劉俊峰2018線性代數(shù)考前沖刺(學(xué)生用)

1、頁眉內(nèi)容2018 線性代數(shù)考前沖刺復(fù)習(xí)要點：一、行列式的計算1、數(shù)字型行列式（根據(jù)性質(zhì)）2、抽象型行列式爪型行列式（例1、例 2）對于低階 (4 階 (含）以下）行列式，標(biāo)準(zhǔn)爪形利用對角線元素把第一行（列）化為只有一個非零元素，非標(biāo)準(zhǔn)的爪形按照非零行（列)展開 ; 高階的利用遞推法或數(shù)學(xué)歸納法。三條對角線型（例3）對于三對角線行列式，通過行列式性質(zhì)可以利用對角線元素把對角線下方的元素劃為0，把行列式化成上三角行列式；或者利用遞推和數(shù)學(xué)歸納法來證明。每行（列）元素和相等的行列式對于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第1 行（列），提取公因子，然后通過第 1 列（行）把行列式變成下（上）三

2、角行列式進行計算。范德蒙型行列式通過行列式性質(zhì)進行變形，把行列式變成范德蒙行列式進行計算。拉普拉斯型行列式（例4）此行列式適合比較多的類型，通過行列互換，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。3、矩陣行列式（例7）結(jié)合矩陣的運算，以及初等變換，來求行列式4、已知特征值的矩陣行列式（例6）nAi ，相似矩陣行列式相等i 1若 A 與 B 相似，則 A B ，故可將 A 的行列式的計算轉(zhuǎn)化為與其相似矩陣的行列式進行計算 .一般地，f ( A)f (B) ，其中 f ( A) 為矩陣 A 的多項式。5、拉普拉斯矩陣的行列式A0ACA00B0BCA B 其中 A, B 分別是兩個方陣B二、矩陣1、矩陣的加法

3、、數(shù)乘、乘法運算法則，方陣行列式的計算n注： 對于 n 階矩陣A ， kAkA頁眉內(nèi)容a1b12、特殊向量的乘法a2,b2，MManbn若T，T 的一個非零特征值為；（因 (T )( T)）特別的：TT，又因為TT的唯一一個非零特征值是對稱矩陣，因此相似對角矩陣，且 R(T )R( )1 ，故T 的特征值為T和 0( n1 重）；單位矩陣 E 的特征值為1（ n 重），因此若為單位向量， 則 ET0，1（ n 1的特征值為重）； ET 的特征值為 2，1（ n1重）， R( ET )n3、轉(zhuǎn)置、可逆、伴隨矩陣的性質(zhì)AA*A*A AE，(A*) 1(A 1)*1 A，(A*)T(AT )*，(

4、AB)*A*AB4、矩陣的初等變換經(jīng)過有限步初等變換得到的矩陣是等價的。R( A)R( B)A B熟悉行階梯形矩陣、行最簡形矩陣的特點，主要用于解方程組、求極大無關(guān)組、求秩5、矩陣的秩R( A)r存在 r 階子式不等于0，對于所有的（若存在）r 1 階子式等于0；R( A)r存在r 階子式不等于0；R( A)r對于所有的 r 階子式等于0；R( A)A 列秩A 的行秩6、矩陣秩的性質(zhì) 0 R( Am n ) min m, n(T )( )TR( A) （方程組同解）R AR A ，R(A A)為 n 維非零列向量，R( T)1若 AB，則 R(A)R(B)若 P,Q 為可逆矩陣，則R( PA)

5、R( PAQ) R( A) max R( A), R(B)R( A, B)R( A) R( B)R( AB) R( A)R( B)R(AB)min R( A), R( B)若 Am n Bn l O ，則 R( A) R( B) nnR( A)n A 為 n 階方陣， A* 為 A 的伴隨矩陣，則 R( A* )1R( A)n10R( A)n17、初等矩陣頁眉內(nèi)容初等矩陣是單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣；初等矩陣是可逆的，其逆矩陣仍然是初等矩陣；可逆矩陣可以表示成有限個初等矩陣的乘積；矩陣左乘初等矩陣， 相當(dāng)于對矩陣實施一次相應(yīng)的初等行變換， 右乘初等矩陣， 相當(dāng)于對矩陣實施一次相應(yīng)的列變

