塑性力學增量和全量本構(gòu)關(guān)系討論

1、塑性力學中本構(gòu)關(guān)系的討論摘 要：本構(gòu)方程是塑性力學解決問題不同于彈性力學的一大不同點，本文從主要 描述塑性變形問題的兩個本構(gòu)理論出發(fā)，借鑒現(xiàn)有理論和實驗結(jié)果，對比增量理論 和全量理論的優(yōu)缺及各自在工程中的適用性。關(guān)鍵詞：塑性力學；增量理論；全量理論；有限元法引言塑性力學和彈性力學之間的根本差別在于彈性力學是以應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān) 系的廣義胡克定律為基礎(chǔ)的。而塑性力學研究范疇中，應(yīng)力與應(yīng)變一般成非線性關(guān) 系，而這種非線性的特征又不能一概而論，對于不同的材料，在不同的條件下，都 具有不同的規(guī)律。塑性變形的基本規(guī)律是建立在實驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)實驗結(jié)果簡化 抽象出塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的特征。與彈性力學

2、比較，主要影響塑性力學本構(gòu)方程的有以下幾點：應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，具比例系數(shù)不僅與材料有關(guān)而且與塑性應(yīng) 變有關(guān)；由于塑性變形的出現(xiàn)，彈塑性材料在卸載時，體元的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)不能沿原來 的加載路徑返回，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對應(yīng)的關(guān)系，而與加載歷史有關(guān)；變形體中可分為彈性區(qū)和塑性區(qū)，在彈性區(qū)，加載與卸載都服從廣義胡克定律， 在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律而卸載過程服從廣義胡克定律。因此在塑性力學發(fā)展初期，最初提出的是以增量方法來討論應(yīng)力增量與應(yīng)變增 量之間的關(guān)系，它不受加載條件的限制，但在實際計算過程中，需要按加載過程中 的變形路徑進行積分，計算比較復(fù)雜。Hencky于1924年提

3、出的全量理論在實踐中 使用方便很多，但全量本構(gòu)關(guān)系僅能應(yīng)用于特定情況，及體元應(yīng)力-應(yīng)變過程為單調(diào)過程，不能描述彈塑性變形規(guī)律全貌。1.增量理論塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點是非線性和非簡單對應(yīng)，非線性及應(yīng)力與應(yīng)變關(guān) 系不是線性關(guān)系，非簡單對應(yīng)及應(yīng)變不能由應(yīng)力唯一確定。在材料變形的塑性階段，應(yīng)變狀態(tài)不僅由應(yīng)力狀態(tài)決定，還由整個應(yīng)力變化過程決定材料進入塑性變形階段，任一點的總應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變組成：e p ij ij ij當外載荷有微小增量時總應(yīng)變也有微小增量，其為彈性增量與塑性增量之和, 因此有：d ijp d ij die根據(jù)靜水壓力實驗，提出假設(shè)：塑性應(yīng)變不引起體積改變。在平均正應(yīng)力作用

4、下，物體的變形只包括彈性變形；在應(yīng)力偏量的作用下，不發(fā)生體積改變，物體產(chǎn) 生彈性變形和塑性變形，及在塑性狀態(tài)，材料不可壓縮，體積變形等于零：d ijp 0在塑性變形過程中的任一微小時間增量內(nèi)，塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量成正比，即：d ijp Sj d其中d為非負的標量比例常數(shù)，且根據(jù)加載過程的不同而變化。由于體積變化是彈性的，平均正應(yīng)變的塑性分量等于零?？倯?yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變分量與塑性應(yīng)變分量之和，故總應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量有如下關(guān)系：.1 .deij 2G 35d根據(jù)屈服條件可求得d ,當應(yīng)變增量為已知，可唯一求出應(yīng)力偏量。另外，當 材料接近理想塑性材料，塑性變形階段可忽略彈性應(yīng)變。塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力偏量

5、的關(guān)系表達式與胡克定律在形式上相似，不同之處在 于含有應(yīng)變增量和流動因子d ,整個討論過程涉及到塑性變形過程的不可壓縮性和 塑性變形的非線性，及其對加載路徑的依賴性。2 .全量理論彈塑性小變形的本構(gòu)關(guān)系是比彈性力學的本構(gòu)關(guān)系更廣義的關(guān)系，既包括彈性 極限內(nèi)的關(guān)系也包括彈性極限外的關(guān)系。全量理論企圖建立與彈性力學本構(gòu)關(guān)系相 類似的本構(gòu)關(guān)系，即與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系。根據(jù)彈性變形中應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的特點，可知全量理論需采用如下假定：應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量按比例增長，即滿足簡單加載（或比例加載）條件；應(yīng)力 主方向與應(yīng)變主方向一致，且應(yīng)力（或應(yīng)變）主方向始終保持不變。根據(jù)E.A .Davis等人的薄壁金屬

