人教新版九年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期第28章銳角三角函數(shù)單元訓(xùn)練卷含解析

1、第28章銳角三角函數(shù)選擇題（共7小題）1.如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90 ，如果/ A=a, AB= 5,那么 AC等于（A. 5ta n aB. 5C0S aC. 5sin aD.cosa2.當(dāng)銳角A的cosA 時(shí)，/ A的值為（2A.小于45B.小于30C.大于45D.大于30A.V3B.3C4.在Rt ABC中, z1 C= 90 , cos A=一，貝U tan B 等于2A.VsB匚c匚)5 . cos30 的值是(3.在厶ABC中，/ C= 90，若cosA=，則sin A的值是（2B.A.6.點(diǎn)A （t , 2）在第二象限,OA與 x軸所夾的銳角為 a, tan，則t的

2、值為（A.B.C. 2D. 37.在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1, ABC的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，貝U sin / BAC的值為（）i7一T1A；c33izl.Ji7jL Ei11:E:tA -一B. - 一C. 2D. 一1055二.填空題（共6小題）&如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，/AOB/ COD （填“，“=”或“）r*ii1l!tI1iiF li.in A= 2cosAsin A根據(jù)以上閱讀，請(qǐng)解決下列問(wèn)題:(1)如圖 3，在 ABC中，/ C- 90, BC= 1, AB= 3，求 sin A, sin2 A的值;(2 )上面閱讀材料中，題目條件不變，請(qǐng)用si nA或cosA表示c

3、os2A.16每逢雨季，天降大雨，山體滑坡災(zāi)害時(shí)有發(fā)生，北峰小學(xué)教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡,坡上面是一塊平地，如圖所示： AF/ BC斜坡AB長(zhǎng)30米，坡角/ ABO 60 .為了防止 滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)45 時(shí)，可以確保山體不滑坡.(1) 求坡頂與地面的距離 AD等于多少米？(精確到 0.1米)(2) 為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳B不動(dòng)，坡頂A沿AF削進(jìn)到E點(diǎn)處，求AE 至少是多少米？(精確到 0.1米)RDC17. 重慶是一座美麗的山坡，某中學(xué)依山而建，校門(mén)A處，有一斜坡 AB長(zhǎng)度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角/ C

4、BF= 53，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一花臺(tái)，在 E處仰望C的仰角/ CEF= 63.4 , CF的延長(zhǎng)線交校門(mén)處的水平面于D點(diǎn)，F(xiàn)D= 5米.(1)求斜坡AB的坡度i .(2 )求DC的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù)：tan53 八，tan63.4 2)3C18. 由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艦國(guó)產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測(cè)得小島C位于它的北偏東 70方向, 航母再航行8海里到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小島 C位于它的北偏東 37方向.如果航母繼續(xù) 航行至小島C的正南方向的 D處，求還需航行的距離BD的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù)：sin70 0.94 , cos70 0

5、.34 , tan70 2.75 , sin37 0.6 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )原地下車(chē)庫(kù)的入口處有斜坡AC長(zhǎng)為13米，它的坡度為i = 1: 2.4 , AB丄BC為了居民行車(chē)安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為 13,即/ ADC= 13 （此時(shí)點(diǎn)B C D在同一直線上）（2）求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn) D與原起點(diǎn)C的距離（結(jié)果精確到 0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin 13 0.225 , cos13 0.974 , tan 13 0.231 , cot13 4.331 )20.如圖，MN是一條東西走向的海岸線，上午9: 00點(diǎn)一艘船從海岸線上港口A處沿北偏東30方向航行，上午1

6、1: 00點(diǎn)抵達(dá)B點(diǎn)，然后向南偏東 75方向航行，一段時(shí)間后，抵達(dá)位于港口 A的北偏東60方向上的C處，船在航行中的速度均為 30海里/時(shí)，求此時(shí)船距海岸線的距離.參考答案與試題解析1.2.選擇題（共7小題）如圖，在 Rt ABC中,/ C= 90，如果/ A=a, AB= 5,那么A. 5tanB. 5C0S aC. 5sin a【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.【解答】解：在Rt ABC中,cos a= ,ABACAB?C0S a = 5cos a,故選：B.當(dāng)銳角A的CosA時(shí)，/A的值為（A.小于45AC等于（D.!，COS 口B.小于30【分析】明確cos45 =丄丄，余弦

