步步高大一輪作業(yè)義

1、M2.3模擬方法概率的應(yīng)用【2014高考會(huì)這樣考】1.以小題形式考查與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型；2.和平面幾何、函數(shù)、向量相結(jié)合考查幾何概型，題組以中低檔為主.【復(fù)習(xí)備考要這樣做】1.準(zhǔn)確理解幾何概型的意義，會(huì)構(gòu)造度量區(qū)域；2.把握與古典概型的聯(lián)系和區(qū)別，加強(qiáng)與數(shù)學(xué)其他知識(shí)的綜合訓(xùn)練.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)I要點(diǎn)梳理I1 .幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的 概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型.2 .幾何概型中，事件 A的概率計(jì)算公式_構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)P(A)=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積.3 .要切實(shí)理解并掌握

2、幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個(gè)：(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)牛具有等可能性.難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1 .幾何概型的試驗(yàn)中，事件 A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成 正比，而與 A的位置和形狀無關(guān).2 .求試驗(yàn)中幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域Q的幾何度量，然后代入公式即可求解.3 .幾何概型的兩種類型(1)線型幾何概型：當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí).(2)面型幾何概型：當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)變量分別作為一 個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域

3、 解決.I基礎(chǔ)自測(cè)I1.在區(qū)間1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) x,則xC 0, 1的概率為 .,1答案13A C D BIIII匚-I U 2解析如圖，這是一個(gè)長(zhǎng)度型的幾何概型題，所求概率P = |CD=1.|AB | 32 .點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧7b的長(zhǎng)度小于1的概率為.答案23,解析如圖可設(shè)1記=1,則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3,則其概率是3.，3 .已知直線y=x+b, b -2,3,則直線在y軸上的截距大于1的概率 *是.答案25解析區(qū)域D為區(qū)間2,3, d為區(qū)間（1,3,而兩個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度分別為5,2.故所求概率P2=5.30秒，黃燈的時(shí)間

4、為5秒，綠燈的時(shí)間為 40秒，則4 . 一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為某人到達(dá)路口時(shí)看見的是紅燈的概率是A.1B.2C.3D.45 5 5 5解析以時(shí)間的長(zhǎng)短進(jìn)行度量，故p=7=|OA, OB為直徑作兩個(gè)半圓.在5 . （2012湖北）如圖，在圓心角為直角的扇形 OAB中，分別以 扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是答案A解析方法一設(shè)分別以O(shè)A,接 OC, DC. BOB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C, OA的中點(diǎn)為D,如圖，連11 / 13不妨令OA = OB = 2,貝U OD= DA=DC = 1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積& = ； + 2X 1*1 i 2X1X1

5、j= 1,7t所以整體圖形中空白部分面積S2= 2.12又因?yàn)镾扇形OAB=1X 7tx 2 = 7；所以陰影部分面積為S3=兀一2.所以 P=- =1-2.兀兀方法二連接AB,由S弓形ac= S弓形bc= S弓形oc可求出空白部分面積.設(shè)分別以O(shè)A, OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn) C,令OA=2.由題意知 C AB且S弓形ac= S弓形bc= S弓形oc ,1所以 S 空白=$ oab= 2* 2 X 2= 2.12又因?yàn)镾扇形OAB=X TtX 2 = 7；4所以S陰影=兀- 2.所以P =1-2. 兀兀題型分類深度剖析題型一與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型【例1】在集合A=m|關(guān)于x的方程x2+mx

6、+ 3m+1 = 0無實(shí)根中隨機(jī)地取一元素 m,恰使式子lgm有意義的概率為.思維啟迪：通過轉(zhuǎn)化集合 A和lgm有意義將問題轉(zhuǎn)化成幾何概型.解析由 A= m2- 4 !3m+ 14得一1m4.即 A= m| 1 m0,即使lgm有意義的范圍是(0,4),4 一 04故所求概率為 P = .4( 1 ) 5探究提高 解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍.當(dāng)考察 對(duì)象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用線段長(zhǎng)度比計(jì)算；當(dāng)考察對(duì)象為線時(shí)，一般用 角度比計(jì)算.事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，由于弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比,所以角度之比實(shí)際上是所對(duì)的弧長(zhǎng)(曲線長(zhǎng))之比.變式訓(xùn)練1在

7、半彳為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦，則弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是 E答案2解析記事件A為“弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”，如圖，不妨在過等邊三角形 BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長(zhǎng)(此時(shí)F為OE中點(diǎn))，弦長(zhǎng)大于CD的充要條件是圓心。到弦的距離小于 OF,由幾何概型公式得： 1,X 2p(a)=.= 2.題型二與面積有關(guān)的幾何概型【例2】設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程 x2+2ax+ b2=0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)

8、若a是從區(qū)間0,3任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根 的概率.思維啟迪：(1)為古典概型，利用列舉法求概率.(2)建立a-b平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型.解設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2 = 0有實(shí)根”.當(dāng)a0, b0時(shí)，方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為 ab.(1)基本事件共有 12 個(gè)：(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0),(3,1), (3,2).其中第一個(gè)數(shù)表示 a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值.事件 A中包含9個(gè)93基本事件，

