2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題專題9動態(tài)幾何定值問題學(xué)案(原版+解析)

1、專題九 動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學(xué)因運動而充滿活力， 數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。 動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題， 以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題， 稱之為動態(tài)幾何問題， 隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的 “變 ”與 “不 變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折） 、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、 面積問題、 最值問題、 和差問題、 定值問題和存在性問題等。 解這類題目要 “以靜制動 ” ，即把動態(tài)問題， 變?yōu)殪o態(tài)問題來解， 而靜態(tài)問題

2、又是動態(tài)問題的特殊情況。 以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題， 其考點包括線段 （和差） 為 定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成： 先探求定值 . 它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法， 常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置， 找出定值的表達(dá)式， 然后寫出 證明 .第二種是采用綜合法，直接寫出證明 .【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓

3、軸題中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問題的難點在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究?！镜淅敢款愋鸵?【線段及線段的和差為定值】【典例指弓I 1】已知：BC是等腰直角三角形，ZBAC= 90,將以BC繞點C順時針方向旋 轉(zhuǎn)得到 ABC,記旋轉(zhuǎn)角為 鵬 當(dāng)9060ZBAC 60,以AB為邊作等邊 ABD (點C、D在邊AB的同側(cè))，連接CD.(1)若以BC 90, ZBAC 30,求 ZBDC 的度數(shù)；(2)當(dāng)出AC 2ZBDC時，請判斷 必BC的形狀并說明理由;(3)當(dāng)出CD等于多少度時， 阻AC 2也DC恒成立.如圖1,拋物線 W : y ax2 2的頂點為點

4、 A，與X軸的負(fù)半軸交于點 D ,直線AB交拋物線W于另一點C，點B的坐標(biāo)為1,0 .(1)求直線AB的解析式；(2)過點C作CE x軸，交x軸于點E ,若AC平分 DCE,求拋物線 W的解析式；1(3)右a ，將拋物線 W向下平移m m 0個單位得到拋物線 W),如圖2,記拋物 2線W1的頂點為A,與x軸負(fù)半軸的交點為 D1，與射線BC的交點為C1 .問：在平移的過 程中，tan D1C1B是否恒為定值？若是，請求出 tan D1CB的值；若不是，請說明理由.類型四 【三角形的周長為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為 2J2的正方形ABCD,點P為正方形 AD邊上的一 點(不與點 A、

5、點D重合)，將正方形紙片折疊，使點 B落在P處，點C落在G處， PG交DC于H,折痕為EF,連接BP, BH.(1)求證：EPBEBP;(2)求證：APBBPH ;(3)當(dāng)點P在邊AD上移動時，ZPDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；(4)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形ABC中，&= 90。，AB= 8J2,點。是AB的中點.將一個邊長足夠大的 RtZDEF的直角頂點E放在點O處，并將其繞點 。旋轉(zhuǎn)，始終保持 DE 與AC邊交于點 G, EF與BC邊交于點H.(1)當(dāng)點G在AC邊什么位置時，四邊形 CGO

6、H是正方形.(2)等腰直角三角ABC的邊被RtZDEF覆蓋部分的兩條線段 CG與CH的長度之和是否會發(fā)生 變化，如不發(fā)生變化，請求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由 .類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.具體要求：如圖1,將長與寬都相等的兩個矩形紙片 ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線 AC和EG互相 重合.固定矩形 ABCD,將矢!形EFGH繞AC的中點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點 E與點B重 合時停止，在此過程中開展探究活動.操作發(fā)現(xiàn)：(1)雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中

7、，當(dāng)邊 AB與EF交于點M,邊CD與GH交于點N,如圖2、圖3所示，則線段 AM與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是 .(2)雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖3所示，四邊形 QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論.(3)雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題(2)中的四邊形 QMRN中加QN與旋轉(zhuǎn)角必OE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由.實踐探究：(4)在圖3中，隨著矩形紙片 EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形 QMRN的面積會發(fā)生變化.若矩形紙 片的長為2+J2,寬為J2 ,請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角必OE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？(直接寫

8、出答案)【舉一反三】如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點 E直角頂點的直角三角形 EFG的兩邊EF, EG 分別過點 B, C, ZF= 30 .(1)求證：BE= CE(2)將ZEFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動.若EF, EG分別與AB, BC相交于點M, N.(如圖2)求證：ZBEMACEN；若AB= 2,求ZBMN面積的最大值；當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點 B恰好在FG上(如圖3),求sinZEBG的值.【新題訓(xùn)練】1 .已知在平行四邊形 ABCD中，AB=6, BC=10,出AD=120, E為線段BC上的一個動點 (不與B, C重合)，過E作直線AB的垂線，

