8-8-1最短路線.題庫(kù)教師版

1、8-8最短路線日W蚱 教學(xué)目標(biāo)1 .準(zhǔn)確運(yùn)用“標(biāo)數(shù)法”解決題目2 .培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際操作能力.目t皿俱 知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)說明從一個(gè)地方到另外一個(gè)地方，兩地之間有許多條路，就有許多種走法，如果你能從中選擇一條最近的路走，也就是指要選擇一條最短的路線走，這樣你就可以節(jié)省許多時(shí)間了，那么如何能選上最短的路線呢?親愛的小朋友們，你要記住兩點(diǎn)：兩點(diǎn)之間線段最短.盡量不走回頭路和重復(fù)路，這樣的話，你就做 到了省時(shí)省力.用例題精講例1一只螞蟻在長(zhǎng)方形格紙上的 A點(diǎn)，它想去B點(diǎn)玩，但是不知走哪條路最近.小朋友們，你能給【解析】（方法一）從 A點(diǎn)走到B點(diǎn)，不論怎樣走，最短也要走長(zhǎng)方形AHBD的一個(gè)長(zhǎng)與一個(gè)寬，因此，

2、在水平方向上，所有線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于 AD ;在豎直方向上，所有線段的長(zhǎng)度和應(yīng)等于 DB .這樣我們走的這條路線才是最短路線.為了保證這一點(diǎn)，我們就不應(yīng)該走“回頭路”，只能向右和向下走.所有最短路線：ACDGB、ACFGB、AEFGBACFIB、AEFIB、AEHIB這種方法不能保證“不漏”.如果圖形再?gòu)?fù)雜些，做到“不重”也是很困難的.（方法二）遵循“最短路線只能向右和向下走”，觀察發(fā)現(xiàn)這種題有規(guī)律可循.看C點(diǎn)：只有從A到C的這一條路線.同樣道理：從 A到D、從A到E、從A到H也都只有一條路線.我 們把數(shù)字“1”分別標(biāo)在C、D、E、H這四個(gè)點(diǎn)上.看 F點(diǎn)：從A點(diǎn)出發(fā)到F ,可以是 AC F ,

3、也可以是A E F ,共有兩種走法.那么我們?cè)贔點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“ 2"（ 2=1 1） . 看G點(diǎn)：從A G有三種走法，即：AC D G、 A C F G、AE F G.在 G點(diǎn)標(biāo)上數(shù)字“3"（3=1 2） .看I點(diǎn)：共有三種走法，即：ACF I、AEFI、A E H I ,在I點(diǎn)標(biāo)上“ 3”（3=1 2）.看 B點(diǎn)：從上向下走是 G B,從左向右走是I B,那么從出發(fā)點(diǎn) A B有六種走法，即：A C DGB、ACFGB、AEFGB、ACF I B、AEF I B、AEH I B, 在B點(diǎn)標(biāo)上“6” （ 6 3 3）,觀察發(fā)現(xiàn)每一個(gè)小格右下角上標(biāo)的數(shù)正好是這個(gè)小格右上角與 左下

4、角的數(shù)的和，這個(gè)和就是從出發(fā)點(diǎn)A到這點(diǎn)的所有最短路線的條數(shù).此法能夠保證“不重”也“不漏”，這種方法叫“對(duì)角線法”或“標(biāo)號(hào)法”.【鞏固】【解析】如圖所示，從 A點(diǎn)沿線段走最短路線到 B點(diǎn)，每次走一步或兩步，共有多少種不同走法?這是一個(gè)較復(fù)雜的最短路線問題，我們退一步想想，先看看簡(jiǎn)單的情況. 從A到B的各種不同走法中先選擇一條路線來分析： 如果按路線 A 一 C 一 D - E 一 F 一 B來走，這條路線共有5條線段，每次走一步或兩步， 要求從A走到B,會(huì)有幾種走法？這不是“上樓梯”問題嗎.根據(jù)“上樓梯”問題的解法可得在A-C一 D-E-F-B這條路線中有 8種符合條件的走法.而對(duì)于從 A到B