9、事件 A發(fā)生的概率為P(A)=12=4.(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?(a, b)|0a3,0b2,構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a,b)|0a3,0 bb,所以所求的概率為1 c23X22X2P(A)=3X223.探究提高 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域的測(cè)度P(A)=試驗(yàn)的全部結(jié)果所組成的區(qū)域的測(cè)度.變式訓(xùn)練2 (2012湖南)函數(shù)f(x) = sin( w x+昉的導(dǎo)函數(shù)y=f (x)的部分圖像如圖所示， 其中，P為

10、圖像與y軸的交點(diǎn)，A, C為圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖像的最低點(diǎn).百若上6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為限斗)則00=；(2)若在曲線段 涵5與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為，、TT答案(1)3 (2)4解析 = f(x) = sin(。x+昉,，f (x)= cocos(cox+昉.,，(x)= wCOS co x+ 6 :又該函數(shù)過點(diǎn) P；0,釣故呼兀wCOS6.3= 3.、-. 兀(2)設(shè) A(xo,0),則 + Q 2, ，xo=一 2 兀又 y= cocos(cox+ 4)的周期為,，|AC|=T c 康-依題意曲線段 ABC與x軸圍成的面積為-TL 3 ,兀兀 /,、，

11、cS= - ?-+-T-wcos(wx+(j)dx= 2.2 co co co2 co co .兀，,一兀 |AC|=Z，Mb|= co,.Saabc= 2.滿足條件的概率為4.題型三與角度、體積有關(guān)的幾何概型【例3如圖所示，在 ABC中，/ B = 60, / C=45,高AD=J3,在/ BAC內(nèi)作射線 AM交BC于點(diǎn)M,求BM1的概率.思維啟迪：根據(jù)“在/BAC內(nèi)作射線AM”可知，本題的測(cè)度是角度.解因?yàn)?/B=60, ZC=45,所以 / BAC=75,在 RtABD 中，AD= V3, ZB=60,所以 BD = 7AD- 1, / BAD = 30.tan60記事件 N為“在/BA

12、C內(nèi)作射線 AM交BC于點(diǎn)M,使BM1，則可得/ BAM /BAD時(shí)事件N發(fā)生.由幾何概型的概率公式，得 P(N)30 2=一755.探究提高幾何概型的關(guān)鍵是“測(cè)度”,如本題條件若改成“在線段BC上找一點(diǎn)M ”，則相應(yīng)的測(cè)度變成線段的長(zhǎng)度.30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行.若蜜蜂在飛行過程變式訓(xùn)練3一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為中始終保持與正方體玻璃容器的6個(gè)表面的距離均大于 10,則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一個(gè)位置的可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率為人.卜耘為38 16 27 8答案C解析由題意，可知當(dāng)蜜蜂在棱長(zhǎng)為 10的正方體區(qū)域內(nèi)飛行時(shí)才是安全的，所以由幾何概ms I必

13、A-i七 /口、人心工r1031型的概率計(jì)算公式，知蜜蜂飛行是安全的概率為=1.302 7思想與方法系列23轉(zhuǎn)化與化歸思想在概率中的應(yīng)用典例：(12分)已知向量a=(2,1), b=(x, y).(1)若 xC 1,0,1,2, yC1,0,1,求向量 a/b 的概率；(2)若xC 1,2, y -1,1,求向量a, b的夾角是鈍角的概率.審題視角(1)向量a/ b轉(zhuǎn)化為x=2y,而x、y的值均為有限個(gè)，可以直接列出，轉(zhuǎn)化為古典概型問題；(2)和(1)中條件類似，但x、y的值有無窮多個(gè)，應(yīng)轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.規(guī)范解答解(1)設(shè)“all b”為事件A,由all b,得x = 2y.基本事件空間為

14、Q= ( -1, 1), (1,0), ( 1,1), (0, 1), (0,0), (0,1), (1, -1),(1,0), (1,1), (2, 1), (2,0), (2,1),共包含 12 個(gè)基本事件;3 分其中A = (0,0) , (2,1),包含2個(gè)基本事件.211.則P(A)=1= 6,即向量a/ b的概率為6.5分(2)設(shè)“a, b的夾角是鈍角”為事件B,由a, b的夾角是鈍角，可得a b0,即2x+y0,且 xw 2y.7 分基本事件空間為-1x2(一 1 W yW 1 1 w xW 2一 1 W yW 1B=4 (x, y) , 2x+ y0L cxw 2y10 分則P

15、(B)=迫=3即向量a, b的夾角是鈍角的概率是1 八弓12分 3溫馨提醒（1）對(duì)含兩個(gè)變量控制的概率問題，若兩個(gè)變量取值有限個(gè)， 可轉(zhuǎn)化為古典概型;若取值無窮多個(gè)，則可轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.（2）本題錯(cuò)誤的主要原因是不能將問題化歸為幾何概型問題，找不到問題的切入點(diǎn).所以要注意體會(huì)和應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想在解決幾何概型中的作用思想方法：感倏提高方法與技巧1 .區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無限多個(gè).2 .轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)一個(gè)具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，然后利用幾何 概型概率公式.失誤與防范1 .準(zhǔn)確把握幾何概型的 “測(cè)度”是解題關(guān)鍵；2 .

