COMSOLV43-求解器

1、仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovationCOMSOL Multiphysics求解器 中仿科技中仿科技 技術(shù)部技術(shù)部 2012 2012年年8 8月月仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation內(nèi)容安排 求解器基礎(chǔ)理論求解器基礎(chǔ)理論 直接求解器、迭代求解器直接求解器、迭代求解器 求解類型求解類型 穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)、特征值、頻率域、參數(shù)穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)、特征值、頻率域、參數(shù) 求解器配置求解器配置 操作特征、屬性特征、實(shí)用特征操作特征、屬性特征、實(shí)用

2、特征仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation有限元方法 定義 將連續(xù)的求解域離散成一組有限個，按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體 將PDE轉(zhuǎn)換成離散的線性代數(shù)方程系統(tǒng) 特點(diǎn) 各種復(fù)雜單元可以用來模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域 各節(jié)點(diǎn)上的解的近似函數(shù)可以用來求解整個求解域上任意點(diǎn)的結(jié)果fuc)(FKu K：剛度矩陣 u：解變量，或解向量F：載荷向量u的數(shù)量：自由度數(shù)目（DOF）仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng)

3、創(chuàng) 新Simulating inspires innovation有限元的求解流程有限元的求解流程仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation有限元方法的求解步驟仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation一.求解器理論有限元法處理偏微分方程（PDE），并把它轉(zhuǎn)換成離散的線性代數(shù)方程系統(tǒng)。fuc)(FKu 矩陣 K 稱為剛度矩陣 (stiffness mat

4、rix)u 是解變量，也稱為解向量 (solution vector)F是載荷向量 (load vector)u的長度稱為自由度數(shù)目（DOF）仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation線性 VS 非線性非線性問題：變量及其函數(shù)出現(xiàn)在： 材料參數(shù) 約束條件fuuc)(FuuK)(矩陣 K 稱為Jacobian矩陣（非線性剛度矩陣）fuc)(仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspir

5、es innovation線性 VS 非線性非線性問題：材料屬性是u的函數(shù)，k(u)載荷是u的函數(shù)，b(u)uk,b(u)線性uk,b(u)弱非線性uk,b(u)強(qiáng)非線性uk,b(u)高度非線性FuuK)(FKu 仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation直接求解器線性問題通過一步“求逆”得到結(jié)果u=K-1F： 把Ku=F分解成LUu=F，所以L和U是容易求逆并且具有魯棒性 u=U-1L-1F 等同于Gaussian消去法非線性問題先通過牛頓迭代法，轉(zhuǎn)化為線性問題，再求解

6、泰勒級數(shù)展開，取線性部分，計算得到un 滿足|un-un+1|25K)W/(m*K)k線性問題弱非線性問題強(qiáng)線性問題高度線性問題仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation要 求1.使用直接求解器2.分別使用定常（newton）和自動（newton）3.了解相對容差和迭代次數(shù)以及衰減因子的用法4.考慮不收斂問題的解決辦法仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovat

7、ion問題: 四種情形下分別迭代多少次？是否使用了衰減因子？ 最終的溫度分布場與熱傳導(dǎo)系數(shù)分布將會具有什么樣的形式？ 是不是所有的解都收斂？原因？仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation 直接求解器和迭代求解器 直接求解器 MUMPS, SPOOLES, PARDISO等 易于使用，魯棒性強(qiáng)，占用內(nèi)存大 適于處理小規(guī)模問題，高度非線性和多物理場問題 迭代求解器 GMRES, FGMRES, Conjugate Gradient, BiCGSTAB等 占用內(nèi)存少，更多的選擇

8、，調(diào)整比較困難 應(yīng)用于特定的物理場，如，EM，CFD等 需要預(yù)處理器，網(wǎng)格框架，平滑器等仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation迭代求解器 對于規(guī)模較大的問題（單元數(shù)多，自由度大），直接求解器計算會出現(xiàn)內(nèi)存不足 矩陣分解是很耗內(nèi)存的 L和U比K具有更多的非0元素 如何避免分解？ 迭代求解器： 不形成L和U 精細(xì)的迭代策略 對每一步測試是否r=Ku-F0（即是否左側(cè)等于右側(cè)）r 稱為殘差(residual)仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires inn

9、ovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation迭代求解器GMRES（廣義最小殘差法） 在前面所有搜索方向上最小化殘差，直到重新開始 如何調(diào)整重新求解前迭代步數(shù)（默認(rèn)為50） 更節(jié)省內(nèi)存 - 減小 得到較好的魯棒性 - 增加FGMRES GMRES的一個靈活的變種 能有效地處理更多類的預(yù)處理器 比GMRES開銷2倍多的內(nèi)存Conjugate Gradient（共軛梯度法） 對稱正定問題 在計算時比GMRES更快、內(nèi)存使用效率更高BiCGStab（雙共軛梯度法） 使用雙共軛梯度穩(wěn)定迭代算法 在計算時比GMRES更快、內(nèi)存使用效率更高仿 真 智 領(lǐng)

10、創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation迭代求解器和預(yù)處理器為了在合理的計算時間內(nèi)達(dá)到收斂，迭代求解器需要一個好的初始估算值 利用預(yù)處理器（提高求解問題的收斂性）預(yù)處理器M是K的近似值，預(yù)處理后的系統(tǒng)變?yōu)镸-1Ku=M-1F Au=B A=M-1K, B=M-1F預(yù)處理后的系統(tǒng)收斂較快，Au=B 比 Ku=F 更容易（快）求解通常，迭代方法根據(jù)前面的殘差（r=Ax-b）對u進(jìn)行較小的改變仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng)