6、換；利用初等變換求逆矩陣；三、線性方程組1、齊次線性方程組 Am n x0 解的判定： R( A)rn只有零解rn有非零解r2、齊次線性方程組解的性質(zhì)：1 , 2 是 Am n x0 的解，則 k1 1 k2 2 也是 Am n x0 的解；會求基礎(chǔ)解系；若 R( A) r ，則基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)為n r3、非齊次線性方程組Am n xb 的解的判定：4、非齊次線性方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)若1,2,3 是 Am n xb 的解，則當(dāng) k1k2k30 時， k1 1 k2 2k3 3 是 Am n x0 的解，當(dāng) k1k2k31時， k1 1 k2 2k3 3 是 Am n xb 的解非齊次方程

7、Am n xb 的通解是對應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次方程的特解構(gòu)成。5、矩陣方程 AXOX 的列向量就是 Ax0 的基礎(chǔ)解系矩陣方程 AXBA( 1, 2,Ls ) (b1, b2 ,L , bs ) ，即 A ibi (i1,2,L s)6、公共解問題求兩個方程組的公共解，也就是要找到一個解既是方程組（1）的解，也是方程組（2）的解，因此對于這類題目就是聯(lián)立兩個方程組，組成一個新的方程組求通解四、向量1、線性表示向量 b 可以由向量組1,2,L , r 線性表示bk1 1k2 2 Lkr rAxb 有解R( A)R( A |b)向量組 B:1 ,2 ,L,s 可以由向量組 A : 1,2 ,

8、L, r 線性表示， 即向量組 B 中每個向量都可以由向量組A 線性表示R(A) R(A | B)R( A)R( B)向量組等價：向量組A 與向量組 B 可以相互線性表示R( A) R(B) R( A | B)若 AB C ，則 C 的列向量可以由 A 的列向量線性表示；C 的行向量可以由B 的行向量線性表示2、線性相（無）關(guān)對于向量組 A : 1,2 ,L,r ，若存在一組不全為0 的數(shù) k1 ,k2 ,L , kr，使得k1 1k22Lkrr0成立，則線性相關(guān)，否則線性無關(guān)頁眉內(nèi)容線性相關(guān)線性無關(guān)Ax0有非零解R( A)rAx0只有零解R( A)r若向量組 A :1 , 2 ,L , r

9、線性無關(guān)，向量組1 , 2 ,L ,r ,線性相關(guān)，則向量可以由向量組 A :1 , 2 ,L , r 線性表示，且表示唯一3、極大無關(guān)組極大無關(guān)組的定義，求法向量組的秩的定義4、向量空間向量空間、基、維數(shù)的定義基變換和坐標(biāo)變換標(biāo)準(zhǔn)正交基（施密特正交化）正交矩陣 AATEA 1ATA 的行（列）向量是單位正交的向量組五、特征值與特征向量1、定義：A(0)，是特征值，是特征值對應(yīng)的特征向量2AE0，解出 n 個（含重根）特征值1,2 ,L , n、求法：解 ( Ai E) x0 得i 的基礎(chǔ)解系注：若i 是 k 重根，則 R( Ai E) nk ，即特征向量的個數(shù)小于等于k 個；若 R(Ai E

10、)nk ，矩陣 A 可以相似對角化，否則不能。3、相似的定義：P 1APB，則 A相似于 B相似對角化充要條件A 存在 n 個線性無關(guān)的特征向量。對任意對稱矩陣存在正交矩陣P ，使得 P 1AP相似矩陣的特征值、行列式、秩、對角線元素和均相等，反之不成立。兩個對稱矩陣如果特征值相等，則必相似。4、特征值的性質(zhì)不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；特殊地，對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量正交對于 n 階矩陣 A ， AnnnA 可逆，則矩陣 A 的所i ，aiii ；特殊地，若矩陣i 1i 1i 1有特征值不為 0若 是矩陣 A 的特征值對應(yīng)的特征向量，則若 km Amkm 1 Am 1k1 AE

11、0 ，則 kmmkm 1m 1k11 0若矩陣 A 可逆，則 AA 11A*A對稱矩陣 A 非零特征值的個數(shù)等于R( A)，TT的唯一的非零特征值為5、對稱矩陣的相似對角化步驟頁眉內(nèi)容求出 A 的特征值、特征向量：1, 2,L ,n ;1, 2,L, n 對于任意一個 k 重特征值 i，其特征向量為i 1 ,L,ik 先正交化 i1 ,L , ik ，得i1 ,L , ik ；再把所有特征向量單位化，得1, 2,L ,n 1存在正交矩陣 P ( 1, 2 ,L ,n ) ，使得 APPT2，其中On六、二次型1、二次型矩陣對稱矩陣2、把二次型利用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型也就是對稱矩陣相似對角化的過程