6、桶承受拉伸和內(nèi)壓實驗結(jié)果可知， 在簡單加載或 偏離簡單加載不大的情況下，盡管應(yīng)力狀態(tài)不同，但應(yīng)力應(yīng)變曲線都可以近似地用 單向拉伸曲線表示，這一假定（單一曲線假定）把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變曲線和 一維的應(yīng)力應(yīng)變曲線聯(lián)系在一起。根據(jù)簡單加載條件，有Sj Hej（H為可變的剛度系數(shù)）；根據(jù)單一曲線假定，引入一 一，代表簡單加載實驗得到的某種材料的應(yīng)力強度與應(yīng)變強度的關(guān)系，其中因此應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量的關(guān)系為：Sj 2ej ，將此偏量關(guān)系與彈性的體j 3 j變關(guān)系m 3K m結(jié)合起來即可得全量形式的本構(gòu)關(guān)系:ij m ijSjkkkk ij塑性全量理論從理論上講，不適用于簡單加載不成立的情況，但是由于該

7、理論 比用增量理論方便，它等價于求解一個非線性彈性力學的問題，因此很多人試圖將 它應(yīng)用于各種復(fù)雜加載情況。大量實際問題的分析表明，對于一些偏離了比例加載 路徑的問題，采用全量理論可以得到與增量理論相近的結(jié)果，比如失穩(wěn)問題。對于 薄板的塑性失穩(wěn)問題，用全量理論計算的結(jié)果甚至比用增量理論計算的結(jié)果更接近 于實驗結(jié)果。但在處理三維塑性問題時，塑性流動規(guī)律復(fù)雜，全量理論還無法很好 的解決。3 .基于增量理論的有限元法對于彈塑性問題進行有限元分析，平衡方程和幾何方程都是線性的，但本構(gòu)方 程是非線性的，需用迭代方法求解。另外，由于應(yīng)力和應(yīng)變的非線性關(guān)系，應(yīng)力和 位移也是非線性關(guān)系，所以用節(jié)點位移表示的平衡

8、方程也不是線性的?；谠隽坷碚摰乃苄宰冃伪緲?gòu)方程為三維空間問題彈性矩陣D為:1r2對稱加載時有1r2兩邊同乘D得到0,如果把彈塑性應(yīng)變增量和應(yīng)力增量之間的關(guān)系近似的表示為其中D eD為彈塑性矩陣（D epeD D DP）,是元素當前應(yīng)力水平的函數(shù)，與增量 epL無關(guān)。為了做到線性化的目的，采取逐步增加載荷的方法（荷載增量法），在一定應(yīng)力和應(yīng)變的水平上增加一次載荷，而每次增加的載荷要適當?shù)男?，以致求解非線性問 題可以用一系列線性問題所代替。在加載過程中，彈塑性問題和非線性彈性問題在本質(zhì)上是一樣的，在卸載過程中，只要將彈性矩陣D代替De。成為線彈性問題。ep基于全量理論的的有限元計算方法，不同于增

9、量理論之處在于，荷載是一步加上去的，其求解過程采用迭代逼近的方法。4 .結(jié)論由于塑性變形問題中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性和非簡單對應(yīng)，需要以增量的方式描 述其本構(gòu)關(guān)系，增量理論在理論和應(yīng)用上都是成熟的。在滿足簡單加載和單一曲線 假定的前提下，對增量理論進行積分得到全量理論，一些實驗和實際工程結(jié)果證明 滿足上述假定或稍許偏離比例加載路徑情況下，全量理論不僅可以簡化計算，而且 能夠滿足一定的精度要求。5 .展望塑性變形的有限元處理中，不論是增量形式還是全量形式的求解方法，都是把 非線性問題通過迭代的方法轉(zhuǎn)化成線性問題，但計算效率和結(jié)果精度的差異海需要 通過計算實例分析對比。參考文獻：1徐秉業(yè)，陳森燦.塑性理論簡明教程M.北