數(shù)值分析試題及答案

1、一、單項選擇題（每小題3 分，共 15 分）1. 和分別作為 的近似數(shù)具有（ ）和（ ）位有效數(shù)字 .A4和 3B3和 2C3和 4D4和 4f x dx1f 1Af (2 )1f (2)22. 已知求積公式1636，則 A（ ）1112A 6B 3C 2D 33.通過點x0 , y0 , x1, y1 的拉格朗日插值基函數(shù) l0 x ,l1 x 滿足（）A l0x0 0， l1 x10B l0 x0 0， l1 x1 1C l0 x0 1，l1 x1 1Dl0 x0 1，l1 x1 14.設求方程fx0 的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速。A 超線性B 平方C線性D三次x12x2x302x1

2、2 x23x3 35. 用列主元消元法解線性方程組x13x22作第一次消元后得到的第3 個方程（） .A x2 x3 2B 2x2 1.5x3 3.5C2x2 x3 3D x2 0.5 x31.5單項選擇題答案得評卷分人二、填空題（每小題3 分，共 15 分）1.設 X(2,3, 4)T , 則 |X |1， |X |2.2.一階均差fx0 , x13. 已知 nC031 ,C13C2333時，科茨系數(shù)88 ，那么3C34. 因為方程 f xx 4 2x0 在區(qū)間 1,2上滿足，所以f x 0 在區(qū)間內(nèi)有根。yyyx25. 取步長 hy 110.1，用歐拉法解初值問題的計算公式.填空題答案fx

3、0f x11.9和 29 2.x0x11f 1 f 2 03.84.0.1yk 1yk1.110.1k 2,k0,1,2L5.y0 1得評卷分人三、計算題（每題15 分，共 60 分）1y21. 已知函數(shù)1 x的一組數(shù)據(jù)：求分段線性插值函數(shù)，并計算f 1.5 的近似值 .計算題 1. 答案1.解 x0,1 ，%x1x0Lx110.5 1 0.5 x010%x2x10.3 x 0.8x 1,2Lx20.50.2，121所以分段線性插值函數(shù)為%1 0.5xx0,1Lxx1,20.8 0.3 x%1.50.80.31.50.35L10x1x22x37.2x110x22x38.32. 已知線性方程組x

4、1x25x34.2（1）寫出雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式；（2）對于初始值X 00,0,0 ，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算X 1（保留小數(shù)點后五位數(shù)字） .計算題 2. 答案1. 解 原方程組同解變形為x10.1x20.2x30.72x20.1x10.2x30.83x30.2 x10.2x20.84雅可比迭代公式為x m 10.1x2m0.2 x m0.7213x2m 10.1x1m0.2 x3m0.83x3m 10.2x1m0.2x2m0.84 (m 0,1.)高斯塞德爾迭代法公式x m 10.1x m0.2 x m0.72123x2m 10.1x1m 10.2x3m

5、0.83x3m 10.2x1m 10.2x2m 10.84(m 0,1.)X 10.720 00,0.830 00,0.840 00用雅可比迭代公式得X 10.720 00,0.902 00,1.164 40用高斯塞德爾迭代公式得3. 用牛頓法求方程 x33x 10 在 1,2 之間的近似根（ 1）請指出為什么初值應取 2（ 2）請用牛頓法求出近似根，精確到 .計算題 3. 答案33.解fxx3x1， f 130 ， f210fx3x23 ， fx12 x ， f2240 ，故取 x2 作初始值迭代公式為33f xn 13x1 (或2xn 11n 1n 1xn xn 1xn 1x3 xn2)f

6、 xn 13xn21311 ， n 1,2,.23311.8888921.8888931x122x21.8888921.87945x02 ，31，31x2x10.009440.000121.87945311.87939x31.87945213，x3 x2 0.000060.0001方程的根 x1.87939114. 寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分0 1dxx .計算題 4. 答案4 解梯形公式bbafx dxf a f ba2應用梯形公式得11111dx 0.750 1 x2 1 0 1 1辛卜生公式為f x dxb a f a 4 f ( a b ) f b ba6211101

7、00 1xdx6 f 0 4 f () f 1 應用辛卜生公式得211111041125611362得評卷分人四、證明題（本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有3 次代數(shù)精確度hA0 f0 A1 f hf x dx A 1 f hh證明題答案證明：求積公式中含有三個待定系數(shù)，即 A 1 , A0 , A1 ，將 f x1,x, x2分別代入求積公式，并令其左右相等，得A1 A0A12hh( A 1A1 )0h2 ( A 1A1 )2 h33A1 A11h4h3A0得，3 。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于hx3dx h hh 3hx4 dx h hh 334h