9、垂足為 F, FE與DC的延長線相交于點 G, (1)如圖1,當(dāng)AE*C時，求線段BE、CG的長度.(2)如圖2,點E在線段BC上運動時，連接 DE, DF,阻EF與HEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由.2 .如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點 C為頂點的拋物線經(jīng)過點 A, 點P是拋物線上點 A、C間的一個動點(含端點)，過點P作PFZBC于點F,點D、E的坐標(biāo) 分別為(0, 6), ( - 4, 0),連接 PD, PE, DE.(1)求拋物線的解析式；(2)小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點 P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對

10、于任意一點 P, PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；(3)請直接寫出 妒DE周長的最大值和最小值.3 .如圖，四邊形 ABCD中，ADZBC, ZABC=90 .直接填空：旭AD= .(2)點P在CD上，連結(jié) AP, AM平分綃AP, AN平分小AB AM、AN分別與射線 BP交于點M、N.設(shè)mAM=a.求也AN的度數(shù)（用含”的代數(shù)式表示）.若AN旭M,試探究AMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值, 請用”的代數(shù)式表示它.4 .將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BC, DE.探究 %bc與Sadc的比是否為定值.（1）兩塊三角板

11、是完全相同的等腰直角三角板時，SzBC： %DE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由. （圖） 一塊是等腰直角二角板，另一塊是含有30角的直角二角板時，S/ABC： S ZADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖）（3）兩塊三角板中， 出AE+ZCAD= 180, AB= a, AE= b, AC= m, AD= n （a, b, m, n 為常數(shù)），SABC： Wde是否為定值？如果是，用含 a, b, m, n的式子表示此定值（直接寫 出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由.（圖）5 .（解決問題）如圖1,在 ABC中，AB AC 10, CG AB

12、于點G.點P是BC 邊上任意一點，過點 P作PE AB , PF AC ,垂足分別為點 E ,點F .(1)若PE 3, PF 5,則 ABP的面積是, CG(2)猜想線段PE , PF , CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)(變式探究)如圖 2,在 ABC中，若AB AC BC一點，且 PE BC , PFAC , PG AB ,垂足分別為點10,點P是ABC內(nèi)任意E ,點F ,點G ,求PE PF PG 的值.(4)(拓展延伸)如圖3,將長方形 ABCD沿EF折疊，使點C處，點P為折痕EF上的任意一點，過點 P作PG BE ,G ,點H .若AD 8, CF 3,直接寫出PG PH的值.D

13、落在點B上，點C落在點PH BC ,垂足分別為點圖36 .如圖，已知銳角 必BC中，AB、AC邊的中垂線交于點 O(1)若必=a (0 a 90),求旭OC；(2)試判斷 ABC+CB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由.7 . 8 的直徑AB=15cm,有一條定長為 9cm的動弦，CD在弧AB上滑動(點 C和A、點D 與B不重合),且CD交AB于E, DFZCD交AB于F.(1)求證：AE= BF(2)在動弦CD滑動過程中，四邊形 CDFE的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值，若不是，請說明理由.8.如圖，動點 鼠 在以“為圓心，為直徑的半圓弧上運動(點 M不與點A

14、. B及否的中點F重合)，連接OV .過點AT作久E _1S于點石，以8石為邊在半圓同側(cè)作正方形 BCDE ,過3/點作二0的切線交射線DC于點X ,連接8紀(jì)、EN .(1)探究：如左圖，當(dāng) M動點在工F上運動時；判斷30EV二umv是否成立？請說明理由；AfE 4- C 設(shè)一=支,比是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；設(shè)21出k=)，值是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；(2)拓展：如右圖，當(dāng)動點 在向？上運動時；分別判斷(1)中的三個結(jié)論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結(jié)論.(均不必說明理由)9.如圖，已知。的半徑為2,AB為直徑，CD為弦.AB與CD交

15、于點M，將CD沿著CD翻折后，點 A與圓心O重合，延長OA至P ,使APOA，鏈接PC .(1)求CD的長.(2)求證：PC是2的切線.(3)點G為ADB的中點，在PC延長線上有一動點 Q ,連接QG交AB于點E ,交?C于點F ( F與B、C不重合).則GE GF為一定值.請說明理由，并求出該定值.10.在平面直角坐標(biāo)系中，點 A和點B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且 OA=6, OB=8,點D是AB的中點.(1)直接寫出點 D的坐標(biāo)及AB的長；(2)若直角ZNDM繞點D旋轉(zhuǎn)，射線DP分另1J交x軸、y軸于點P、N,射線DM交x軸于 點M ,連接MN . 當(dāng)點P和點N分別在x軸的負(fù)半軸

