暑假專題多邊形

1、 暑假專題多邊形（一）知識(shí)整理 1. 知識(shí)結(jié)構(gòu) 2. 主要知識(shí)內(nèi)容： 通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)掌握以下知識(shí)內(nèi)容： （1）瓷磚的鋪設(shè)： <1>密鋪的特征：相鄰幾個(gè)多邊形中，在同一頂點(diǎn)的幾個(gè)角的和等于 <2>常見(jiàn)的地磚形狀：三角形、四邊形和正六邊形 （2）三角形： <1>三角形的分類 三角形按邊分類： 三角形按角分類： 注意：等邊三角形是特殊的等腰三角形，切記不能將三角形按邊分成不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形三類。 <2>三角形各角之間的關(guān)系： 三角形的內(nèi)角和等于 三角形的外角和等于（每個(gè)頂點(diǎn)處只取一個(gè)外角） 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)

2、內(nèi)角的和 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角 <3>三角形的三邊關(guān)系： 三角形的任何兩邊的和大于第三邊 判斷三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形時(shí)，就看這三條線段是否滿足任何兩邊之和大于第三邊，其簡(jiǎn)便方法是看兩條較短線段的和是否大于第三條最長(zhǎng)的線段。 （3）多邊形的內(nèi)角和與外角和 n邊形的內(nèi)角和等于，n邊形的外角和等于 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于，每個(gè)外角都等于 n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有條對(duì)角線，n邊形共有條對(duì)角線 （4）用正多邊形拼地板： 正多邊形拼地板的必要條件：圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角。 一種正多邊形能密鋪平面的只有：正三角形、正方形和正六邊形

3、 兩種或兩種以上正多邊形組合密鋪平面的設(shè)計(jì)?！纠}分析】 例1. （1）如圖（a），求證： （2）如圖（b），若，求的度數(shù)。 分析：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角之和，這里是求證一個(gè)角等于三個(gè)角的和，這就啟示我們要將此圖化為三角形進(jìn)行研究。 解：（1）法一：如圖1，延長(zhǎng)BD交AC于E 法二：如圖2，連結(jié)AD并延長(zhǎng)至E 則 即 法三：如圖3，連結(jié)BC 即 （2） 例2. （遼寧省03年中考）已知中，角平分線BE、CF相交于O，如圖所示，的度數(shù)應(yīng)為（ ） A. B. C. D. 分析：與已知角不在一個(gè)三角形中，要建立和的聯(lián)系，需應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理，通過(guò)與建立它們之間的聯(lián)系。 解

4、：分別是角平分線 選A （拓展延伸） （1）本題是近幾年全國(guó)各省市中考題的熱點(diǎn)之一，陜西省、山西省、遼寧省幾省市近三年的中考題都考了本題的特例。 （2）如圖，角平分線AD、BE、CF交于O，類似的有 （3）由上述結(jié)果， 故與互余，圖中還有其它互余的角嗎？ 例3. （山東省03年中考題）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為x，其周長(zhǎng)為_(kāi) 分析：從等腰三角形的兩腰相等入手，根據(jù)題意，設(shè)其中兩邊為腰，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求各邊長(zhǎng)，同時(shí)應(yīng)考慮到應(yīng)分三種情況討論。 解：（1）若，則，三邊分別為1，1，2 （2）若，則，三邊長(zhǎng)分別為 （3）若，則，三邊長(zhǎng)分別為 （1）（2）兩種情況不符三邊關(guān)系定理，故舍去

5、 其周長(zhǎng)為 易錯(cuò)分析：解本題除注意分類討論外，還應(yīng)注意到等腰三角形三邊也應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系這一隱含條件。 例4. 如果多邊形的邊數(shù)增加1，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加多少度？將n邊形的邊數(shù)增加1倍，則它的內(nèi)角和增加多少度？上述兩種情況下外角和怎樣變化？ 解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，當(dāng)邊數(shù)增加1后，多邊形的邊數(shù)變?yōu)?n+1)，則兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之差為 當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1倍時(shí)，邊數(shù)變化為2n，則此時(shí)兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之差為 上述兩種變化情況下，多邊形的外角和保持不變，都是 例5. （1）已知如圖（a），在中，于D，AE平分，則與有何數(shù)量關(guān)系？ （2）如圖（b），AE平分，F(xiàn)為其上一點(diǎn)，且于D，