7、函數(shù)隨角增大而減小進(jìn)行分析.2【解答】解：根據(jù) cos45 =丄丄，余弦函數(shù)隨角增大而減小，則/2C.大于45D.大于30A 一定小于45 .故選：A.3.在厶ABC中,/ C= 90，若cosA=丄上，貝U sin A的值是（2【分析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1，即可求解.【解答】解：EA+c% 1, 即 sin 2A+ （）2 = 1，/ sin 2A=一4解得sin A=_或-十（舍去），2 - sin A=亠2故選：D.4.在 Rt ABC中, Z C= 90, cosA=,貝U tanB等于(2D.B.二2【分析】由cosA=,知道Z A= 60，得到Z B的度數(shù)即可求得答

8、案.2【解答】解：，/C= 90, cosA=_ = : 32A= 60，得/ B= 30，所以 tan B= tan30故選：C.5. cos30 的值是(C.D.【分析】【解答】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.解：cos30 =丄丄,2故選：D.6.點(diǎn)A (t , 2)在第二象限，OA與 x軸所夾的銳角為 a, tan a=，則t的值為(24A.B.- 2C. 2D. 33【分析】如圖，作 AELx軸于E.根據(jù)tan Z AOE=，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題. E0 2 AE= 2, OE=- t , = :兀2故選：A7在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1, ABC勺頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，貝U s

9、in / BAC的值為（)L -1 A Cz111z1zi R!.! r : A.B.C. 2D.1055【分析】作 CDL AB于D,根據(jù)勾股定理分別求出AC AB,根據(jù)三角形的面積公式求出CD根據(jù)正弦的定義計(jì)算即可.【解答】解：作 CDLAB于D,由圖形可知BC= 2,由勾股定理得，AC= ：；：_；_= i, AB=二十.：二=3 ,由三角形的面積公式可得，丄x 2X 3=丄乂 3X DE2 2解得，DE=二 sin / BAC=亠_= J,AC V1O 5故選：D.a ih A B BZg/0D! *! !二.填空題（共6小題）&如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，/AOB / COD （填“

10、，“=”或“Z COD故答案為：.np亠Bl111c.:5：84:SV.*勒AEaiifl9. 2sin 45 +2cos60 -:ta n60 =_ ；- 2 .【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入求出答案.【解答】解：原式=2 X - +2X-_X -2 2=匚+1 - 3=：-2.故答案為：- 2 .10. 銳角a和銳角3互余，記f = sin a +sin B,貝U f的取值范圍為1 v f w :【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.【解答】解：Ta +3 = 90, sin 3 = sin (90-a)= cos a,- f = sin a +cos a= J =si

11、n (a +45 )a是銳角,故答案為：1v f w11.如圖，在 Rt ABC中, / ACB= 90 , CDL AB 垂足為 D. AF平分/ CAB 交 CB于點(diǎn) F.交CD于點(diǎn) E.若 AC= 6, sin B=，貝U DE的長(zhǎng)為.5_5 ：= 1，【分析】先由 AF平分/ CAB CDL AB過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于AC利用角平分線的性質(zhì)定 理得EG等于DE易得Rt AED全等于Rt AEG以及/ DCA等于/ B,從而求得 AD AG CG然后在Rt CEG ,由勾股定理求出 EG即為DE的長(zhǎng)度.【解答】解：過(guò)點(diǎn) E作EGL AC于點(diǎn)G又 AF平分/ CAB CDLAB EG= ED在

12、 Rt AED和 Rt AEG ,/AE=AEeg=ed Rt AED Rt AEG( HL),AG= AD/ ACB= 90 , CDL AB / B+Z BAC=Z DCA/BAC= 90 ,/ DCA=Z B, AC= 6,sin B=,52 sin / DCA= sin B=,5.扯抗I_3 AD=_,5DC=，g， AG= A丄，CG= AC- AG=_1,55在 Rt CEG中 CE= EG+CG, ( DC- ED 2=( DC- EG 2= EG+CGbd EG= =5DE=_5故答案為：.512. 2022年在北京將舉辦第 24屆冬季奧運(yùn)會(huì)，很多學(xué)校都開(kāi)展了冰雪項(xiàng)目學(xué)習(xí)如圖，

13、滑 雪軌道由AB BC兩部分組成，AB BC的長(zhǎng)度都為200米，一位同學(xué)乘滑雪板沿此軌道 由A點(diǎn)滑到了 C點(diǎn)，若AB與水平面的夾角 a為20, BC與水平面的夾角 3為45 則他下降的高度為210米.【分析】過(guò)點(diǎn)A作AEL BD于點(diǎn)E過(guò)點(diǎn)B作BGL CF于點(diǎn)G,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定 義即可求出答案.【解答】解：過(guò)點(diǎn) A作AE! BD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BGL CF于點(diǎn)G在 Rt ABE中 , sin a= ,AB AE= AB sin20 68,在 Rt BCGK sin B =，BC BG= BO sin45 142,他下降的高度為：AEhBG= 210,故答案為：21013如圖是將一正方體