16、和y軸的正半軸時，若 ZPDMAMON,求點N的坐 標(biāo)； 在直角NDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，zDMN的大小是否會發(fā)生變化？請說明理由.11 .如圖，ZAOB 中，A (-8, 0), B (0, ) , AC平分 RAB,交 y 軸于點 C,點 P是 x軸上一點， 出經(jīng)過點A、C,與x軸于點D,過點C作CE2AB,垂足為E, EC的延長線交 x 軸于點F,(1)2的半徑為;(2)求證：EF為手的切線;OH(3)若點H是CD上一動點，連接 OH、FH,當(dāng)點H在CD上運動時，試探究 是否為FH定值？若為定值，求其值；若不是定值，請說明理由12 .如圖，在菱形 ABCD中，必BC= 60, AB=2.

17、過點A作對角線 BD的平行線與邊 CD的延長線相交于點 E. P為邊BD上的一個動點(不與端點 B, D重合)，連接PA, PE, AC.(1)求證：四邊形 ABDE是平行四邊形；(2)求四邊形 ABDE的周長和面積；(3)記必BP的周長和面積分別為 C1和Si,2DE的周長和面積分別為 。和S2,在點P的 運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：C1+C2,S1+S2,如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍.13 .如圖，在eO中，圓心O關(guān)于弦AB的對稱點C恰好在eO上，連接AC、BC、 BO、 AO.(1)求證：四邊形AOBC是菱形；(2)如圖，若點Q是

18、優(yōu)弧AmB (不含端點A、B)上任意一點，連接 CQ交ab于點P, e O的半徑為2出.試探究線段CP與CQ的積CP CQ是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由;求CP PO的取值范圍.8BQ(S2)14.如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為 C (08),并且經(jīng)過A (8, 0),點P是拋物線上點A,間的一個動點(含端點)，過點P作直線y=8的垂線，垂足為點 F,點D, E的坐標(biāo)分別為(0, 6), (4, 0),連接 PD, PE, DE.(1)求拋物線的解析式;(2)猜想并探究：對于任意一點P, PD與PF的差是否為固定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由;P的個數(shù).(3)求：當(dāng)

19、妒DE的周長最小時的點 P坐標(biāo)；使妒DE的面積為整數(shù)的點0 ,將點1個單位至C、D ,連接AC、15.如圖1,A、B分別向上平移2個單位，再向右平移BD .(1)直接寫出點D的坐標(biāo)：;CF .(2)連接AD交OC于一點F ,求的值：OF(3)如圖2,點M從O點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向上平移運動，同時點 N從B點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左平移運動，設(shè)射線 DN交y軸于F .問S fmd S OFN的值是否為定值？如果是定值，請求出它的值；如果不是定值，請說明理由16 .如圖所示，D為等腰 ABC底邊BC上一動點，DE AB于E,DF AC于f ,DE DF的值是否為定值，如果AC 8cm

20、iS ABC 24,問當(dāng)d點在C邊上運動時,是，求出這個定值，如果不是，說明理由.x 6與x軸分別相交于點 A17 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y x 2和y和點B ,設(shè)兩直線相交于點 C ,點D為AB的中點，點E是線段AC上一個動點(不與點A和C重合)，連結(jié)DE ,并過點D作DF DE交BC于點F .(1)判斷 ABC的形狀，并說明理由.(2)當(dāng)點E在線段AC上運動時，四邊形 CEDF的面積是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.，1 (3)當(dāng)點E的橫坐標(biāo)為 一時，在x軸上找到一點P使彳# VPEF的周長最小，請直接寫 2出點P的坐標(biāo).專題九動態(tài)幾何定值問題【考題研究】

21、數(shù)學(xué)因運動而充滿活力， 數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。 動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題， 隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的變”與 不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸 對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問 題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。 解這類題目要 以靜制動”， 即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解， 而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，

22、可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成 ：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示 .再證明它能成立.探 求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置， 找出定值的表達(dá)式， 然后寫出 證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明 .【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問題的難點