6、這時(shí)與又有何數(shù)量關(guān)系？ （3）如圖（c），AE平分，F(xiàn)為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，于D，這時(shí)與又有何數(shù)量關(guān)系？ 分析：在（1）問(wèn)中，要找出與的數(shù)量關(guān)系，可考慮利用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)轉(zhuǎn)化，同時(shí)應(yīng)注意靈活運(yùn)用圖中隱含的角與角的和差關(guān)系，在解決第（2）、（3）問(wèn)時(shí)，應(yīng)注意把它轉(zhuǎn)化為第（1）問(wèn)的情形，運(yùn)用第（1）問(wèn)的結(jié)論，過(guò)點(diǎn)A作，則有 解：（1） 平分 即 （2）如圖（b），過(guò)A作于G，由（1）知 （3）如圖（c），過(guò)點(diǎn)A作于G，由（1）知 說(shuō)明：在處理三角形中角的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要從整體出發(fā)進(jìn)行思考，有時(shí)也可以通過(guò)適當(dāng)添加輔助線使未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已解決的問(wèn)題，像本題這種類型的題目，既要看到圖形

7、的變化，又要抓住變化中的內(nèi)在聯(lián)系。 例6. 如圖，點(diǎn)A、O、B在同一直線上，點(diǎn)C、O、D在同一直線上，的平分線交的平分線于點(diǎn)P （1）若，求的度數(shù)； （2）試歸納與之間的關(guān)系 分析：本題圖形較復(fù)雜，涉及的三角形較多，雖然與的度數(shù)是已知的，但和的形狀是可以改變的，因此圖中許多角的度數(shù)在變化，為什么是不變量呢？ 解：（1）在和中，有 在和中，有 平分，DP平分 （2）由（1）知與之間的關(guān)系為【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘） 1. 已知等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi) 2. 兩個(gè)木棒的長(zhǎng)分別為3cm和5cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個(gè)三角架，若第三根木棒長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三根木棒長(zhǎng)

8、_cm。 3. 已知a、b、c為三角形三邊的長(zhǎng)，且，則這個(gè)三角形的形狀為_(kāi) 4. 如圖，已知，（1）若點(diǎn)O為兩角平分線的交點(diǎn)，則_；（2）若點(diǎn)O為兩條高的交點(diǎn)，_。 5. 如圖，在四邊形ABCD中，則_ 6. 等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，（1）若其中一邊長(zhǎng)為6cm，則腰長(zhǎng)為_(kāi)；（2）若其中一邊長(zhǎng)為5cm，則腰長(zhǎng)為_(kāi) 7. 過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有2m條對(duì)角線，m邊形沒(méi)有對(duì)角線，k邊形有k條對(duì)角線，則_ 8. 如圖，的面積等于，D為AB的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且，O為DC與BE交點(diǎn)，若的面積為，的面積為，則_ 9. 三角形中，最大角的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 10. 一個(gè)三角形的周

9、長(zhǎng)為奇數(shù)，其中兩條邊長(zhǎng)分別為4和1997，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6 11. 能鋪滿地面的正多邊形組合是（ ） A. 正三角形和正八邊形B. 正五邊形和正十邊形 C. 正三角形和正十二邊形D. 正六邊形和正八邊形 12. 如圖，在中，D是BC上一點(diǎn)，若，則與的關(guān)系為（ ） A. B. C. D. 13. 一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角之外，其余各內(nèi)角的和為，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（ ） A. B. C. D. 14. 如圖，已知在中，問(wèn)AD平分嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。 15. 已知：如圖是不規(guī)則的六邊形地磚，在六邊形ABCDEF中，每個(gè)內(nèi)角為，且，求該六邊形地磚的周長(zhǎng)。 16. 如圖中的幾個(gè)圖形是五角星和它的變形 （1）圖（1）中是一個(gè)五角星，求 （2）圖（1）中點(diǎn)A向下移到BE上，五個(gè)角的和有無(wú)變化？（即）如圖（2），說(shuō)明你的結(jié)論的正確性。 （3）把圖（2）中點(diǎn)C向上移動(dòng)到BD上，五個(gè)角的和（即）有無(wú)變化？如圖（3），說(shuō)明你的結(jié)論的正確性。【試題答案】一. 1. 92. 4或6 3. 等邊三角形（提示：） 4. （1）（2）（點(diǎn)撥：此題中，） 5. （點(diǎn)撥：<1> <2>把與的和當(dāng)作一個(gè)整體去考慮） 6. （1）6cm或7cm（