12、3、正慣性指數(shù)二次型對任意可逆變換，其正慣性指數(shù)的個數(shù)不變，即大于 0 的特征值的個數(shù)不變。4、正定矩陣的判定：順序主子式大于0；特征值大于05、矩陣的等價、相似、合同兩個 n 階矩陣 A, B 存在常見的幾個關(guān)系：等價、相似和合同（ 1）A與 B等價A 經(jīng)過一系列初等變換得到 BAPBQ ，其中 P, Q 都是可逆矩陣R( A)R( B)（2） A,B 相似存在可逆矩陣P ，使得 P 1APB （3） A, B 合同若存在可逆矩陣C ，使得 CTACB二次型 xT Ax 與 xT Bx 有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)對于對稱矩陣而言，相似必合同，合同必等價；對于一般矩陣，相似必等價，合同必等價，相似

13、與合同沒有必然聯(lián)系沖刺題型：100010例 10104321答案：432234x10000x100例 2 證明 D n00x00a1 x n 1an 1 x anx n000x1anan 1an 2a2x a1頁眉內(nèi)容2a1a 22a1例3 設(shè)Aa 22a 1是 n 階矩陣，證明 A (n 1) ana 22a1a22a注：兩類數(shù)學(xué)歸納法介紹（一）（ 1）驗證（ 2）假設(shè)n 1時，命題成立；nk1時，命題成立；（ 3）利用（ 2），證明當(dāng) nk 時，命題成立。（二）（ 1）驗證 n1, n2 時，命題成立；（ 2）假設(shè) n k 時，命題成立；（ 3）利用（ 2），證明當(dāng) n k 時，命題成立。

14、0ab0a00b例 4cd00c00d答案：(bc ad )2例 5 設(shè) A, B 均為 n 階矩陣，且 A3, B2, A* ,B*分別是A 和 B 的伴隨矩陣，則A 1B*A*B1=(1)n答案：6001例 6 已知矩陣 A和 B相似，其中 B020，則AE300答案：6例 7 設(shè), 都是 n 維非零列向量， 矩陣 AE2T，若A22A 3E O，則T答案：2例 8 三階矩陣 A 可逆，把矩陣 A的第 2 行與第3 行互換得矩陣B，把矩陣 B的第 1 列的 2倍加到第3 列得到單位矩陣 E ，則 A*120答案：A*001010例 9 設(shè) A 為 mn 矩陣，且 R( A)mn , 則下列

15、命題錯誤的是（）頁眉內(nèi)容（A）方程組AT x0 只有零解（C）對任意的 m 維列向量 b ， Am n x （D）對任意的 n 維列向量 b ， AT x 答案：選 D（ B）方程組AT Ax0 必有無窮多解b 必有無窮多解b 總有唯一解例 10設(shè) A 是 mn 矩陣，B 是 nm 矩陣，則 ABx0（A） nm 時僅有零解（ B） nm 時必有非零解（C） mn 時僅有零解（D） mn 時必有非零解答案：選 D例 11設(shè)A是 n 階矩陣，是 n 維列向量，若秩RTR AA0( ) ，則線性方程組（A） Ax必有無窮多解（ B） Ax必有唯一解Ax0 僅有零解Ax0 必有非零解（C）T0y（

16、D）T0 y答案：選 D例 12設(shè)1 ,2 ,3 是 Ax0 的一組基礎(chǔ)解系，考查下列向量組 1 ,2 , 13 ； 123,2 ,13 ； 123 ,13；1,3,123 上述向量組中，仍是Ax0 的基礎(chǔ)解系的是( A) (B) (C ) (D ) 答案：選 C例13已知1 , 2 , 3 是 非 齊 次 線 性 方 程 組 Axb 的 三 個 解 ， R( A)3 ， 若1,2,3, 4T2T，則方程組 Axb 的通解12, 232,3, 4,511121110（A） k02（B） k213（ C） k01211303411（D） k2024152113答案：選 Bx1x2x30例 14已