14、貨物沿坡面AB裝進(jìn)汽車(chē)貨廂的平面示意圖，已知長(zhǎng)方體貨廂的高度BC為2米，斜坡AB的坡度一-=，現(xiàn)把圖中的貨物沿斜坡繼續(xù)往前平移，當(dāng)貨物頂點(diǎn)D21與C重合時(shí)，恰好可把貨物放平裝進(jìn)貨廂，則BD= -米 【分析】利用斜坡 AB的坡度i三得到琴=，進(jìn)而證得 CBDo BAE得到黑=琴3 AE 3BD AE=丄，然后設(shè)CD= x米，貝U BD= 3x米，在Rt CBD中，禾U用勾股定理求得答案即可.3【解答】解：如圖，斜坡AB的坡度-一1 3.BE_ 1_ = ：；，/ CBI+Z ABE= 90。，/ ABE/ A= 90,:丄 CB=/ A,/ CDB=/ AEB= 90, CBZ BAE 一 _

15、廠 _ IBD AE 3.設(shè) CD= x 米，貝V BD= 3x 米,貨物頂點(diǎn)D與C重合，/ CDB= 90,在 Rt CBD中, bD+cD= bC,2 2 2 即：x+ (3x)= 2 ,x=-(負(fù)值舍去)，5 BD=1 米.5故答案為：米.5三解答題(共7小題)14“ C919 ”大型客機(jī)首飛成功，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)航空科技的興趣，如圖是某校航模興趣小組獲得的一數(shù)據(jù)不完整的航模飛機(jī)機(jī)翼圖紙，AB/ CD AM/ BN/ ED AE DE請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出線段 BE和CD的.(結(jié)果精確到 0.1cm, sin37 0.60 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )E 25cm

16、【分析】在Rt BED中可先求得BE的長(zhǎng)，過(guò)C作CF丄AE于點(diǎn)F,則可求得AF的長(zhǎng)，從 而可求得EF的長(zhǎng)，即可求得 CD的長(zhǎng).【解答】解： BN/ ED/ NBD=/ BDE= 37, AE! DE/ E= 90, BE= DE?tan / BDE 18.8 (cnj),如圖，過(guò)C作AE的垂線，垂足為 F,/ FCA=Z CAM= 45, - AF= FC= 25cmCD/ AE四邊形CDEF為矩形,CD= EF,/ AE= ABEB= 35.75 (cm),CD= EF= AE- AF 10.8 (cm),答：線段BE的長(zhǎng)約等于18.8 cm,線段CD的長(zhǎng)約等于10.8 cm題目：如圖 1,

17、在厶 ABC中 ,已知/ A ( / Av 45) , / C= 90 , AB= 1，請(qǐng)用 sin表示sin2 A.cos A解：如圖2,作AB邊上的中線 CE CDLAB于D,CE= f , / CED= 2A CD= AinA 心 ABSA= cOSACD ACsinA在 Rt CED , si n2 A= sin / CED= .-.= 2ACsi n A= 2cosAsi nA7根據(jù)以上閱讀，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)如圖 3,在厶 ABO中 , / C= 90 , BC= 1, AB= 3,求 sin A, sin2 A的值;(2 )上面閱讀材料中，題目條件不變，請(qǐng)用si nA或cos

18、A表示cos2A.A Ki【分析】(1)解直角三角形求出 cosA,利用結(jié)論中的公式計(jì)算即可；(2)利用圖2,根據(jù)cos2A= cos / CED=，計(jì)算即可；EC【解答】解：(1)如圖 3 中，在 Rt ABC中， AB= 3, BO 1，/ C= 90, AC=二：2 ：,sV cosA, sin2 A= 2cosA?sin A=AC*cosA(2)如圖 2 中，cos2A= cos / CED= 2AC?cosA- 1 = 2 (cosA) 2 1.EC 216. 每逢雨季，天降大雨，山體滑坡災(zāi)害時(shí)有發(fā)生，北峰小學(xué)教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，如圖所示：AF/ BC斜坡AB

