高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線小結(jié)理知識(shí)精講 人教實(shí)驗(yàn)B版選修2－1

1、高二數(shù)學(xué)選修21圓錐曲線小結(jié)理人教實(shí)驗(yàn)B版【本講教育信息】一、教學(xué)內(nèi)容：選修21：圓錐曲線小結(jié)（第二章：第2.2，2.3，2.4節(jié)）二、教學(xué)目標(biāo)：1、掌握?qǐng)A錐曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求其方程，掌握其幾何性質(zhì)。2、能根據(jù)方程討論曲線的性質(zhì)，掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷方法，能夠正確熟練地解決有關(guān)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的一些問題。三、知識(shí)要點(diǎn)分析：1、知識(shí)框圖：2、知識(shí)歸納：名 稱橢圓雙曲線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓即 當(dāng)22時(shí)，軌跡是橢圓， 當(dāng)22時(shí)，軌跡是一條線段 當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常

2、數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線. 即當(dāng)22時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng)22時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：根據(jù)分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)：常數(shù)的關(guān) 系 ， 最大，最大，漸近線焦點(diǎn)在軸上時(shí)：焦點(diǎn)在軸上時(shí)：拋物線：圖象方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線3、橢圓的性質(zhì)：橢圓方程 （1）范圍：，橢圓落在組成的矩形中。 （2）對(duì)稱性：圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 （3）頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn) 橢圓共有四個(gè)頂點(diǎn)：，。叫橢圓的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為2a，叫橢圓的短軸，長(zhǎng)為2b。 （4）離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比。（）（5

3、）橢圓的準(zhǔn)線方程 對(duì)于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線對(duì)于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）4、雙曲線的幾何性質(zhì)： （1）頂點(diǎn) 頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長(zhǎng)為2a，a叫做實(shí)半軸長(zhǎng)。虛軸：長(zhǎng)為2b，b叫做虛半軸長(zhǎng)。 雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異。 （2）漸近線 雙曲線的漸近線（） （3）離心率 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：e>1 （4）等軸雙曲線 定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線。 等軸雙曲線的性質(zhì)：a、漸近線方程為：；b、漸近線互相垂直；c、離心率。（5）共漸近線的雙曲線系：如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程寫成。

4、（6）共軛雙曲線 以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。 （7）雙曲線的準(zhǔn)線方程： 對(duì)于來說，左準(zhǔn)線，右準(zhǔn)線； 對(duì)于來說，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線。 焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（也叫焦參數(shù)）。5、拋物線的幾何性質(zhì) （1）頂點(diǎn)：拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。 （2）離心率： 拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示。由拋物線的定義可知，e1。6、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程（A、B不同時(shí)為0）代入圓錐曲線的方程。消去（也可以消去）得到一個(gè)關(guān)于變量（或者變量）的一元二次方程。即，消去后的。（1）當(dāng)時(shí)，則有，直線與曲線相交；，

5、直線與曲線相切；，直線與曲線相離。（2）當(dāng)時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則與相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若 為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線是平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行?！镜湫屠}】例1. 已知橢圓 及直線 . （1）當(dāng) 為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？ （2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 ，求直線的方程. 分析：直線與橢圓有公共點(diǎn)，等價(jià)于它們的方程組成的方程組有解. 因此，只須考慮方程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式. 已知弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)公式就可求出 . 解：（1）把直線方程 代入橢圓方程 得 ，即 . ，解得 . （2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ， ，由（1）

6、得， . 根據(jù)弦長(zhǎng)公式得. 解得 . 因此，所求直線的方程為 . 說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長(zhǎng)問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別. 這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式. 用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程. 例2. 直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn). 當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn). 解：由方程組： 得 因?yàn)橹本€與雙曲線交于 、 兩點(diǎn) 解得 . 設(shè) ， ，則： ， ，而以 為直徑的圓過原點(diǎn)，則 ， . . 于是，即. 解得滿足條件. 故當(dāng)時(shí)，以為直徑的圓過原點(diǎn). 例3. 斜率為1的直線經(jīng)過拋

