增分點4圓錐曲線中的定點、定值問題

1、初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中增分點圓錐曲線中的定點、定值問題定點問題求解 (或證明 )直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x， y 視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于x， y 的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點典例 x2y2(2017 全國卷 )已知橢圓C： a2 b2 1(ab0) ，四點P1(1,1)， P2(0， 1)，3， 3， P43 中恰有三點在橢圓C 上11，P22(1) 求 C 的方程；(2

2、) 設直線 l 不經(jīng)過 P2 點且與 C 相交于 A，B 兩點若直線P2A 與直線 P2B 的斜率的和為 1，證明： l 過定點 思路演示 解： (1)由于 P3，P4 兩點關于 y 軸對稱，故由題設知橢圓C 經(jīng)過 P3， P4 兩點1113又由a2 b2a24b2知，橢圓 C 不經(jīng)過點 P1，所以點 P2 在橢圓 C 上1 1，a2 4，b2因此13解得1，b2 1.22a4b2故橢圓 C 的方程為 x y2 1.4(2) 證明：設直線P2A 與直線 P2B 的斜率分別為k1，k2.如果 l 與 x 軸垂直，設 l：x t，由題設知 t 0，且 |t|0.設 A(x1， y1)， B(x2，

3、 y2)，8km4m2 4則 x1 x24k2 1， x1x24k2 1.而 k1 k2 y1 1 y2 1x 1x2 kx1 m 1 kx2 m 1x 1x2 2kx1x2 m 1 x1 x2 .x 1x2由題設 k1 k2 1，故 (2k 1)x1x2 (m 1)(x1 x2) 0.4m2 4 8km即 (2k 1) 4k2 1 (m 1) 4k2 1 0.解得 km 12.當且僅當 m 1 時， 0，于是 l： ym 1m 12xm，即 y 12 ( x 2)，所以 l過定點 (2， 1) 解題師說 (1) 本題第 (2) 問的關鍵是斜率存在時，設l ： y kx m(m 1)，然后與橢

4、圓方程x2 y241 聯(lián)立，再設兩個交點坐標，根據(jù)題目條件“直線P2A 與直線 P2B 的斜率之和為 1”，導出 k 與 m 的關系，最后根據(jù)方程特點說明直線過定點(2) 圓錐曲線中定點問題的2 種解法引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量引進參數(shù)法與參數(shù)何時沒有關系，找到定點特殊到一般根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關法 應用體驗 x2y21若直線 l：y kxm 與橢圓 C：4 3 1 相交于 A，B 兩點 ( A，B 不是左、 右頂點 )，且以 AB 為直徑的圓過橢圓C 的右頂點，求證：直線l 過定點，并求出該定點的坐標證明： 設橢圓 C 的右

5、頂點為A1(2,0) ，A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 A1A A1B，初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中y kx m，聯(lián)立方程x2 y2 1，4 3得 (4k2 3)x2 8kmx 4m2 12 0，則 x1 x28km， x1x24m2 1222 3，4k34k 所以 A1AA1B (x1 2)(x2 2) y1y2 (x1 2)( x2 2) (kx1 m)(kx2 m)22(k 1)x1x2 (km2)(x1 x2) 4 m4m2 12

6、 k2 18km km 2 4m2 0，4k2 34k23整理得7m2 16mk 4k24k2 0， 3解得 m 27k 或 2k.當222，過定點2，0 ；m7k時， kxx77y7k k當 m2k時， y kx2k，過定點 (2,0)，即過橢圓右頂點，與題意矛盾所以直線l 過定點2， 0 .7定值問題解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等 )的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路是：定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線

7、方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個值典例x2y26，0)，e2(2018 沈陽質檢 )已知橢圓 C： 2 2 1(ab0)的左焦點 F 1(2.ab(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 如圖，設R(x0， y0)是橢圓 C 上一動點，由原點O 向圓 (x x0 )2 (y y0)2 4 引兩條切線，分別交橢圓于點P，Q，若直線OP，OQ 的斜率存在，并記為k1，k2，求證： k1k2 為定值；初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習