5、的其他每條最短路線而言，每一條路線都有 5條線段，所以每條路線都有 8種走法.10進(jìn)一步：從A到B共有多少條最短路線？這正是“最短路線”問題！用“標(biāo)數(shù)法”來解決，有條.綜上所述，滿足條件的走法有8 10 80種.【鞏固】 從A到B的最短路線有幾條呢?圖中從A到B的最短路線都為6條.【解析】【鞏固】有一只蝸牛從 A點(diǎn)出發(fā)，要沿長(zhǎng)方形的邊或?qū)蔷€爬到C點(diǎn),中間不許爬回 A點(diǎn)，也不能走重復(fù)的路，那么，它有多少條不同的爬行路線？最短的是哪條呢？【解析】【例2】學(xué)校G11123J1361-4I10AECFD少年宮H共有 9 種，即：AOC、 AODC、 AOBC、ABCABOC、 ABODC、 ADC、

6、 A D O CA D O B C ,最短的路是：A O C .阿呆和阿瓜到少年宮參加 2008北京奧運(yùn)會(huì)志愿者培訓(xùn).如果他們從學(xué)校出發(fā)，共有多少種不 同的最短路線？【解析】【鞏固】【解析】【鞏固】I*BARH根據(jù)“標(biāo)號(hào)法”可知共有 10種，如圖.如圖，從F點(diǎn)出發(fā)到G點(diǎn)，走最短的路程，有多少種不同的走法?從學(xué)校到少年宮的最短路線，只能向右或向下走.我們可以先看A點(diǎn)：從學(xué)校到 A點(diǎn)最短路線只有1種走法，我們?cè)贏點(diǎn)標(biāo)上1. B、E、F、G點(diǎn)同理.再看J點(diǎn)：最短路線可以是 A J、E J 共2條，我們?cè)贘點(diǎn)標(biāo)上2.我們發(fā)現(xiàn)2 1 1正好是對(duì)角線 A點(diǎn)和E點(diǎn)上的數(shù)字和.所有的最短 路線都符合這個(gè)規(guī)律，

7、最終從學(xué)校到少年宮共有 10種走法.方格紙上取一點(diǎn) A作為起點(diǎn)，再在 A的右上方任取一點(diǎn) B作為終點(diǎn)，畫一條由 A到B的最短路 線，聰明的小朋友，你能畫出來嗎？總共能畫出幾條呢？【分析】共有115種.【鞏固】 小聰明想從北村到南村上學(xué)，可是他不知道最短路線的走法共有幾種？小朋友們，快幫幫忙呀!根據(jù)“對(duì)角線法”【例3】“五一”長(zhǎng)假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩.聰明的小朋友請(qǐng)你找找看從北京到黃山的最短路線共有幾條呢？北京黃山1121121234213107北京黃山【解析】 采用對(duì)角線法（如圖）這道題的圖形與前幾題的圖形又有所區(qū)別，因此，在解題時(shí)要格外注意是 由哪兩點(diǎn)的數(shù)之和來確定另一點(diǎn)的.從北

8、京到黃山最近的道路共有10條.【鞏固】從甲到乙的最短路線有幾條?【解析】有11條.【例4】 古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫.他精通數(shù)學(xué)、物理，聰慧過人.人一天一位將軍向他請(qǐng)教一個(gè)問題：如下圖，將軍從甲地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到乙地的馬棚, 為了使行走的路線最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？甲地O乙地河流【解析】本題主要體現(xiàn)最值思想和對(duì)稱的思想，教師應(yīng)充分引導(dǎo)孩子觀察行走路線的變化情況【例5】 學(xué)校組織三年級(jí)的小朋友去幫助農(nóng)民伯伯鋤草，大家從學(xué)校乘車出發(fā)，去往的李家村（如圖）.愛動(dòng)腦筋的嘟嘟就在想，從學(xué)校到李家村共有多少種不同的最短路線呢？【解析】我們采用對(duì)角線法（如圖），從學(xué)校