23、在于準(zhǔn)確應(yīng)用 適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM(jìn)行探究?！镜淅敢款愋鸵弧揪€段及線段的和差為定值】【典例指弓I 1】已知：AABC是等腰直角三角形，/ BAC= 90,將那BC繞點C順時針方向 旋轉(zhuǎn)得到AABC,記旋轉(zhuǎn)角為 ”,當(dāng)902)； (3) OQ的長度等于 3.OP 2x 4x【解析】(1)根據(jù)有兩對角相等的三角形相似可證明CAWCOB,由相似三角形的性質(zhì)S pac AP 2可知：S()，在由已知條件可求出 OB的長，由正切的定義計算即可；0 coB OBCOB(2)作AE，PC于E,易證PAa PCA2)x 4x(3)線段OQ的長度不會發(fā)生變化由 APAH PBA/曰PA得一PBPHPA即PA2P

24、H PB由PHg POB得 PQ PHPB PO即 PQ PO PH PBPA2 PQ PO. PA=2 PO=4PQ=1，OQ=3即OQ的長度等于3.【點睛】此題考查相似形綜合題，解題關(guān)鍵在于作輔助線類型二【線段的積或商為定值】【典例指弓I 2】如圖，矩形 ABCD中，AB 2, BC 5,BP 1, mpn 900,將MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB (或AD )于點E , PN交邊AD (或CD )于點F .當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時， MPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.(1)特殊情形：如圖，發(fā)現(xiàn)當(dāng) PM過點A時，PN也恰好過點D ,此時 ABP是否與PCD相似？并說明理由；PE(2

25、)類比探究：如圖，在旋轉(zhuǎn)過程中，三 的值是否為定值？若是，請求出該定值；PF若不是，請說明理由；(3)拓展延伸：設(shè) AE t時， EPF的面積為S,試用含t的代數(shù)式表示S;在旋轉(zhuǎn)過程中，若t 1時，求對應(yīng)的 EPF的面積；在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)EPF的面積為4.2時，求對應(yīng)的t的值.【答案】（1）相似；（2）定值,PEPF1；(3) 2, t2455【解析】（1）根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似”即可得出答案；PE BP（2）由EBP: PGF得出 ，又FG AB 2,BP 1為定值，即可得出答PF GF案；先設(shè)AE t,BE 2 t結(jié)合SepfS巨形 ABGFS AEF S BEP S PFG 得出5

26、中求解即可得出答案;S t2 4t 5將 t=1 代入 S t2 4t將s=4.2代入S t24t 5中求解即可得出答案【詳解】（1）相似理由：: BAP BPA 900,CPD BPA 900, BAP CPD ,又 ABP PCD 90,ABP : PCD ;(2), PE 在旋轉(zhuǎn)過程中PE的值為定值，PF理由如下：過點F作FG BC于點G，: BEP GPF ,EBPPGF 90 ,EBP:PEPFBPGF 四邊形ABCD為矩形，四邊形 ABGF為矩形, FG AB 2, BP 1 .PE 1PEPEPE的值為定值，rEPFPFPF 2即在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)由(2)知：EBP:BEPGP

27、E 1PF 2PB 2 2 t4 2t, BG AFBP PG 14 2t 5 2t,Sg形 ABGFS AEFS BEPS PFG- i1-2 5 2t-t5 2t2112-12 t-24 2tt24t 522又 AE t, BE 2 t ,即：S t2 4t 5;當(dāng)t 1時,EPF 的面積 S 12 4 1 5 2 ,當(dāng) S EPF4.2 時，t2 4t 5 4.2解-2t2 2 455 (舍去) ，當(dāng) EPF的面積為4.2時，t 2 4逅；5【名師點睛】 本題考查的是幾何綜合，難度系數(shù)較高，涉及到了相似以及矩形等相關(guān)知識點，第三問解 題關(guān)鍵在于求出面積與 AE的函數(shù)關(guān)系式【舉一反三】10

28、如圖1,已知直線y=a與拋物線y -x交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，交y軸于點C 4若AB=4,求a的值 一 .一1(2)若拋物線上存在點 D(不與A、B重合力使CD AB ,求a的取值范圍 2(3)如圖2,直線y=kx+2與拋物線交于點 E F,點P是拋物線上的動點，延長PE、PF分別交直線y= 2于M、N兩點，MN交y軸于Q點，求QM QN的值?！敬鸢浮縜 1 ; (2) a 4; (3) 8【解析】(1)將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立，解一元二次方程求得A、B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AB,即可解答；(2)由(1)可得CD=3AB=2ja,設(shè)D(J4m,m),過點D作DHLy軸于點H,利用勾股定理可知

