘自動扶梯上一層樓的時間為 _秒 16如圖9，一人乘雪撬沿坡比1 3的斜坡筆直滑下，滑下的距離s（

26、米）與時間t（秒）間的關(guān)系為2102stt?若滑到坡底的時間為4秒，則此人下降的高度為 17、如圖，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，過直角頂點C作CA1AB，垂足為A1，再過A1作A1C1BC，垂足為C1，過C1作C1A2AB，垂足為A2，再過A2作A2C2BC，垂足為C2，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，12CA，則CA1= ，?5554CAAC 三、解答題（本大題共52分） 18. (1)?sin60cos60tan45tan 30； (2)(23tan30)2007 (22sin45)2006 19（本題10分）如圖,為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB=CD=30m，兩樓間的距離AC=24m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓采光的影響情況當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30時，求甲樓的影子在乙樓上有多高？（精確到0.1m ，21.41 ，31.73） 20（本題12分）為了測量一棵大樹的高度AB，在離樹25米的C處，用高1.4米的測角儀CD測得樹的頂端B的仰角?21，求樹AB的高(用21角的三角函數(shù)