FIR維納濾波器的Matlab仿真驗證教程

1、主要內(nèi)容 ? 最優(yōu)線性濾波器 1.概述 2.維納濾波器 3.維納-霍夫方程的求解 ? FIR維納濾波器的Matlab仿真 1.問題描述 2.Matlab代碼實現(xiàn) ? 仿真結(jié)果及其分析 最優(yōu)線性濾波器 1、概述 最優(yōu)線性濾波器和預(yù)測器，這里的最優(yōu)指的是均方誤差（mean square error，MSE）最小。最小均方誤差引出了線性濾波器理論。 在許多實際應(yīng)用中，人們無法直接得到所需的有用信號，能夠得到的是退化了或失真了的有用信號。為了提取或回復(fù)有用的原始信號，這就需要設(shè)計一種濾波器，對得到的信號進行濾波，使它的輸出盡可能逼近原始信號，成為最佳估計，這種濾波器就稱為最優(yōu)濾波器。 最優(yōu)線性濾波器

2、2、維納濾波器 維納（Wiener）是用來解決從噪聲中提取信號的一種過濾（或濾波）方法。維納濾波器是最小均方誤差準(zhǔn)則在信號濾波、預(yù)測中的具體應(yīng)用。 維納濾波器是一個線性時不變系統(tǒng)，通過該系h(n)統(tǒng)后，在最小均方誤差準(zhǔn)則下給出信號s(n)的盡可能逼近x(n)x(n)?s(n)?v(n)。 v(n)s(n)y(n) 一個線性系統(tǒng)，如果它的單位樣本響應(yīng)為 ，當(dāng)輸入一個隨機信號y(n)? , h(m )x(n?m )m 其中 表示原始信號， 表示噪聲，則輸出為 最優(yōu)線性濾波器 x( n)h(n) 后得到的y(n)s盡量接近(n)我們希望通過線性系統(tǒng) y(n)s(n)s(n)y(n)?s(n)表示，即

3、 于 ，因此稱 為 的估計值，用 則維納濾波器的輸入輸出關(guān)系可用下面圖表示。 e(n)s(n)s(n) e(n)?s(n)?s(n) 如果我們分別以 與 表示信號的真實值與估計e(n)值，而用 表示他們之間的誤差，即 2 顯然 可能是正值，也可能是負(fù)值，并且它是一個?(n)?Ee(n)?min隨機變量。因此，用它的均方誤差來表達誤差是合理的，所謂均方誤差最小即它的平方的統(tǒng)計期望最小，即： 采用最小均方誤差準(zhǔn)則作為最佳過濾準(zhǔn)則的原因還在于它的理論分析比較簡單，不要求對概率的描述。 最優(yōu)線性濾波器 3.維納-霍夫方程的求解 2? (n)?Ee(n)? min 為了按式所示的最小均方誤差準(zhǔn)則?(n

4、)h( j)對 的導(dǎo)數(shù)等于零，即可來確定維納濾波器的沖激響應(yīng) ，令得 Rxs(m )?h(i)Rxx(m?i),?mRxs(m )s(n)x(n)i Rxx(m )x(n) 式中， 是 與是Rxs?Ex (n)s(的互相關(guān)函數(shù)，n?m )Rxx? Ex(n) x(n的自相關(guān)函數(shù)，?m )分別定義為 Rxs(m )Rxx(m ) 上式稱為維納濾波器的標(biāo)準(zhǔn)方程或維納-霍夫（Wiener-Hopf）方程。如果已知 和 ，那么解此方程即可求得維納濾波器的沖激響應(yīng)。 最優(yōu)線性濾波器 標(biāo)準(zhǔn)方程右端的求和范圍,即i 的取值范圍沒有具體標(biāo)明，實際上有三種情況： （1）有限沖激響應(yīng)（FIR）維納濾波器，i 從0

5、 到N-1 取得有限個整數(shù)值； ? ? ?（2）非因果無限沖激響應(yīng)（非因果IIR）維納濾波器，i ? ?從 到 取所有整數(shù)值； （3）因果無限沖激響應(yīng)（因果IIR）維納濾波器，i 從0 到 取正整數(shù)值。 上述三種情況下標(biāo)準(zhǔn)方程的解法不同，本文只描述FIR維納濾波器的求解。 最優(yōu)線性濾波器 Th?h(0)h(1). h(N?1)設(shè)濾波器沖激響應(yīng)序列的長度為N ，沖激響應(yīng)矢量為 濾波器輸入數(shù)據(jù)矢量為 y(n)?s(n)?x (n)h?h x(n)則濾波器的輸出為 ，這樣，標(biāo)準(zhǔn)P?Ex(n)s(n)s(nP?Rh)x(n)PT?hTR維納-霍夫程可寫成 或 ，其中 x(n)T是 N維列矢量；R 是