29、DH 2 CH 2 CD2,進(jìn)而得到(m a)(m a 4) 0,得到m a 4 0 ,根據(jù)函數(shù)圖象可知m 0,即可求得a的取值范圍;12121 2(3)僅 E ( X1, X1 ), f ( X2, X2 ), P ( n, n ),分力1J表小 EP和 FP 的斛析式，當(dāng) 444nx18nx2 812y 2 時，求得 Xm , Xn ,聯(lián)立 y -xy= kx+2,得到nx1nx241 2-x2 kx 2 0 ,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到X1 X2 4k, X1X28,代入4QM gQNXm gxN即可解答.1 2 y - x【詳解】(1)聯(lián)立y 4,y a x2 a,解得：xi2

30、6,X2 2n4AB Xb Xa 4, a 4a 1(2)由(1)知 AB=47a, 1- CD= AB= 2 , a設(shè) D( . 4m,m)過點D作DHy軸于點H,則DH 2 CH 2 CD 2 ( . 4m)2 (a m)2 4a(m a)(m a 4) 0又m am a 4 0m a 4又m 0a 4 0a 412121 2設(shè) E( x, Xi ), F (X2, X2 ), P (n, n )444ep解析式為y tx bii將 P, E代入可得：y (n x1)x nx144-nx1 8當(dāng)y 2時，可求xm ,n x111同理可求FP的解析式為y (n x2)x nx244nx2 8

31、xn n x2又聯(lián)立1 2-x4 得:kx 21x2 kx4x1x24k, x1x2. . QM gQNxM gxNnx1 8 nx2 8 gn x1n x22n x1x2 8n(x1 x2) 64n2 n(x1 x2) x1x28n2 8ng4k 642 n 4nk 8【點睛】本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，難度大，主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，還 涉及了一元二次方程和勾股定理等知識，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)知識 點是解題關(guān)鍵.類型三【角及角的和差定值】【典例指引 3】如圖，在 那BC中，/ ABC60, / BAC 60,以AB為邊作等邊 AABD(點C、D在邊AB的同

32、側(cè))，連接CD.(2)當(dāng)/ BAC 2/BDC時，請判斷AABC的形狀并說明理由;【答案】(1) 30。；(2) AABC是等腰三角形，理由見解析;(1)若/ ABC 90, / BAC 30,求/ BDC的度數(shù);(3)當(dāng)/ BCD=150 時，/BAO2 / BDC恒成立.【解析】(1)證明AC垂直平分BD,從而可得 CD=BC,繼而得/ BDC=30;(2)設(shè)/ BDC=x,貝U/ BAC=2x,證明/ ACD=/ADC,從而得 AC=AD,再根據(jù) AB=AD 可得AB=AC,從而得AABC是等腰三角形；(3)如圖， 作等邊ABCE連接DE,證明BC* ECD后可得至ij/ BDE=2/B

33、DC,再通過證明 ABDE BAC得到/ BAO / BDE,從而得/ BAC=2/ BDC【詳解】(1) . ABD為等邊三角形， .Z BAD=Z ABD=60, AB=AD,又. / BAC=30, .AC平分/ BAD, AC垂直平分BD, .CD=BC,，/BDC=/ DBC=ZABC-Z ABD=90 -60 =30(2)那BC是等腰三角形,理由：設(shè)/ BDC=x,貝U/ BAC=2x,有/ CAD=60 -X, Z ADC=60 X, ./ACD=180 NCAD/ ADC=60 X, ./ ACD=/ADC,.AC=AD,又 AB=AD,.AB=AC,即ABC是等腰三角形；(3

34、)當(dāng)/ BCD=150時，/ BAO2/BDC恒成立,如圖， 作等邊ABCE連接DE, . BC=EC, / BCE=60 . . / BCD=150, ./ ECD=360 BCD/BCE=150,. DC-DCB又 CD=CD, . BC* ECD / BDO/ EDC,即/ BDE=2 / BDC又ABD為等邊三角形，.AB=BD, / ABD=Z CBE=60, /ABO/DBE=60 之 DBG又 BC=BE, . BD匹 BAC / BAO/ BDE,BAC=2 / BDC【名師點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和運用相關(guān)性質(zhì)、結(jié)合圖形正確添加輔助

