2020高考數(shù)學復習-專題01導數(shù)與函數(shù)的最(極)值(訓練篇B)-用思維導圖突破導數(shù)壓軸題

1、2020高考最后沖刺必刷專題01導數(shù)與函數(shù)的最(極)值(訓練篇 B)-用思維導圖突破導數(shù)壓軸題1.(2015 新課標全國n ,12)設函數(shù))是奇函數(shù)f(x)(xC R)的導函數(shù)，f(1) = 0，當x0時,xf (x)f(x)v 0,則使得f(x)0成立的x的取值范圍是堅持就是勝利!A.(-oo , -1) U (0,1)B.( 1,0) U (1, +oo)C.(8 , T)U(1,0)D.(0,1) U(1,+oo)f (x)時,令 g(x) = xxf (x) -f (x)解 因為f(x)(xC R)為奇函數(shù),f(-1) =0,所以f(1) =為(-1) =0.當xwo一_ 一一. .f

2、 (x)則 g(x)為偶函數(shù)，且 g(1) = g(1)= 0.則當 x0 時,g (x)=()xV0,故g(x)在(0, +8 )上為減函數(shù),在(OO ,0)上為增函數(shù)所以在(0,)上當0vxv1f (x)時,g(x)g(1) = 0? 0? f(x)0;x在(一8 ,0) 科 x- 1 時,g(x)vg( 1)= 0? f 0.綜上，得使得 f(x)0 x成立的x的取值范圍是(8 , -4) U(0,1),選A.2. (2015年新課標H ,理12)設函數(shù)f (x)是奇函數(shù)f(x)(x R)的導函 數(shù)，f( 1) 0 ，當x 0時，xf (x) f (x) 0,則使得f (x) 0成立的x

3、的取 值范圍是()(A) (, 1)U(0,1)(B) ( 1,0) U(1,) (, 1)U( 1,0)(D)(0,1)U(1,)解設F(x) 工(M,則F(x) xf (x) 2 f (x),由已知得，當 x 0時， xxxf (x) f (x) 0 ,所以當x 0時，F(xiàn) (x) 0 ,即F(x)在(0,)上單調(diào)遞減；又f(x)(x R)為奇函數(shù)，則F(x)f 為偶函數(shù)，即F(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且 xF( 1) F(1) 0.當 0 x 1 時，F(xiàn)(x) 0, f (x) 0,當 x 1 時，F(xiàn)(x) 0, f (x) 0,綜上所述, 使得f(x) 0成立的x的取值范圍是(，1)U

4、(0,1).23.(2017 年山東理第20題)已知函數(shù)f X X 2COSX, Xg x e cosx Sinx 2x 2 ,其中e 2.71828L是自然對數(shù)的底數(shù).(i)求曲線y f x在點 ，f處的切線方程；(2)令h x g x af x (a R),討論h x的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時 求出極值.2解(1)函數(shù)f x的導函數(shù)f x 2x 2sinx,于是f2,22f2 ,所求的切線方程為y 2 x2,也即y 2 x 2.,一_一 ,.x2(2)根據(jù)題意，有 h x e cosx sinx 2x 2 ax 2acosx,其導函數(shù)h x 2 ex a x sin x。由于 x s

5、inx 1 cosx,于是該函數(shù)單調(diào)遞增，有唯 一零點x 0 .這樣就得到了討論分界點a 0,1 .a 0.此時函數(shù)h x在 ，0上單調(diào)遞減，在 0,上單調(diào)遞增，在x 0處取得極小值 1 2a. 0 a 1.此時函數(shù)h x在 ，lna上單調(diào)遞增，在 lna,0上單調(diào)遞減，在0,上單調(diào)遞增，在x ln a處取得極大值22a ln a 2 a aln a a sin ln a a cosln a ,在 x 0 處取得極小值1 2a. a 1 .此時函數(shù)h x在R上單調(diào)遞增，沒有極值. a 1 .此時函數(shù)h x在 ,0上單調(diào)遞增，在 0,ln a上單調(diào)遞減，在lna,上單調(diào)遞增，在 x 0處取得極大