8、題、數(shù)學初中2 2(3) 在 (2)的條件下，試問 |OP| |OQ| 是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由 思路演示 解： (1)由題意得， c6， e ca 22，解得 a 2 3， b6，22橢圓 C 的方程為 12x y6 1.(2) 證明：由已知，直線 OP： y k1x， OQ： y k2x，且與圓 R 相切，|k1x0 y0|2 2，1 k1化簡得 (x20 4)k21 2x0y0k1 y20 4 0，同理，可得 ( x20 4)k22 2x0y0k2 y20 4 0， k1， k2 是方程 ( x20 4)k22x0y0k y20 4 0 的兩個不相等的實數(shù)根，22y

9、0 4 x0 4 0，0， k1k2 x20 4.22點 R(x0， y0)在橢圓 C 上， x0 y0 1，1261221 22 2x01(定值 )即 y0 6 x0， k1 k2222x04(3)|OP|2 |OQ|2 是定值設 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，y k1x，x12122，聯(lián)立 x2y2解得1 2k1 1，22，1261212k1y1 2k1 x12 y1212 1 k122 .1 2k12同理，可得 x22 y2212 1 k22 .1 2k2222由 k1k2 1，得 |OP|2 |OQ|2 x21 y21 x22 y22 12 1 k21 12 1 k22 1

10、2 1 k21 21 2k11 2k21 2k11211222k118 36k1 18.1 21 2k121 22k1綜上， |OP|2 |OQ|218(定值 )初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中 解題師說 定值問題常見的2 種求法(1) 從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2) 引進變量法：其解題流程為 應用體驗 2已知點A， B 的坐標分別為(3， 0)， (3， 0)，直線AP， BP 相交于點P，且它2們的斜率之積為3.(1) 求點 P 的

11、軌跡方程；(2) 設點 P 的軌跡為 C，點 M ， N 是軌跡 C 上不同于 A， B 的兩點，且滿足AP OM ，BP ON，求證： MON 的面積為定值解： (1)設點 P 的坐標為 (x， y)，由題意得，kAPkBPy y 2(x 3)，x 3 x 33x2y2化簡得，點P 的軌跡方程為 3 2 1(x 3)(2) 證明：由題意知， M ， N 是橢圓 C 上不同于 A， B 的兩點，且 AP OM ， BP ON ，則直線 AP， BP 的斜率必存在且不為0.因為 AP OM ， BP ON ，所以 kOM kON kAPkBP 2.3設直線 MN的方程為 x my t， M ，

12、N 的坐標分別為 (x1， y1)， (x2， y2)，把 x my t代入橢圓方程 x2y2 1，得 (3 2m2) y2 4mty 2t2 6 0，324mt2所以 y1 y22， y1y22t 632m2.3 2m又 kOM kON y1y22y1y22x1x21 2 mt y1 y2 tm y y2t2 6 3t2 6m2，2t2 6222所以3t2 6m2 3，即 2t 2m 3.初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中又 SMON 11|t| 24t2

13、 48m2 722|t|y1 y2|22m2，326t26所以 S MON，224t6即 MON 的面積為定值2 .1已知拋物線C：y2 2px(p 0)的焦點 F(1,0) ，O 為坐標原點， A，B 是拋物線C 上異于 O 的兩點(1) 求拋物線 C 的方程；1(2) 若直線 OA， OB 的斜率之積為2，求證：直線 AB 過 x 軸上一定點2p所以 1，即 p 2.所以拋物線C 的方程為y2 4x.(2) 證明：當直線 AB 的斜率不存在時，設 A t22， t ， B t， t .44OA， OB 的斜率之積為1因為直線2，所以 t2 t1，化簡得 t2 32.2tt244所以 A(8