35、線是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】如圖1,拋物線 W : y ax2 2的頂點為點 A，與x軸的負(fù)半軸交于點 D ,直線AB交拋物線W于另一點C，點B的坐標(biāo)為1,0(1)求直線AB的解析式；(2)過點C作CE x軸，交x軸于點E ,若AC平分 DCE,求拋物線 W的解析式； 41-(3)若a 一,將拋物線W向下平移m m 0個單位得到拋物線W1 ,如圖2,記拋物2線Wi的頂點為A,與x軸負(fù)半軸的交點為 Di,與射線BC的交點為Ci .問：在平移的過 程中，tan D1C1B是否恒為定值？若是，請求出 tan DCiB的值；若不是，請說明理 由.25 21【答案】 y 2x 2； (2) y 25x2

36、 2； (3) tan DQ1B恒為定值1 .323【解析】(1)由拋物線解析式可得頂點 A坐標(biāo)為(0,-2),利用待定系數(shù)法即可得直線AB解析式；(2)如圖，過點B作BN CD于N ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BE=BN,由/ BND=/CED=90, / BND=/CDE可證明VBND : VCED ,設(shè)BE=x, BD=y,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE=2x, CD=2y,根據(jù)勾股定理由得 y與x的關(guān)系式，即可用含 x的代數(shù)式表示出G D坐標(biāo)，代入y=ax2-2可得關(guān)于x、a的方程組，解方程組求出a值即可得答案；(3)過點B作BF CD于點F ,根據(jù)平移規(guī)律可得拋物線W1的解析式為y=- x

37、2-2-m,21c1c設(shè)點Di的坐標(biāo)為(t, 0) (t0,解得:0(舍去),又239252.5 393 2525 32 25 2.拋物線解析式為:一 x32(3) tan D1clB恒為定值，理由如下:如圖，過點C1作C1H x軸于H,過點C作CG x軸G,過點B作BF CD于點F ,拋物線W的解析式為y=- x2-2,2:將拋物線W向下平移個單位，得到拋物線W1 ,1 2拋物線 Wj的解析式為：y x 2 m, 2設(shè)點Di的坐標(biāo)為t,0 t 0 ,0 1t2 2 m,21 22 m t , 21 21 2，拋物線 皿 的解析式為：y -x -t , 22拋物線W1與射線bc的交點為C1,y

38、 2x 22t2解得:x22 to .(不合題意舍去)，Vz2 2t，點C1的坐標(biāo)2 t,2 2t , C1H 2 2t,OH 2 t,D1H DO OH 2 tC1H D1H,且 GH x 軸,C1D1H 45,1 2y - x2與x軸父于點D ,. 點 D 2,0 ,1 2 一一 y 2x 2與y -x2 2交于點C ,點A, 2y 2x 2解得:點 C 4,6 , A (0,-2),g GC 6, DG OD OG 2 4 6,DG CG,且 CG x軸,GDC 45C1D1H , GD1/CD ,D1clBDCB ,. .tan D1clB tan DCB ,3,c CDB 45o,B

39、F CD ,BD OD OB 2 1FDB FBD 450, DF BF ,DB V2DF 3,DF BF 32 , 2.點 D 2,0，點 C 4,6 ,CD J 2 4 20 6 2 6近,CF CD DF9-2 tan D1clB tan DCBBF 1CF 3.tan D1clB恒為定值.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象的平移、相似三角形的判定與 性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，難度較大，屬中考壓軸題，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定定理是解 題關(guān)鍵.類型四【三角形的周長為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為 2衣的正方形ABCD,點P為正方形 AD邊上的一 點(不與點

40、A、點D重合)，將正方形紙片折疊，使點 B落在P處，點C落在G處， PG交DC于H,折痕為 EF,連接 BP, BH.(1)求證：EPBEBP;(2)求證：APBBPH ;(3)當(dāng)點P在邊AD上移動時，APDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；(4)設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)周長固定，周長為 442. (4) S 2x 82【解析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，即能解決問題.(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)和問題(1)的結(jié)論即能解決問題.(3)通過證明過 B點向PG作垂線，垂足為 Q,通過分別證明VBPA且VBPQ 和RtVBHQRtVBHC ,將4PDH的周長問題轉(zhuǎn)化成兩固定邊長之和，即能解決問題，【詳解】(1)證明：二.四邊形 EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊 .EP = EBEPB= / EBP(2)證明二四邊形 EPGF由四邊形EFC而疊而來，EB與EP重疊，PG與BC重疊 . / EPG= / EBC又. / EPB= /EBP / EPG- / EPB= / EBC- / EBP,即ZBPH = / PBC AD/ BQAPB = / PBCAPB =