17、知齊次方程組（）x12x2ax30 ；方程（）x12x2 x3a 1 有x14x2a2 x30公共解，求 a 的值及所有的公共解答案： a1時，公共解為 k 101 T ； a2 時，公共解為0 11 T例 15 設(shè)四元線性齊次方程組()為x1x20,x2x40頁眉內(nèi)容TT又已知某線性齊次方程組( ) 的通解為 k1 0,1,1,0k21,2,2,1(1) 求線性方程組 ( ) 的基礎(chǔ)解系 .(2) 問線性方程組 ( ) 和( ) 是否有非零公共解 ?若有 , 則求出所有的非零公共解 . 若沒有 , 則說明理由 .TT答案：（ 1）方程組 ( ) 的基礎(chǔ)解系為 10,0,1,0 , 21,1,

18、0,1 (2) 所有公共解為Tc1,1,1,1233122例16設(shè)矩陣 A220， B211，當(dāng) a 為何值時，a 5 a 9 2a 6a 3 a 6 a 4方程 AX B BX 無解；當(dāng) a 為何值時，方程 AXBBX 有解，并求全部解13a13aa1a1答案： a1 時，方程無解；當(dāng)a1 時，方程有唯一解，解為13a22aa1a1a11a1a1a1例17求一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為10123T,23210Tx12x2x30答案：2x13x2x401121例 18已知 A 是 3 階實對稱矩陣， A0，若 A1121，求 Ax0的通解21411答案： Ax0 的通解 k10123例

19、 19設(shè) A012且 R(A)2 ，求齊次方程組A* x0的通解1a 4a15答案： A* x0 的通解為 k1 0k2314頁眉內(nèi)容例 20 設(shè)1(1,0,1)T ，2(0,1,1)T ，3(1,3,5)T 不能由1(1,1,1)T ，2(1,2,3)T ，3 (3, 4, a)T 線性表出。（ 1）求 a（2）將 1 , 2,3由 1, 2,3 線性表出例 21設(shè) A 是 mn 矩陣，1,2,L ,t 是齊次方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系，是非齊次線性方程組 Axb 的解 .（1）證明：,1,2,L ,t 線性無關(guān)（2）證明方程組Axb 的任一解均可由,1,2 ,L,t 線性表示100例 22已

20、知 A010，則下列矩陣中與A 相似共有（）個001答案： 2例 23設(shè)A為4階實對稱矩陣 , 且 A2AO ,若 A的秩為 3, 則 A相似于 ()11( A)1.(B)1.110011( C)1.(D)1.1100答案：選 D例 24設(shè) A 是 n 階矩陣，先交換A 的第 i 行和第 j 行，再交換 A 的第 i 列和第 j 列得到 B ，則下列關(guān)系中正確的有個。 AB R(A)R(B) A等價于 B A相似于 BA合同B答案： 5023120例 25設(shè)矩陣 A133 相似于矩陣 B0b012a031（1）求 a, b 的值；頁眉內(nèi)容（2）求可逆矩陣P ，使 P 1 AP 為對角矩陣答案：

21、（ 1） a4,b5231100（2）P101，（ P不唯一）則 P 1AP 010 .011005011例 26 已知矩陣 A230000（1）求 A99 ；（2）設(shè) 3階矩陣 B1,2 ,3滿足 B2BA . 記 B1001 ,2 ,3 ，將 1, 2, 3分別表示為1,2 ,3 的線性組合 .229912992298答案： A99221001210022990001(2299 )1(22100 )2 ， 2(1299) 1(12100 )2 ，3(2298 )1(2299 )2 。例 27 設(shè) A 是 3 階方陣， b9,18,18T 方程組 Axb 通解為：k12,1,0Tk22,0,

22、1TT，其中 k1, k2 為任意常數(shù)，求A 和 A1001,2,291818122答案： A183636A1009100244183636，144例28 若 二 次 曲 面 的 方 程 為 x23y2z22axy2xz2 yz4，經(jīng)正交變換化為y124z124 ，則 a_答案： a1例29 二次型 f ( x1, x2 , x3 )x123x22x322x1 x22x1 x32x2 x3 ，則 f 的正慣性指數(shù)為_答案： 2例30 設(shè)二次型f (x1, x2 , x3 )xT Ax 的秩為 1， A 中行元素之和為3 ，則 f 在正交變換下x Qy 的標(biāo)準(zhǔn)型為 _ 答案：標(biāo)準(zhǔn)形為 3 y12例 31 設(shè)二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12x22x324x1 x2 4x1 x3 4x2 x3 ，則 f ( x1 , x2 , x3 ) 2在空間直角坐標(biāo)系下的二次曲面為（）頁眉內(nèi)容（A）單葉雙曲面（B）雙葉雙曲面（ C）橢球面（D