6、R與?Ex(n)x的互相關(guān)函數(shù)，它是一個(n)?1TThopt?R P的自相關(guān)函數(shù)，是N 階方陣P ?h RP?Rh利用求逆矩陣的方法直接求解式， 得 這里opt 表示“最佳”，這就是FIR維納濾波器的沖激響應(yīng)。 TTx(n)?x(n)x(n?1 ).x(n?N?1 )TFIR維納濾波器的Matlab仿真 1、問題描述 產(chǎn)生一個隨機信號w(n),通過系統(tǒng)H(z)=1/(1-0.9/z)后，得到原始信號s(n)。對原始信號s(n)添加高斯白噪聲noise。設(shè)計一個FIR維納濾波器，從被干擾后的信號中盡可能恢復(fù)s(n)。 FIR維納濾波器的Matlab仿真 2、代碼仿真 %*基于最優(yōu)FIR濾波器線

7、性預(yù)測* clear; clc; N=128;%N為原始信號的長度 %N=input(請輸入信號長度： ); M=8;%M代表濾波器的階數(shù) %M=input(輸入濾波器階數(shù) ： ); FIR維納濾波器的Matlab仿真 %*產(chǎn)生一個原始信號* w=sqrt(0.20)*randn(N,1); A=1 -0.9; s=filter(1,A,w); %* noise=sqrt(1.5)*randn(N,1);%用randn函數(shù)產(chǎn)生正態(tài)分布偽隨機數(shù)噪聲 x=s+noise;%產(chǎn)生噪干擾后的原始信號 %*產(chǎn)生維納濾波中加噪信號的自相關(guān)矩陣* rxx=xcorr(x); for i=1:M for j=

8、1:M FIR維納濾波器的Matlab仿真 %*產(chǎn)生維納濾波中x方向上觀測信號與期望信號的互相關(guān)矩陣* rxd=xcorr(x,xd); for i=1:M mrxd(i)=rxd(N-1+i); end hopt=inv(mrxx)*mrxd;%由維納-霍夫方程得到濾波器最優(yōu)解-FIR維納濾波器的沖激響應(yīng) out_s=filter(hopt,1,x);%濾波后的輸出信號(預(yù)測信號) %out_s=conv(x,hopt);%濾波后的輸出信號(預(yù)測信號) %*求均方誤差* fprintf(濾波后的信號相對原信號的統(tǒng)計均方誤差:n); FIR維納濾波器的Matlab仿真 % *畫圖* subpl

9、ot(2,2,1) plot(xd); title(期望信號); %axis(0 N -3 3);%給出x,y軸最小最大值來選擇坐標(biāo)系的取值范圍 xlabel(Time(n); ylabel(Amplitude); subplot(2,2,2) plot(noise); title(噪聲信號); xlabel(Time(n); ylabel(Amplitude); %axis(0 N -5 5); FIR維納濾波器的Matlab仿真 subplot(2,2,3) plot(out_s); title(維納濾波后的信號); %axis(0 N -3 3);%用來給出x,y軸最小最大值來選擇坐標(biāo)系

10、的取值范圍 xlabel(Time(n); ylabel(Amplitude); subplot(2,2,4) plot(x); title(噪聲干擾后的信號); xlabel(Time(n); 仿真結(jié)果及分析 仿真結(jié)果(信號長度N=256，階數(shù)M=3)-mse=0. 0.4045 仿真結(jié)果及分析 仿真結(jié)果(信號長度N=256，階數(shù)M=3)-mse=0. 0.4045 仿真結(jié)果及分析 仿真結(jié)果(信號長度N=256，階數(shù)M=8)-mse=0. 3215 仿真結(jié)果及分析 仿真結(jié)果(信號長度N=256，階數(shù)M=8)-mse=0. 3215 仿真結(jié)果及分析 仿真結(jié)果(信號長度N=512，階數(shù)M=8)-mse=0.3326 仿真結(jié)果及分析 仿真結(jié)果(信號長度N=512，階數(shù)