8、 h33h h43hh4hf x dxf hf 0fh故h333具有三次代數(shù)精確度。一、填空（共20 分，每題2 分）1.設x2.3149541. ，取 5 位有效數(shù)字，則所得的近似值 x=.fx2fx1 14f x1, x2x2x1232. 設一階差商1，f x2, x3f x3f x2615x3x2422則二階差商fx1, x2 , x3_3.設 X (2, 3, 1)T, 則|X |2，|X |。4求方程x2x 1.25 0的近似根，用迭代公式xx 1.25 ，取初始值x0 1，那么 x1_ 。y 'f ( x, y)5解初始值問題y( x0 ) y0近似解的梯形公式是yk 1

9、_ 。11A6、51，則 A 的譜半徑。7、設f (x) 3x25, xkkh, k 0,1,2,. ,，則fxn , xn 1, xn2和fxn , xn 1, xn2, xn 3。8、若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A 為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯- 塞德爾迭代都。9、解常微分方程初值問題的歐拉（Euler ）方法的局部截斷誤差為。y12310(x 1)2( x 1)310、為了使計算x 1的乘除法運算次數(shù)盡量的少, 應將表達式改寫成。填空題答案1、5f x2 , x3f x1 ,x2311f x1 , x22, x3x12、x34 163、6 和144、ykhf xk 1 ,

10、 yk 1f xk , yk5、26、(A)67、fxn , xn 1 , xn 2 3, f xn , xn 1 , xn 2 , xn 30 8 、 收斂 9 、h113y 101210、x 1( x 1)( x 1)二、計算題（共 75 分，每題15 分）319f ( x)x2, x0, x1 1, x21設4419f x 在 4,x 使?jié)M足（1）試求4上的三次 Hermite 插值多項式''H ( xj )f (x j ), j0,1,2,.H ( x1 )f ( x1 )x 以升冪形式給出。（ 2）寫出余項 R(x)f ( x) H ( x) 的表達式計算題 1. 答

11、案x14 x3263 x2233 x11、（ 1）225450450251 951 )( x 1)2 ( x9),(x) ( 1, 9 )R x2 ( x（ 2）4!1644442已知的滿足，試問如何利用構(gòu)造一個收斂的簡單迭代函數(shù)，使0，1 收斂計算題2. 答案x12、由 x( x) ，可得 x 3x( x) 3x( (x) 3x)( x)，2因13) ，故1 1( x)2( ( x)( x)（ x）-3122故xk 11( xk ) 3xk, k=0,1,. 收斂。( xk )23 試確定常數(shù) A， B， C和 a ，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少

12、它是否為Gauss 型的計算題3. 答案A101612C, B,a3、995 ，該數(shù)值求積公式具有5 次代數(shù)精確度，它是Gauss 型的y ' f (x, y)4 推導常微分方程的初值問題y( x0 ) y0的數(shù)值解公式：yn 1yn 1h ( yn'1 4 yn'yn'1 )3（提示：利用 Simpson 求積公式。）計算題4. 答案4、 數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對方程yf (x)在區(qū)間xn 1, xn 1上積分，x n 1y( xn 1 )y(xn 1 )得x n 1xn 1f ( x, y (x)dx，記步長為 h,f ( x, y( x) dx對積

13、分xn 1用 Simpson 求積公式得xn 12h f ( xn 1 ) 4 f ( xn ) f ( xn 1 )h ( yn1 4yn yn 1 )f ( x, y( x) dxxn 163yn 1yn 1h ( yn 1 4ynyn 1)所以得數(shù)值解公式：3x12x23x3142x15x22x3185利用矩陣的LU分解法解方程組3x1x25x320計算題5. 答案1123ALU21145、解：35124令 Lyb 得 y(14, 10, 72)T ,Uxy 得 x(1,2,3)T .三、證明題（5 分）1設，證明解的 Newton 迭代公式是線性收斂的。證明題答案1、證明：因xn 1x

14、nxn 1xnf ( x)( x3f ( xn ) ,nf ( xn )( xn3a)26xn2 (xn3a)a)2 ,故 f ( x)6 x2 ( x3a),由Newton迭達公式 :0,1,. 得5xna,n 0,1,.66 xn2因迭達函數(shù)( x)5xa,而66x2又x 3 a ,則 ( 3 a )5a ( 3 a )63故此迭達公式是線性收斂的。( x)5a x 3 ,633511630,2一、填空題（ 20 分）(1). 設 x*2.40315是真值 x2.40194 的近似值，則 x*有位有效數(shù)字。(2).對 f ( x) x3 x 1, 差商 f 0,1,2,3 () 。(3).