6、值1 2a,在x lna處取得極小值22a ln a 2a aln a a sin ln a a cosln a。1 x4. (2015北東，理18)已知函數(shù)f(x) ln.1 x(1)求曲線f(x)在點0, f 0處的切線方程；x3、(2)求證：當 x (0,1)時，f(x) 2( x 一)； 33 x一(3)設實數(shù)k使得f(x) k (x 一)對x (0,1)恒成立，求k的最大值.3解因為 f(x) ln(1 x) ln(1 x),所以 f(x) , f(0) 2.1 x 1 x又因為f(0) 0,所以曲線y f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y 2x .32x2 2x(2)令 g

7、(x) f(x)2(x 式)，則 g (x) = f (x)- 2(1+ x ) = 2 .3 1- x因為0 x 0,所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.3 x 所以 g(x) g(0) 0,即當 x (0,1)時，f(x) 2(x 一).3x3由(2)知，當k 2時，f(x) k(x )對x (0,1)恒成立. 33x .2當 k 2 時，令 h(x) f (x) k(x ),則 h (x)= f (x) - k(1+ x ) 34 _kx - (k- 2)d 2.1- x所以當0 x 419二時，h(x)0,則當 x (,0)U, 時，f (x) 0;當x 0,時，f (x) 0.故

8、33a a f (x)在(,0), a ,單調(diào)遞增，在 0,a單調(diào)遞減；33若a=0, f(x)在(，)單調(diào)遞增；a.a一若 a0,則當 x ， U(0,)時，f(x) 0;當 x ,0 時，f (x) 0.故33f(X)在a a ,(0,)單調(diào)遞增，在 一,0單調(diào)遞減.33(2)滿足題設條件的a, b存在.(i)當a3時，由(1)知,f(x)在0,1單調(diào)遞減，所以f (x)在區(qū)間0,1的最大值為f (0)= b ,最小值為a b .此時a, b滿足題設條件當且僅當b 1,(iii )當 0 a3時,a由(1)知，f (x)在0, 1的最小值為f 33a一 b,取大273a27b=1，貝U a

9、33/2 ,與0a/3 或 a=0 ,0a yexMe為自然對數(shù)的底數(shù)),求f(X2)f(xi)的最大值.1解(1) /f, (x)=-+x-a(x0),又 f(x)在(0, +8 )上單調(diào)遞增，恒有 f (x) x即，+xao 恒成立，aw x + - min , xx而 x + l2x =2,當且僅當 x = 1 時取 “ = aw 2. xx即函數(shù)f(x)在(0, +OO )上為單調(diào)遞增函數(shù)時，a的取值范圍是(一8, 2.(2) ; f(x)在x = xi和x= x2處取得極值,1x2-ax+1且尸(x) = +x-a=(x0),xx1. x1, x2是方程x2 ax +1 = 0的兩個

10、實根。x2122 x212 一 x1)= In x- 2(x2 - xi )= In - - 2 (x由根與系數(shù)的關(guān)系得x + x2=a, x1x2 = 1,x2122所以 f(x2) f(x1)= In - + _(x2- x1)-a(x x1221 x21x2x1x1)x1x21n x12x1x2x2-1設 t = (tn e),令 h(t)=ln t t 111 t1 2則 h，(t)= -2 1 +y =-2t2 0,1 h(t)在e, + )上是減函數(shù),h(t) wh(e) = 2 1 - e + ?，上，+1e故 f(X2)f(xi)的最大值為 2 1 e + -e-9. (201

11、8 全國m, 21)已知函數(shù)？= (2 + ?+ ?ln(1 + ?- 2?(1)若？?= 0,證明：當-1 ? 0時，? 0時，? 0;(2)若？?= 0是？?？的極大值點，求?.,?解(1)當？?= 0時，?(?= (2 + ?)ln(1 + ?)- 2? ?(?)= ln(1 + ?)- 布?.設函數(shù)？?(?= ?(?)= ln(1 + ?)-?1+?，則?(?) =?(1+?)2.一 、一 / .一 、一 / .一 、一當-1 ? 0時,?(?) 0時,?(?) 0.故當? -1 時，?(?)?(0) = 0,且僅當？?= 0時，?(?= 0,從而？?(?) 0,且僅當？?= 0時，?