11、新Simulating inspires innovation預(yù)處理器不完全 LU （Incomplete LU） 最具有魯棒性 內(nèi)存要求大代數(shù)多網(wǎng)格 （Algebraic Multigrid） 標(biāo)量和松散耦合的多物理場問題 對Poisson問題非常有效 幾何多網(wǎng)格 對于橢圓或拋物型體系適用 雅克比（Jacobi） 簡單，內(nèi)存使用非常少 適用于橢圓或?qū)钦純?yōu)問題SOR（超松弛） 有效使用內(nèi)存 對于大型電磁問題Vanka (前/后平滑器) 確定Vanka變量 對角線上為0的變量 對每個Vanka DOF求解連接自由度的低密度系統(tǒng)仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires inn

12、ovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation幾何多網(wǎng)格法對GMRES或CG的獨(dú)立求解器或預(yù)處理器至少需要兩級網(wǎng)格水平（fine和coarse） 通過改變單元階數(shù)或細(xì)化、粗化網(wǎng)格建立新網(wǎng)格水平 與當(dāng)前網(wǎng)格相比，少數(shù)幾次迭代（平滑器）濾出高頻誤差 低頻誤差映射到逐次的粗化網(wǎng)格 在最粗化網(wǎng)格水平，直接求解器消除剩余誤差參數(shù)多，調(diào)整困難，但在計算時優(yōu)于所有其他一般的求解器適合于非常大規(guī)模的問題 GMRES+幾何多重網(wǎng)格法仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating ins

13、pires innovation求解器使用規(guī)則 單場問題推薦使用缺省設(shè)置 檢查手冊中類似的案例模型和它們使用的求解器 對多物理場問題，以直接求解器開始： 嘗試PARDISO PARDISO計算失敗，且如果問題是病態(tài)的 嘗試MUMPS 最后嘗試SPOOLES仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation求解器使用規(guī)則(續(xù)) 如果直接求解器由于內(nèi)存問題計算失敗或者求解速度太慢，嘗試迭代求解器 嘗試使用GMRES, FGMRES或BiCGStab，并使用合適的預(yù)處理器 如果問題是正定

14、的以及對稱或共軛，嘗試使用CG迭代求解器 預(yù)處理器的使用規(guī)則 針對不同的問題，COMSOL通常會給出較為合適的預(yù)處理器，當(dāng)缺省的預(yù)處理器表現(xiàn)不好的時候，可以選取其他的預(yù)處理器仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation選擇線性求解器(續(xù))預(yù)處理器的使用規(guī)則- 如果問題是橢圓或者拋物型，嘗試使用幾何多網(wǎng)格預(yù)處理器- 如果問題是橢圓或者拋物型且是個標(biāo)量問題，可以使用代數(shù)多網(wǎng)格預(yù)處理器- 當(dāng)遇到如N-S方程這樣的正定問題（矩陣的對角為0），使用- Vanka或者幾何多網(wǎng)格預(yù)處理器-

15、 如果問題是正定的，但是規(guī)模太大，使用其他預(yù)處理器會造成內(nèi)存不足，嘗試SOR或Jacobi預(yù)處理器- 如果求解的是電磁場問題并且PDE中帶有旋度-旋度算子，嘗試幾多網(wǎng)格或SOR矢量預(yù)處理器- ILU預(yù)處理器可以用于所有線性問題仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation全耦合和分離求解器耦合求解器物理 1物理 2物理 3物理 1物理 2物理 3 分離式求解器仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulati

16、ng inspires innovation分離式求解器對高度非線性多物理場模型容易獲得好的初始估算值對不同的物理場使用不同的求解器設(shè)置對大規(guī)模、耦合問題的計算，內(nèi)存開銷急劇下降 流固耦合(FSI)、湍流、波傳播-結(jié)構(gòu)-熱問題 對于很復(fù)雜的多物理場問題，減少求解時間微波-熱-結(jié)構(gòu)多物理場耦合仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation練習(xí) 2在練習(xí)1的基礎(chǔ)上，增加結(jié)構(gòu)力學(xué)求解要求：對于溫度場使用直接求解 對于應(yīng)力場使用迭代求解 比較分離求解和全耦合求解 的結(jié)果和求解時間仿 真

17、 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation總結(jié)：得到收斂和一致的初始條件 的技巧 對瞬態(tài)問題，設(shè)置一個很短時間內(nèi)的緩沖 使用參數(shù)求解器來加強(qiáng)高度非線性問題的收斂性 使用瞬態(tài)求解器得到穩(wěn)態(tài)解 如果是多物理場問題可以使用分離式求解器 使用高度非線性選項(xiàng)仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation二.求解類型 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài) 瞬態(tài)瞬態(tài) 特征值特征值 頻域頻域 參數(shù)參數(shù)仿 真

18、 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation穩(wěn)態(tài)求解類型使用情形：求解問題與時間無關(guān) 參數(shù)化掃描 一邊計算，一邊觀察結(jié)果 選擇求解的物理場 使用其他step中計算的變量值 選擇不同的網(wǎng)格 參數(shù)化掃描、自適應(yīng)網(wǎng)格、 優(yōu)化計算仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation瞬態(tài)求解器類型使用情形：求解問題與時間有關(guān) 設(shè)定計算時間及時間步長 相對容差：控制時間步 一邊計算，一邊觀察結(jié)果 選擇求解的物理場 使用其他step中計算的變量值 選擇不同的網(wǎng)格 參數(shù)化掃描、自適應(yīng)、自動 重新剖分網(wǎng)格、優(yōu)化計算仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation仿 真 智 領(lǐng) 創(chuàng) 新Simulating inspires innovation頻域求解類型使用情形：本質(zhì)上也是穩(wěn)態(tài)求解，將時域的問題轉(zhuǎn)