7、物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)、，求線段的長(zhǎng)。解法一：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線方程 . 由題設(shè)，直線 的方程為：. 將代入拋物線方程 ，整理得： . 解上述方程得： ， 分別代入直線方程得： 即 坐標(biāo)分別為 、 . 解法二：設(shè) ， ，則： 8解法三：設(shè) 、 B（x2，y2）. 由拋物線定義可知，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離. 即 同理 點(diǎn)撥：（1）解法一利用傳統(tǒng)的基本方法求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求出的長(zhǎng)。解法二沒有利用直線求出坐標(biāo)。而是利用韋達(dá)定理找到與的關(guān)系，利用直線截二次曲線的弦長(zhǎng)公式求得，這是典型的設(shè)而不求思想，方法比解法一先進(jìn)，解法三充分利用拋物線的定義，把過焦點(diǎn)的這一特殊

8、的弦分成兩個(gè)半徑的和，轉(zhuǎn)化為準(zhǔn)線的距離，這是思維質(zhì)的飛躍。 （2）拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離這就是拋物線的焦半徑公式。焦點(diǎn)弦長(zhǎng) 例4. 若直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程. 分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解. 另由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用“作差法”求k. 解法一：設(shè)、，則由：可得：直線與拋物線相交， 且，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：解得： 或（舍去）故所求直線方程為：解法二：設(shè) 、，則有兩式作差解：，即故或（舍去）則所求直線方程為：例5. （1）設(shè)拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求k值. （2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作

9、三角形，當(dāng)三角形的面積為9時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo). 分析：（1）題可利用弦長(zhǎng)公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo). 解：（1）由得： 設(shè)直線與拋物線交于 與 兩點(diǎn). 則有： ，即 （2），底邊長(zhǎng)為 ，三角形高 點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是 則點(diǎn)P到直線的距離就等于h，即 或 ，即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）或（5，0）. 本講涉及的數(shù)學(xué)思想、方法：圓錐曲線將幾何與代數(shù)進(jìn)行了結(jié)合，高考中是重點(diǎn)，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有。重點(diǎn)掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)，重視求曲線的方程或曲線的軌跡，加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的探究。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)

10、點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問題，因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決，這樣加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查，重視對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡(jiǎn)化解題過程的目的。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案（空間向量及其運(yùn)算）一、預(yù)習(xí)前知1、空間向量的概念是什么？2、空間向量的基本定理是什么？二、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)探究反思探究反思的任務(wù)： 空間向量的概念，共線向量定理，共面向量定理，空間向量基本定理，空間向量的數(shù)量積，夾角和距離公式1、在空間中，具有_和_的量叫做空間向量，其大小叫做向量的_或_.2、（1）共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b（b0），ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使_.（

11、2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使p_.3、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p_.4、空間向量的數(shù)量積：實(shí)數(shù)_叫做向量a，b的數(shù)量積，記作，即_.5、定理：如果向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間_向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使pxaybzc.6、平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算可以全部推廣到空間設(shè)a，b，則ab_，ab_，a_，ab_，ab_.7、夾角和距離公式【模擬試題】（答題時(shí)間：90分鐘）一、選擇題1、橢圓的兩焦點(diǎn)把兩準(zhǔn)線間的距離三等分，則這個(gè)橢圓的離心率是

12、 （ ） A. B. C. D. 以上都不對(duì)2、過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（，），B（，），若，則AB的中點(diǎn)C到拋物線準(zhǔn)線的距離為（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 23、已知、是拋物線上兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，若，且的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的直線方程為（ ）A. B. C. D. *4、若AB為拋物線（）的焦點(diǎn)弦，是拋物線的準(zhǔn)線，則以AB為直徑的圓與的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或25、拋物線到直線距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. *6、曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 二、填空題7、若，則方程的解的

13、個(gè)數(shù)是_個(gè)。*8、設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為_。*9、過A（1，0）且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為_。三、計(jì)算題10、求與橢圓 相交于 、 兩點(diǎn)，并且線段 的中點(diǎn)為 的直線方程. *11、已知橢圓 的焦點(diǎn)分別是 、 ，過中心 作直線與橢圓相交于 、 兩點(diǎn)，若要使 的面積是20，求該直線方程. *12、以橢圓 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線 上一點(diǎn) 作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn) 應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程. 【試題答案】1、解析: ，選C2、B3、D 4、B，相切5、B6、A7、3由8、2提示：又又故9、10、解：設(shè)、的坐標(biāo)分別為 ， 點(diǎn)、都在橢圓上 得 的中點(diǎn)為 ， ，即直線 的斜率為 . 所求直線方程為 即 11、