12、(?)= 0.所以？?(?空(-1, + 8)單調(diào)遞增.又？(0)= 0,故當-1 ? 0時，?(? 0時，?(? 0.(2) (i)若？? 0,由(1)知，當？? 0時，？?(?/(2 + ?)ln(1 + ?)- 2? 0 = ?(0), 這與？?= 0是？(?)極大值點矛盾?(?)2?(ii)若？? 0,設函數(shù)？(?)= 2+?= ln(1 + ?)- 2+?赤為由于當|?| 0,故？(?內(nèi)？(?和號相同又？(0) = ?(0) = 0,故？?= 0是？?(?物極大值點當且僅當？?= 0是？(?)的極大值點(?)=11+?2(2+?+? )-2?(1+2?)(2+?+?)2?(? ?2+

13、4?+6?+1) (?+1)(?+?+2)2 .一一,6?+1 一1,-如果 6?+ 1 0,則當 0 ? - -,且 |?| 0,故？?= 0不是？(?)的極大值點.如果 6?+10,貝 U ? + 4? 6?+ 1 = 0存在根？ 0 ,故當？C (?,0),且 |?|1min1,防不時，？ (?) 0；當？e(0,1)時,?(?)0 時，求 g(x)=xln 1+十ln(1 +x)的最大值. x x解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(1 , +8 ) f (x) =3當一1v2a 3v0,即 1vav 一時，2當1 vxv 2a3 或 x0 時，f (x)0,則 f(x)在(1 , 2a-

14、3), (0, +o )上單調(diào)遞 增，當 2a3vxv0 時，f (x) 0,則f(x)在(-1 ,)上單調(diào)遞增.3當2a 30,即a2時，當一1 vxv 0 或 x2a 3 時，f (x)0,則f(x)在(-1,0) , (2a-3, +8 )上單調(diào)遞增，當 0 vxv2a 3 時，f (x)0,則 f(x)在(0,2 a - 3)上單調(diào)遞減.3綜上，當1va2時，f(x)在(一1,2a 3), (0, +o )上單調(diào)遞增，在(2 a 3,0)上單調(diào) 3遞減；當 a = 2時，f(x)在(一1, +oo )上單調(diào)遞增；當2vaw2 時，f(x)在(一1,0), (2a3, + 8 )上單調(diào)遞

15、增，在(0,2 a 3)上單調(diào)遞減.(2) - g(x)= x+： ln(1 +x)-xln x = g ；, xx g(x)在(0, +8 )上的最大值等價于g(x)在(0,1上的最大值.令 h(x)=g (x)= 1 -1 ln(1 +x)+ x+1 -(ln x+1)= 1 -1 ln(1 +x)In xx 1+xxx+Lx1 +x2，則 h (x)= - In 1 + xx2x2 +xx+ 1 2由可知當a = 2時，f(x)在(0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)vf(0)=0, h (x)0),令 f (x)=0,得 x1 = 11x2= ,2a當x變化時，f (x), f(x)隨x的變化情況如下表：x1。，2121一，12，1(1, +)f (x)十0一0十f(x)極大值極小值因為f(x)在x= 1處取得極值，所以 x2 =Wx=1.2a當a0 ,即 x2= -0 2a時,若以 1，f(x)在0,2a1 , e上單調(diào)遞增，在1%, 1上單調(diào)遞減，所以最大值可能在x = 丁或x = e處取得，而 2af 丁 =ln + a 丁2a 2a 2a-(2a+1)痛力逅西一0,令 f(e) = ln e