15、設 X (2, 3,7)T , 則| X |。(4). 牛頓柯特斯求積公式的系數(shù)和nCk(n )k 0。填空題答案（1）3（2）1（3） 7（4）1二、計算題1).（ 15 分）用二次拉格朗日插值多項式L2 ( x)計算 sin 0.34 的值。插值節(jié)點和相應的函數(shù)值是（0，0），（，），（，）。計算題1. 答案L2 ( x)( xx1 )( x x2 )f 0( xx0 )( x x2 )f1( xx0 )( x x1 )f2( x0x1 )( x0 x2 )( x1x0 )( x1 x2 )(x2x0 )( x2 x1 )1）=0.3333362). （15 分）用二分法求方程 f (x)

16、x3x 1 0在 1.0,1.5 區(qū)間內(nèi)的一個根，誤差限10 2 。計算題2. 答案N6x1 1.25x21.375x31.31252)x41.34375x51.328125x61.32031254x12x2x311x14 x22 x3183). （ 15 分）用高斯 - 塞德爾方法解方程組2x1x25x322 ，取x (0 )(0,0,0)T ，迭代三次 ( 要求按五位有效數(shù)字計算 ).。計算題3. 答案3）迭代公式x1(k1)1 (112x2(k)x3(k ) )4x2(k1)1(18x1(k 1)2x3(k) )4x3(k1)1 (222x1( k 1)x2(k 1) )54).（ 15

17、 分）求系數(shù) A1 , A2和 A3 ,使求積公式11)A3 f ( 1)對于次數(shù)2的一切多項式都精確成立f (x)dx A1 f ( 1) A2 f (133。計算題4. 答案11112A1 A2A32 A13 A23 A30 A19 A29 A33A11A20A33224）3x12x210x31510x14x2x355). (10分) 對方程組2 x110x24x38試建立一種收斂的Seidel 迭代公式，說明理由計算題5. 答案5) 解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)10x14x2x352x110x24 x383x12x210x315故對應的高斯塞德爾迭代法收斂. 迭代格式為x

18、1( k 1)1 (4 x2(k )x3(k )5)10x2(k 1)1 ( 2x1(k 1)4x3( k )8)10x3( k 1)1( 3x1( k 1)2 x2( k 1)15)10取 x ( 0)(0,0,0)T , 經(jīng) 7 步迭代可得：x *x (7 )(0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T .三、簡答題1) （5 分）在你學過的線性方程組的解法中 , 你最喜歡那一種方法 ,為什么2) （5 分）先敘述 Gauss求積公式 , 再闡述為什么要引入它。一、填空題（ 20 分）1.若 a 是的近似值，則 a 有()位有效數(shù)字.=2.l 0 (

19、 x), l1 ( x), ln ( x) 是以 0,1, n 為插值節(jié)點的 Lagrange 插值基函數(shù)，則nil i ( x)().i 03.設 f ( x) 可微，則求方程xf ( x) 的牛頓迭代格式是().4.迭代公式 X (k 1)BX ( k)f 收斂的充要條件是。5.解線性方程組 Ax=b ( 其中 A 非奇異，b 不為 0) 的迭代格式 x (k 1)Bx ( k)f9x1x28中的 B稱為(). 給定方程組x15x24 ，解此方程組的雅可比迭代格式為 () 。填空題答案132. xxn 1xnf (xn )xn3.1f ( xn )4.(B)1x1k 11 (8 x2(k

20、) )9x2k 11 (4 x1(k ) )5. 迭代矩陣，5得評卷分人二、判斷題（共10 分）1.若 f (a) f (b)0 ，則 f ( x)0 在 ( a,b) 內(nèi)一定有根。()2.區(qū)間 a,b 上的三次樣條函數(shù)是一個次數(shù)不超過三次的多項式。()3.若方陣 A 的譜半徑( A)1，則解方程組Ax b 的=Jacobi 迭代法收斂。()4.若 fx與 gx)都是 n 次多項式，且在n個互異( )(+1點 xi in0上f ( xi ) g( xi )，則f ( x)g( x) 。()5.1 x1 x2用2 近似表示 ex 產(chǎn)生舍入誤差。()判斷題答案1.×2.×3.&

