高等數(shù)學課件：11-3函數(shù)項級數(shù)

1、 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 河海大學理學院河海大學理學院第三節(jié) 冪級數(shù) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）一、函數(shù)項級數(shù)的概念1.1.定義定義: :,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）2.2.收斂點與收斂域收斂點與收斂域: :如果如果Ix 0, ,數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù) 10)(nnxu收斂收斂, , 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）)()(limxsxsnn 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)項級數(shù)的部分和余項余項)()()(xsxsxrnn ( x 在收斂域上在收斂域上)0)(lim xrnn注意注意 函數(shù)項級數(shù)在某點函數(shù)項級數(shù)在某點 x 的收斂問題的收斂問題, ,實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的

2、收斂問題實質(zhì)上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題. .3.3.和函數(shù)和函數(shù): : )()()()(21xuxuxuxsn),(xsn 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例 1 1 求求級級數(shù)數(shù)nnnxn)11()1(1 的的收收斂斂域域.解解由達朗貝爾判別法由達朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x當當,20時時或或即即 xx原級數(shù)絕對收斂原級數(shù)絕對收斂. ., 11 x 1 xI 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）, 111)2( x當當, 11 x,02時時即即 x原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散. .,0時時當當 x 1)1(nnn級數(shù)級數(shù)收斂收斂; ;,2時時當當 x 11n

3、n級級數(shù)數(shù)發(fā)散發(fā)散; ;);,),( 02故級數(shù)的收斂域為故級數(shù)的收斂域為, 1|1|)3( x當當, 20 xx或或 ,1 xI又又 ).0 , 1()1, 2 發(fā)發(fā)散散域域為為 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）二、冪級數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :,000nnnxax 時時當當2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例如級數(shù)例如級數(shù);,1收斂收斂時時當當 x;,1發(fā)發(fā)散散時時當當 x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 1 1,( 發(fā)散域發(fā)散域 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）定理定理 1 1 (Abel 定理定理) ( (1 1) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在)0(00 xxx

4、處處收收斂斂, ,則則 對對一一切切滿滿足足不不等等式式0 xx 的的點點 x，該該級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ; ( (2 2) )如如果果級級數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則對對一一切切滿滿足足不不等等式式0 xx 的的點點 x，該該級級數(shù)數(shù)都都發(fā)發(fā)散散. . 證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時時當當 xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂

5、即即級級數(shù)數(shù) nnnxa 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）,)2(0時時發(fā)發(fā)散散假假設設當當xx 反反設設有一點有一點1x滿足滿足01xx 使級數(shù)收斂使級數(shù)收斂, , 則則級級數(shù)數(shù)當當0 xx 時時應應收收斂斂,這與所設矛盾這與所設矛盾.證證畢畢. 由由(1)結論，結論，冪級數(shù)收斂域的可能情形：冪級數(shù)收斂域的可能情形：顯然顯然 0nnnxa在在 x 0 處收斂處收斂, ,若找不到其它非若找不到其它非零的收斂點，則此冪級數(shù)的收斂域為零的收斂點，則此冪級數(shù)的收斂域為0. . 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）1)(nnnx0!nnnx).(0, 01nuuxnn對于1收斂令nnnxaxD 高等數(shù)學（下）高等

6、數(shù)學（下）xo R RAbel幾何意義幾何意義:絕對收斂區(qū)域絕對收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）如如果果冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數(shù)數(shù)軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當當Rx 時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪級數(shù)發(fā)散冪級數(shù)發(fā)散;當當RxRx 與與時時, ,冪冪級級數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散. .推論推論定義定義: : 正數(shù)正數(shù) R 稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的

7、收斂半徑收斂半徑. . 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）收斂半徑收斂半徑R的特征：的特征： 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例 設冪級數(shù)設冪級數(shù) 當當 時發(fā)散時發(fā)散, ,當當 時收斂時收斂, ,則該級數(shù)的收斂半徑是則該級數(shù)的收斂半徑是_._. nnxxa)(00 xx 03 xx 02 x 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）定義定義: : 正數(shù)正數(shù) R 稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑. .),(00RxRx 稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間. .冪級數(shù)的收斂域有四種可能冪級數(shù)的收斂域有四種可能. .規(guī)定規(guī)定, 0 R, R問題問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑? ? 高等數(shù)