14、， t)， B(8， t)，此時直線AB 的方程為x8.當直線AB 的斜率存在時，設其方程為y kx b，A(xA， yA)， B(xB， yB)，y2 4x，聯(lián)立方程組消去 x 得 ky2 4y 4b 0.y kx b，4b由根與系數(shù)的關系得yAyB，因為直線 OA， OB 的斜率之積為1，2所以yA yB1 ，即 xAxB 2yAyB 0.xA xB22 2即 yAyB 2yAyB 0，4 4解得 yAyB 0(舍去 )或 yA yB 32.初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案

15、、數(shù)學練習題、數(shù)學初中所以 yAyB 4b 32，即 b 8k，k所以 y kx 8k，即 y k(x 8)綜合可知，直線AB 過定點 (8,0)x2y2x0xy0y2已知結論：若點P(x0，y22上一點，則直線22與橢圓相0) 為橢圓 a b 1l： a b 1x2y295切現(xiàn)過橢圓 C： 9 4 1 上一點 P 作橢圓的切線交直線x5 于點 A，試判斷以線段AP 為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由解： 首先取兩種特殊情形：切點分別在短軸兩端點時，求得兩圓的方程為：x9 52 (y 2)2 81或9 52 (y2) 281.則兩圓相交于點(5，0)，4 5，0.1

16、020x10205若定點為橢圓的右焦點F 2(5， 0)，則需證：PF 2 AF 2.設點 P(x ，yxx0yy0 1，所以點 A95， 20 4 5x0，00)，則橢圓過點 P 的切線方程是9455y0 ( 5 x， y4 5 ( 5 x4 5 (PF 220 4 5x0 ， PF2AF 200)， AF 25，5y00) 5y0) 20 4 5x0 4454505 x0 45x0 0，所以 PF 2 AF2.5y若定點為 Q 4 5， 4 5 20 4 5x0 5x0，0，則 PQx5)(y0)055AQ50(5y不滿足題意綜上，以線段AP 為直徑的圓恒過定點( 5， 0)x2y233

17、(2018 湖南五市十校聯(lián)考)已知橢圓 C：a2 b2 1(ab0)的離心率為5，過左焦點 F32且垂直于長軸的弦長為5 .(1) 求橢圓 C 的標準方程；(2)點 P(m,0)為橢圓 C 的長軸上的一個動點，過點P 且斜率為4的直線 l 交橢圓 C 于 A，5B 兩點，證明： |PA|2 |PB|2 為定值c3e a 5，a 5，解： (1)由 2b232可得 ，a 5 ，b 4c 3，a2 b2 c2，x2y2故橢圓 C 的標準方程為2516 1.初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中初中數(shù)學、數(shù)學課件、數(shù)學教案、初中數(shù)學試卷、試題數(shù)學、數(shù)學

18、導學案、數(shù)學練習題、數(shù)學初中5x2 y2 1，消去 x，并整理得25y2 20my(2) 證明：設直線 l 的方程為 x 4ym，代入 2516 8(m2 25) 0.設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則 y y 4m， y1y2 8 m2 25，12525又易得 |PA|2 (x1 m)2 y21 4116y21，同理可得 |PB|2 41 216y2.22412 241414m216 m2 25則 |PA| |PB | 16(y1 y2)16( y1 y 2 )2 2 y 1 y 2 16525 41.所以 |PA|2 |PB|2 是定值4 (2018 石家莊模擬 )已知橢圓x

19、2y2F1，F(xiàn) 2，C： 2 2 1(a b 0)的左、右焦點分別為ab離心率為 3，點 A 是橢圓上任意一點， AF 1F 2 的周長為 4 23.2(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 過點 Q( 4,0)任作一動直線 QN，若在線段l 交橢圓 C 于 M ， N 兩點，記 MQMN 上取一點 R，使得 MR RN，則當直線 l 轉動時，點 R 在某一定直線上運動，求該定直線的方程解： (1)因為 AF 1F2 的周長為4 2 3，所以 2a 2c 4 23，即 a c 23.又橢圓的離心率e ca 23，所以 a 2， c3，所以 b2 a2 c2 1.2x2所以橢圓C 的方程為 y 1.(2) 由題意可知，直線 l 的斜率必存在故可設直線l