21、#215;4.5.×得評卷分人三、計算題（ 70 分）1. （ 10 分）已知 f (0) 1，f (3) ， f (4) ，求過這三點的二次插值基函數(shù) l 1 ( x)=() ，f 0,3,4 =(), 插值多項式P2 x)=(),用三點式求得(f (4)().計算題 1.答案由插值公式可求得它們分別為：1x( x4),7,17x7x( x3),和 2031 312151262. （15 分） 已知一元方程 x 3 3x 1.2 0 。1）求方程的一個含正根的區(qū)間；2）給出在有根區(qū)間收斂的簡單迭代法公式 ( 判斷收斂性 ) ；3）給出在有根區(qū)間的Newton 迭代法公式。計算題2.

22、 答案2. （1） f (0)1.20 , f (2)1.80 又f (x)連續(xù)故在 (0,2)內(nèi)有一個正根 ,（ 2）21x3 3x 1.2, ( x) (3x 1.2) 3, max ( x)x (0 ,2)1.221, xn 13 3xn 1.2收斂3f '( x) 3x23, xn 1xnxn33x1.23xn23（ 3）1Af ( 0.5) Bf ( x1 ) Cf (0.5)3. （15 分）確定求積公式f ( x)dx的待1定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度.計算題3. 答案3. 假設公式對 f ( x) 1,x, x2 , x3精確成立則有ABC20.5ABx

23、10.5C00.25ABx120.25C2330.125ABx0.125C01解此方程組得AC42, B33求積公式為11f ( x)dx4 f (0.5)2 f (0)4 f (0.5), 當f ( x) x4時,1321右邊代數(shù)精度為 3。左邊右邊左邊56y3x 2 y0 x 1y(0)14. （15 分）設初值問題.(1) 寫出用 Euler 方法、步長 h=解上述初值問題數(shù)值解的公式；(2) 寫出用改進的 Euler 法（梯形法）、步長 h=解上述初值問題數(shù)值解的公式，并求解y1 , y2 ，保留兩位小數(shù)。計算題4. 答案4. (1) yn 1yn0.1(3xn2 yn )0.3xn1

24、.2 yn(2) yn 1yn0.22 yn )3( xn 0.2) 2yn 12(3 xn=yn0.1(6xn2 yn2 yn 10.6)yn 13yn3xn32440迭達得3336333y11.575, y224042.5852400.2405.（15 分）取節(jié)點 x0 0, x1 0.5, x2 1 ，求函數(shù) y e x 在區(qū)間 0,1 上的二次插值多項式P2 ( x) ，并估計誤差。計算題5. 答案e 1e 0.5e 0.51p 2 ( x) e 0e0.51 ( x 0)10.50.50 (x 0)( x 0.5)0.50105=1+2( e 0 .51) x2( e 12e 0.5

25、1) x( x0.5)y''e x , M 3 max y''1, exp2 ( x)f ( ) x(x 0.5)( x 1)x 0,13!exp2 ( x)1 x(x 0.5)( x 1)0 x 1時 ，3!一、填空題 (每題 4 分，共 20 分 )1、數(shù)值計算中主要研究的誤差有和。2、設 l j ( x)( j0,1,2L n) 是 n 次拉格朗日插值多項式的插值基函數(shù)，則l j ( xi )(i, j0,1,2 L n) ；nl j (x)j 0。3、設 l j ( x)( j 0,1,2L n) 是區(qū)間式的代數(shù)精度為Aj a,b 上的一組 n 次插值基

26、函數(shù)。則插值型求積公；插值型求積公式中求積系數(shù)；且nAjj 0。4、辛普生求積公式具有次代數(shù)精度，其余項表達式為。5、 f ( x)x21, 則 f 1,2,3_, f 1,2,3,4_ 。填空題答案1. 相對誤差絕對誤差1, ij ,2. 0, ij1blk ( x)dx3. 至少是 nab-aba ( b a ) 4 f (4) ( ),( a,b)4.318025.10二、計算題1、已知函數(shù) yf ( x) 的相關數(shù)據(jù)P3 ( x)3P( 1)由牛頓插值公式求三次插值多項式，并計算2 的近似值。計算題 1. 答案解：差商表由牛頓插值公式：p3 ( x) N3 ( x)4 x32x28 x