高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 一題多解妙不可言-求軌跡方程 人教版_第1頁
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文檔簡介

1、一 題 多 解，妙 不 可 言求動點(diǎn)軌跡方程2010年江南十校聯(lián)考（理科）第20題求動點(diǎn)軌跡問題，參考答案僅提供一種方法。在實際教學(xué)過程中，帶領(lǐng)學(xué)生通過探究討論發(fā)現(xiàn)還有更多巧妙的方法，現(xiàn)總結(jié)如下。ACDBRHEXYOF問題：如圖，過圓與軸的兩個交點(diǎn)A，B作圓的切線AC，BD，再過圓上任意一點(diǎn)H作圓的切線交AC，BD于C，D，設(shè)AD，BC的交點(diǎn)為R，求動點(diǎn)R的軌跡E的方程方法一（參考答案）：設(shè)則: 故切線CD的方程:切線交AC于，交BD于所以AD方程為 BC方程為由（1）×（2）得： 得代入（3）式可得 當(dāng)時，R（0，1）也滿足方程，故R的軌跡E的方程是方法一比較通用，但在化簡計算過程

2、中比較繁瑣，能否回避大量的計算呢？下面方法二明顯優(yōu)于方法一。方法二：設(shè)切線CD方程為，即，所以AD方程為 BC方程為，由（1）×（2）得：，代入可得 即 上述兩法均用交軌法求出R的軌跡方程，區(qū)別僅在于運(yùn)算量。有無更巧的方法呢？本題中根據(jù)點(diǎn)H落在坐標(biāo)軸上時，可以猜想出方程可能是，而在橢圓性質(zhì)中，橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓長軸上兩端點(diǎn)連線的斜率之積為定值，以此為突破口，借助圓的切線性質(zhì)可以求之。方法三：設(shè) 不妨設(shè) ，由圓的切線性質(zhì)可知： 過C作CEBD交BD于E，故 ，由勾股定理知：而 ，令 化簡可得：方法三運(yùn)用平幾與解幾相結(jié)合，回避了求直線方程，簡化了計算，真的很巧，但有沒有更妙的方法呢？大家都知道橢圓是由圓壓縮而成的，此處的橢圓是如何壓縮的呢？請看方法四，讀者一定會感到此法最妙！方法四：連接HR交軸于F ，故HF軸。故R為HF的中點(diǎn)，設(shè)，故R的軌跡E的方程是此法運(yùn)用了相似比

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