19、長(zhǎng)30米，坡角/ ABC= 60.為了防止滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造, 時(shí)，可以確保山體不滑坡.(1) 求坡頂與地面的距離 AD等于多少米？(2) 為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳至少是多少米？(精確到0.1米)經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)45 (精確到 0.1米)B不動(dòng)，坡頂A沿AF削進(jìn)到E點(diǎn)處，求AE【分析】(1 )由AB= 30及/ B的度數(shù)可確定 AD的長(zhǎng)度.(2 )由(1)可求出BD的長(zhǎng)度，連接 BE過(guò)E作ENL BC于N,則可求出BE的長(zhǎng)度，AE=BE- BD從而求出AE的長(zhǎng)度.【解答】解：(1 )在 Rt ADB中, AB= 30m / ABC= 60, sin

20、 / ABC=1, 批 AD= ABsin / ABC=30 x sin60 26.0 (m)答：AD等于26.0米；(2 )在 Rt ADB中,cos / ABD=,AB DB= AB?cos / ABD=30x cos60 =15(m,連結(jié)BE、過(guò)E作EN! BC于N,/ AE/ BC四邊形AEND矩形，NE= A* 26.0 ,在 Rt ENB，由已知/ EBN 45當(dāng) EBN= 45 時(shí)，BN= EN= 26.0 , AE= ND= BN- BD= 11.0 (,答：AE至少是11.0 mA E F/：/ :/ *A|JLAr, L17. 重慶是一座美麗的山坡，某中學(xué)依山而建，校門(mén)A處

21、，有一斜坡 AB長(zhǎng)度為13米，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角/ CBF= 53，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一花臺(tái)，在 E處仰望C的仰角/ CEF= 63.4 , CF的延長(zhǎng)線交校門(mén)處的水平面于D點(diǎn)，F(xiàn)D= 5米.(1)求斜坡AB的坡度i .(2 )求DC的長(zhǎng).i(參考數(shù)據(jù)：tan53 , tan63.4 2)3D【分析】（1 ）過(guò)B作BGL AD于G則四邊形 BGDF是矩形，求得 BG= DF= 5米，然后根據(jù)勾股定理求得AG即可求得斜坡AB的坡度i (2)在 Rt BCF中，BF=，在 Rt CEF中，EF= ，得tanZCBP 1tanZCEF 23到方程BF- EF=- = 4,解得CF

22、= 16,即可求得求 DC= 21 A 23【解答】解：（1 ）過(guò)B作BGL AD于G則四邊形BGDF1矩形, BG= DF= 5 米, AB= 13 米, AG= 12 米， AB的坡度 i = ：= 1： 2.4 ；(2)在 Rt BCF中,BF=疋=丄tanZCBF A3在 R CEF 中，EJ.、/ BE= 4 米, BF- A丄 4,3解得：CF= 16. DC= CF+DF= 16+5 = 21 米.18由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艦國(guó)產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測(cè)得小島C位于它的北偏東 70方向, 航母再航行8海里到達(dá)

23、B處，此時(shí)測(cè)得小島 C位于它的北偏東 37方向.如果航母繼續(xù) 航行至小島C的正南方向的 D處，求還需航行的距離 BD的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù)：sin70 0.94 , cos70 0.34 , tan70 2.75 , sin37 0.6 , cos37 0.80 , tan37 0.75 )【分析】設(shè)BD= x海里，利用正切的定義用 x表示出CD AD根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案.【解答】解：設(shè)BD= x海里，在 Rt BDC中, tan / BCD=,CDCD=一x,tanZBCD 0.753in 在 Rt ADC中 tan / ACD= ,CD AD= C6an / ACD 1 CD=x,

24、43由題意得，8+x =x,解得，x= 3,答：還需航行的距離 BD的長(zhǎng)約為3海里.19某小區(qū)開(kāi)展了“行車(chē)安全，方便居民”的活動(dòng)，對(duì)地下車(chē)庫(kù)作了改進(jìn)如圖，這小區(qū)原地下車(chē)庫(kù)的入口處有斜坡AC長(zhǎng)為13米，它的坡度為i = 1: 2.4 , AB丄BC為了居民行車(chē)安全，現(xiàn)將斜坡的坡角改為 13,即/ ADC= 13 (此時(shí)點(diǎn)B C D在同一直線上)(2)求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn) D與原起點(diǎn)C的距離(結(jié)果精確到 0.1米).(參考數(shù)據(jù)：sin 13 0.225 , cos13 0.974 , tan 13 0.231 , cot13 4.331 )【分析】(1 )根據(jù)坡度的概念，設(shè) AB= 5x，則BC= 12x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方 程即可；(2)根據(jù)余切的定義列出算式，求出DC【解答】解：(1)由題意，得：/ ABC= 90, i = 1: 2.4 ,在 Rt ABC中, i = 2 =,BC 12設(shè) AB= 5x，貝