9、到李家村共有 81種不同的最短路線.拓展1親愛的小朋友們，你們覺得從 A到B共有幾條最短路線呢？【解析】此題與上題不同，但方法相同.我們采用對(duì)角線法（如圖）可知：可以選擇的最短路線共有 41條.【例6】阿花和阿紅到少年宮參加 2008北京奧運(yùn)會(huì)志愿者培訓(xùn).他們從學(xué)校出發(fā)到少年宮最多有多少種 不同的行走路線？少年宮少年宮【解析】采用對(duì)角線法（如圖）.可得從學(xué)校到少年宮共有 90種走法.鋪墊小海龜在小豬家玩，它們想去游樂場(chǎng)坐碰碰車，愛動(dòng)腦筋的小朋友，請(qǐng)你想一想，從小豬家到游 樂場(chǎng)共有幾條最短路線呢？【解析】“對(duì)角線”法（如圖），共14條.【例7】 阿強(qiáng)和牛牛結(jié)伴騎車去圖書館看書，第一天他們從學(xué)校直

10、接去圖書館；第二天他們先去公園看 大熊貓?jiān)偃D書館；第三天公園修路不能通行.咱們學(xué)而思的小朋友都很聰明，請(qǐng)你們幫阿強(qiáng) 和牛牛想想這三天從學(xué)校到圖書館的最短路線分別有多少種不同的走法？公園圖書館【解析】仍然用對(duì)角線法求解.第一天（無限制條件）共有 16條；第二天（必須經(jīng)過公園）共有 8條；第三天（必須不經(jīng)過公園）共有 8條.【鞏固】大熊和美子準(zhǔn)備去看望養(yǎng)老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如圖所示，他們從學(xué)校到養(yǎng)老院最短路線共有幾條呢？聰明的小朋友，請(qǐng)你們快想想吧！養(yǎng)老院市中心i學(xué)?！窘馕觥浚ǚ椒ㄒ唬┯谩皩?duì)角線法”求出：從學(xué)校到養(yǎng)老院共126條.必經(jīng)過市中心的60條，所以可行的路有：126

11、 60 66 （條）.例8 【分析】例910160301012030113110611324111111學(xué)校1養(yǎng)老院125406612651111456學(xué)校11716種如圖Y1111111（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去1015市中心10養(yǎng)老院養(yǎng)老院7701267K5二 567XW<157777學(xué)校 151541036231836 851703427167284985K 1723746212368720251515511154101536643610152128234567X X 111111如圖，從A到B沿網(wǎng)格線不經(jīng)過線段 CD和EF的最短路徑的條數(shù)是多少條?由于不能經(jīng)

12、過線段 CD和EF ,所以我們必須先在網(wǎng)絡(luò)圖中拆除CD和EF ,然后再在拆除了 CD和EF以后的網(wǎng)絡(luò)圖中進(jìn)行標(biāo)數(shù)（如下圖所示）.運(yùn)用標(biāo)數(shù)法可求出滿足條件的最短路徑有78條.A到B處的最短路線共有多少A【鞏固】 下圖為某城市的街道示意圖，C處正在挖下水道，不能通車，從條？【解析】從A到B的最短路線有431條.【例10】按圖中箭頭所指的方向行走，從 A到I共有多少條不同的路線?第2步再觀察點(diǎn)C要想第3步工再觀察點(diǎn)凡整也到達(dá)點(diǎn)C,它有兩個(gè)入ru和吊 到達(dá)點(diǎn)/它有個(gè)入口G 所以在點(diǎn)C處標(biāo)1 +1- 2.所以在點(diǎn)N處標(biāo)工【解析】本題中的運(yùn)動(dòng)方向已經(jīng)由箭頭標(biāo)示出來，所以關(guān)鍵要分析每一點(diǎn)的入口情況.第I步r

13、在起點(diǎn)A處標(biāo) 再觀察點(diǎn)明 要想到達(dá)點(diǎn)B, 只有一個(gè)入口即所以在B 點(diǎn)由標(biāo)L第4步，再觀察點(diǎn)。要想 到達(dá)點(diǎn)為它有三個(gè)入口B. C 和凡 所以在點(diǎn)。處標(biāo)M212=5.第5步t冉觀察點(diǎn)/要想 到達(dá)點(diǎn)心比有兩個(gè)入口月和。, 所以在戊也處標(biāo)115 6.第6步：再觀察點(diǎn)G.要想 到達(dá)點(diǎn)G,官有兩個(gè)入口口和職 所以在點(diǎn)6處標(biāo)6 *5=1L第7步；再觀察點(diǎn)斤，要想第阪我再觀察點(diǎn)人要想到達(dá)點(diǎn)“，它有三個(gè)人口心D到達(dá)點(diǎn)匕它有兩個(gè)入口（7和1.和G,所以在點(diǎn)打處標(biāo)215Tli= 所以在點(diǎn)處標(biāo)II 29通過標(biāo)數(shù)法我們可以得出從A到I共有29條不同的路徑.【例11按圖中箭頭方向所指行走，從A到G有多少種不同的路線?【解