8、學（下）高等數(shù)學（下）定定理理 2 2 設設冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa, 如果如果 nnnaa1lim (或或 nnnalim) (1) 則則當當0 時時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;證明證明應應用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x , 0 x 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa由比值審斂法由比值審斂法, ,1|時時當當 x.收收斂斂絕絕對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxa,1|時時當當 x. 0nnnxa發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù); 1 R收收斂斂半半徑徑

9、, 1 x , 1 x 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）, 0)2( 如如果果,0 x),( nxaxannnn1011有有.收收斂斂絕絕對對級級數(shù)數(shù) 0nnnxa; R收斂半徑收斂半徑,)3( 如果如果, 0 x. 0 R收斂半徑收斂半徑定理證畢定理證畢. .nnnnnxaxa11lim x. 0nnnxa發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）.1lim1Raannnnnnxn1) 1(2nnnnnunnaa) 1(21) 1(2113lim,31lim122nnnnuu.lim1不存在nnnaa 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例1 1 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)域求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)域: :

10、解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn ,1時時當當 x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂,1時時當當 x,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)發(fā)該級數(shù)發(fā)散散 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）nnna limnn lim, 級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂, 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 11lim nn, 0 , R收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( . 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）nnnaa1lim 12lim nnn2 ,2

11、1 R.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0時時當當 x,11 nn級數(shù)為級數(shù)為,1時時當當 x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)域為故收斂區(qū)域為 (0,1. 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）解解 3523222xxx級數(shù)為級數(shù)為缺少偶次冪的項缺少偶次冪的項應應用用達達朗朗貝貝爾爾判判別別法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 級數(shù)收斂級數(shù)收斂, , 1212 x當當,2時時即即 x 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）, 1212 x當當,2時時即即 x級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,2時時當當 x,211 n級數(shù)為級數(shù)為,2時時當當 x,21

12、1 n級數(shù)為級數(shù)為級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, ,原級數(shù)的收斂域為原級數(shù)的收斂域為).2, 2( 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 0nnnxa 112nnnxa112nnnxa112nnnxa 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）三、冪級數(shù)的運算1.1.代數(shù)運算性質(zhì)代數(shù)運算性質(zhì): :(1) (1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設設 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）(2) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx

13、, ( (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例: :求求 的收斂域的收斂域 , ,nnnnx13) 1(23nnnnnnnxx113) 1(233與及和及和s.s.11132333) 1( 23nnnnnnnnxxxxxxx 3233收斂域收斂域(-3,3)(-3,3) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）2.2.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)和函數(shù)的分析運算性質(zhì): :(3) (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa

14、.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內(nèi)收斂域內(nèi)( (相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多) ) 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)1000010 nnnxxnnnxxnadxxxa)()( 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)因此和函數(shù)因此和函數(shù))(xs在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間),(RR 內(nèi)具有內(nèi)具有 任意階導數(shù)任意階導數(shù). . 高等數(shù)學（下）

15、高等數(shù)學（下）思考題思考題 冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？么它的收斂域是否也不變？ 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）解解不一定不一定. .例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它們的收斂半徑都是它們的收斂半徑都是1,1,但它們的收斂域各是但它們的收斂域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 思考題思考題冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它冪級數(shù)逐項求導后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？的收斂域是否也不變？ 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）例例 4

16、4 求求級級數(shù)數(shù) 11)1(nnnnx的的和和函函數(shù)數(shù).解解,)()( 111nnnnxxs設設兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）,1時時又又 x.1)1(11收收斂斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即, 0)0( s顯然顯然?)1(11的的和和求求 nnn2ln1)1(, 0111 nnnx令令 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 121nnxn)(1) 1(nntn1,)1()(1 ttntsnn設設 100)1()(nxnxdttndtts則則xx 122)1(11)(xxs 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下）1)1(11)()1(22212 x