16、幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練（時(shí)間：35分鐘，滿分：57分）-、選擇題（每小題5分，共20分）1.（2012遼寧）在長(zhǎng)為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段 AC,CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于 32cm2的概率為（）A.1B.1C.2D.46 3 3 5答案C解析設(shè) AC = x, CB=12 x,所以 x（12-x）32 ,解得 x8.4+4 2所以P= 12 =30x 2,2. （2012北京）設(shè)不等式組i表示的平面區(qū)域?yàn)?D,在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，0WyW 2則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是（）

17、兀 兀一 2 兀A.4B. 2 C.6D.解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域 D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn) 的距離大于2的區(qū)域.易知該陰影部分的面積為4-兀因此滿足4 兀條件的概率是.3.如圖所示，在邊長(zhǎng)為 1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為（）1111A.4B.5C.6D.7解析: S陰影=公,x）dx =2 1 13 2=6, 又 即 x 1.故所求事件的概率為 二、填空題（每小題5分，共15分）5.平面內(nèi)有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為 3cm,把一枚半徑為1cm的硬幣任意投 擲在這個(gè)平面內(nèi)，則硬幣不與

18、任何一條平行線相碰的概率是 . 答案1 3 解析如圖所示，當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時(shí)，硬幣不與任 正萬形 0ABe=1，由幾何概型知，P恰好取自陰影部分的概率為16 1=1 6.4.在區(qū)間1,1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則sin7的值介于一；與平之間的概率為（）112 5A.4B.3C.3D.6解析-1x1, .兀欣兀 一 0,而A= P24e+2 i= (p+ 1)(p-2),解得pW1或p2,故所求概率為0, 5(1U2,0, 5的長(zhǎng)度+ 8 )的長(zhǎng)度35.7.在區(qū)間兀，兀內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a,點(diǎn)的概率為.3答案34解析根據(jù)函數(shù)f(x)= x2+ 2ax b2+兀有零點(diǎn)得a2+b2 Tt,建立如

19、圖所示的平面直角坐標(biāo)系，b,則使得函數(shù)f(x)=x2+2axb2+兀有零4a 4(兀一b )0,即則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?ABCD及其內(nèi)部，使函數(shù) 中陰影部分，且 S陰影=4/一 72=3/.一Sfe 影 3 2 3故所求概率為 P=7 =3.S正方形4兀4f(x)有零點(diǎn)的區(qū)域?yàn)閳D三、解答題(共22分)8. (10分)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn) 1 ,M-ABCD的體積小于展的概率.6M,求使四棱錐解如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1.設(shè)M-ABCD的高為h,貝* X Sabcd X h1, 361又 Sabcd = 1 , h0內(nèi)的隨機(jī)

20、點(diǎn)，求函數(shù)y= f(x)在區(qū)間1 , +)上是增函數(shù)y0的概率.解因?yàn)楹瘮?shù)f（x）= ax24bx+1的圖像的對(duì)稱軸為 x=-2b,要使f（x）= ax24bx+ 1在區(qū)間 a1 , + ）上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a0且gw 1,即2b0I I b b0f 箏1構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)閍, b a0b0得交點(diǎn)坐標(biāo)為修，3a + b 8=0,由 ab=2，所以所求事件的概率為-X 8X8P=F213.B組專項(xiàng)能力提升（時(shí)間：25分鐘，滿分：43分）、選擇題（每小題5分，共15分）1.在區(qū)間0,1上任取兩個(gè)數(shù)a, b,則函數(shù)f（x） = x2 + ax+b2無零點(diǎn)的概率為（）12 3 1A.2B.3C.4

21、D.4解析要使該函數(shù)無零點(diǎn)，只需a2-4b20,即（a + 2b）（a2b）0, ，a2b0.a-2t=0作出0WbW1,的可行域,a 2bq2R,故所求的概率P(A) =tR2R3. （2012陜西）如圖所示是用模擬方法估計(jì)圓周率兀值的算法框圖，P表示估計(jì)結(jié)果，則圖中空白框內(nèi)應(yīng)填入（）15 /13N. - 4NL A - P- 1000B- P1000M4MC- P 1000D- P1000答案D解析:為，yi為01之間的隨機(jī)數(shù)，構(gòu)成以 1為邊長(zhǎng)的正方形面,當(dāng)x2+y21時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在陰影部分中 x 至.右N匚ZM.有 Kn=, N 兀=4M - M 兀，M JT4（如圖所示）.4MMM + N) = 4M, 7t= 1000.二、填空題（每小題5分，共15分）4.在區(qū)間0,1上隨意選擇兩個(gè)實(shí)數(shù)答案T4x, v,則使-x2+y2wi成立的概率為解析D為直線x=0, x=1, y=0, y=1圍成的正方形區(qū)域，而由x2+ y20, y0)知d為單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個(gè)圓),故所求概率為X兀=4.5 . (2011江西)小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地