14、析】 運(yùn)用標(biāo)數(shù)法原理進(jìn)行標(biāo)數(shù)，整個(gè)標(biāo)數(shù)流程如下圖從A到G共有21條不同的路線.【鞏固】 按下圖左箭頭方向所指，從 X到Y(jié)有多少種不同的路線？如下圖右所示，這個(gè)問題有一個(gè)規(guī)則：只能沿著箭頭指的方向走，你能否根據(jù)規(guī)則算出所有從 入口到出口的路徑共有多少條？入口出口10條.分析利用標(biāo)數(shù)法求得 X到Y(jié)有34種不同的路線，如下圖左所示.由題將路線圖轉(zhuǎn)化為下圖右所示，根據(jù)標(biāo)數(shù)法求得從入口到出口的路徑共有【例12如下圖左，如果只允許向下移動(dòng)，從 A點(diǎn)到B點(diǎn)共有多少種不同的路線？如下圖右，要從 A點(diǎn)到B點(diǎn)，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，問共有多少種不同的 走法？【解析】按題目要求，只能向下移動(dòng)，利用標(biāo)數(shù)

15、法求得A到B共有路線68種，如下圖左所示.按題目要求，只能走下圖右的3個(gè)方向，利用標(biāo)數(shù)法求得共有22種不同的走法，如下圖右.A16B 22【鞏固】 圖中有10個(gè)編好號(hào)碼的房間，你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大號(hào)碼房 間走到小號(hào)碼房間，從 1號(hào)房間走到10號(hào)房間共有多少種不同走法？1|【分析】圖中并沒有標(biāo)出行走的方向，但題中“你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大 號(hào)碼房間走到小號(hào)碼房間”這句話實(shí)際上就規(guī)定了行走的方向.如下圖所示，我們可以把原圖轉(zhuǎn) 化成常見的城市網(wǎng)絡(luò)圖，然后再根據(jù)標(biāo)數(shù)法的思想標(biāo)數(shù)：從圖中可以看出，從1號(hào)走到10號(hào)房間共有22種不同的走法.注意這張圖

16、中的三個(gè)陰影花 要想到達(dá)其中的每處，它們都 有“三個(gè)入口甘1【例13】一只密蜂從 A處出發(fā)，A回到家里B處，每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行, 共有多少種回家的方法？【解析】蜜蜂每次只能從一個(gè)蜂房爬向右側(cè)鄰近的蜂房而不準(zhǔn)逆行”這意味著它只能從小號(hào)碼的蜂房爬進(jìn)相鄰的大號(hào)碼的蜂房.明確了行走路徑的方向，就可運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)法進(jìn)行計(jì)算.如圖所示，小蜜蜂從 A出發(fā)到B處共有89種不同的回家方法【例14在圖中，用水平或垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走時(shí)，正好拼出“APPLE的路線共有多少條?A AID APp I-ApIAP.-LA P P L EL P PA31種不分析1要想拼出英語" APPLE”的單詞，必須按照“ A P P L E”的次序拼寫.在圖中的每一種拼寫方式都對(duì)應(yīng)著一條最短路徑.如下圖所示，運(yùn)用標(biāo)數(shù)法原理標(biāo)數(shù)不難得出共有同的路徑.A IA - 1iP 1一 A 11P-1 一 Pi-P-一 APL一P一 P AI I I I IL EL P P A11I3 1I I72 18318- 4 2 一 1鋪墊圖中的“我愛希望杯”有多少種不同的讀法.我1 一愛1一希d一望杯1111杯1分析1從我（1個(gè)）、愛（2個(gè)）、希（3個(gè)）、望（4個(gè)）、杯（5個(gè)）中組成“我愛希望杯”即相同的字只能選一個(gè)而且不能重復(fù)選，所以共有 1 4