第6章剛體的平面運動習(xí)題解答080814

1、第六章 剛體的平面運動本章要點一、剛體平面運動的描述1 剛體的平面運動方程：，.2 平面圖形的運動可以看成是剛體平移和轉(zhuǎn)動的合成運動：剛體的平面運動（絕對運動）便可分解為隨動坐標(biāo)系（基點）的平移（牽連運動）和相對動坐標(biāo)系（基點）的轉(zhuǎn)動（相對運動）。其平移部分與基點的選取有關(guān)，而轉(zhuǎn)動部分與基點的選取無關(guān)。因此，以后凡涉及到平面圖形相對轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度時，不必指明基點，而只說是平面圖形的角速度和角加速度即可。二、平面運動剛體上點的速度1 基點法：平面圖形內(nèi)任一點的速度，等于基點的速度與點繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和，即，其中的大小為，方向垂直于AB，指向與圖形的轉(zhuǎn)動方向相一致。2投影法速度投影定理

2、：在任一瞬時，平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等，即 3瞬心法任意瞬時平面運動圖形上都存在速度為零的點，稱為該平面圖形的瞬時速度中心，簡稱瞬心。平面圖形上各點速度在某瞬時繞瞬心的分布與繞定軸轉(zhuǎn)動時的分布相同，但有本質(zhì)區(qū)別。繞定軸轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動中心是一個固定不動的點，而速度瞬心的位置是隨時間而變化的。面圖形內(nèi)任意一點的速度，其大小等于該點到速度瞬心的距離乘以圖形的角速度，即，其方向與CM相垂直并指向圖形轉(zhuǎn)動的一方。若在某瞬時，則稱此時剛體作瞬時平移，瞬時平移剛體的角加速度不為零。解題要領(lǐng)：1 建立平面運動剛體的運動方程時要注意選取合適的點為基點，以使問題簡單，。2 由于在基點建立的是

3、平移坐標(biāo)系，因此，相對基點的角速度就是相對慣性坐標(biāo)系的角速度。3 平面運動剛體上點的速度計算的3種方法各有所長：基點法包含剛體運動的速度信息，但過程繁雜；速度投影法能快捷地求出一點的速度，但失去角速度信息；瞬心法簡單明了和直觀是常用的方法。4 當(dāng)用基點法時，要注意基點的速度矢和相對基點的速度矢組成速度平行四邊形的兩邊，對角向才是這一點的速度矢。速度基點法能且只能解2個未知量，因此，在涉及的3個速度中至少有一個速度的大小和方向都是已知的，在畫速度平行四邊形時先畫這個速度。5 應(yīng)用速度投影法時，要注意投影是有正負的，兩點的速度必須協(xié)調(diào)，符合剛體的定義。6 在找速度瞬心時，作速度矢量時要注意各速度的

4、協(xié)調(diào)，同一剛體上的兩點速度方向可以確定速度瞬心的位置。 三、平面運動剛體上點的加速度平面圖形上任意一點的加速度，等于基點的加速度與該點繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和，即，進一步，當(dāng)基點A和所求點B都作曲線運動時，它們的加速度也應(yīng)分解為切向加速度和法向加速度，上式寫為 ，其中 ，分別為點的曲率半徑。 特殊地，當(dāng)剛體作瞬時平移時，有加速度投影定理 .解題要領(lǐng)1 加速度基點法一般涉及6個加速度矢量，其中3個法向加速度是與速度或角速度有關(guān)，這可以通過速度分析求得，而的方向與垂直為已知，剩下5個因素中只可以存在2個未知量。2 一般選加速度的大小和方向都已知的一點為基點。3 加速度基點法最多涉

5、及6個矢量，應(yīng)通過列投影式解代數(shù)方程求解。投影式中等號一邊是點加速度的投影，另一邊是基點的加速度和相對于基點加速度投影的代數(shù)和，千萬不能寫成“平衡方程”的形式。4 加速度投影定理只在剛體作瞬時平移時成立。5 可以證明剛體作平面運動時也存在加速度瞬心，即加速度為零的點，但這必須在角速度和角加速度皆已知的情況下才能確定，因此無助于解題，所以沒有“加速度瞬心法”。第七章 剛體的平面運動 習(xí)題解答題6-1圖6-1 橢圓規(guī)尺AB由曲柄OC帶動，曲柄以角速度繞O軸勻速轉(zhuǎn)動，如圖所示。如，并取C為基點，求橢圓規(guī)尺AB的平面運動方程。解：AB桿作平面運動，設(shè)時，則。選AB桿上的點位基點，建立平移坐標(biāo)系，在圖示

6、坐標(biāo)系中，桿在固定坐標(biāo)系的位置由坐標(biāo)確定，所以桿的平面運動方程為：， . 題 6-2圖6-2 桿AB的A端沿水平線以等速v運動，在運動時桿恒與一半圓周相切，半圓周半徑為R，如圖所示。如桿與水平線的夾角為，試以角表示桿的角速度。解： 解法一：桿AB作平面運動。選取為基點，由速度基點法，作圖示幾何關(guān)系，圖中，解得，AB桿的角速度為 （逆時針）. 解法二：在直角三角形ACO中，對時間求導(dǎo)，得 其中，解得AB桿的角速度為 ，（負號表示角速度轉(zhuǎn)向與角增大的方向相反，即逆時針）題6-3圖 6-3 半徑為r的齒輪由曲柄OA帶動，沿半徑為R的固定齒輪轉(zhuǎn)動，如圖所示。如曲柄OA以等角加速度繞O軸轉(zhuǎn)動，當(dāng)運動開始

7、時，角速度，轉(zhuǎn)角。求動齒輪以中心A為基點的平面運動方程。解：動齒輪作平面運動。建立與曲柄OA固結(jié)的轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，和在動齒輪的A點建立平移坐標(biāo)系，如圖所示，從圖中可見，因動齒輪和固定齒輪間沒有滑動，所以存在關(guān)系小輪半徑相對平移坐標(biāo)系，也即固定坐標(biāo)系得轉(zhuǎn)角為, 而 ， 可得小輪平面運動方程為 ， .題 6-4圖6-4 圖示機構(gòu)中，已知m，m，m，m；rad/s。在圖示位置時，曲柄OA與水平線OB垂直；且B、D和F在同一鉛直線上，又。求EF的角速度和點F的速度。解：如圖所示，對各構(gòu)件進行速度分析.1）桿作平面運動. 因 ，所以桿為瞬時平移，得.2）桿作平面運動. 由找得桿的速度瞬心為D點，所以，桿上的

8、速度分布好像與三角板一起繞作定軸轉(zhuǎn)動一樣，得，方向如圖示.3）桿作平面運動. 由找得桿的速度瞬心為，故有 ，（順時針）；，（方向向上）。題 6-5圖6-5 圖示四連桿機構(gòu)中，連桿由一塊三角板ABD構(gòu)成。已知曲柄的角速度rad/s，mm，mm，mm。當(dāng)mm鉛直時，AB平行于，且、A、D在同一直線上，角。求三角板ABD的角速度和點D的速度。解：桿和桿作定軸轉(zhuǎn)動，三角板做平面運動， 由找得三角板的速度瞬心為點，如圖所示. 故 ，三角板ABD的角速度：，（逆時針）.D點的速度：.題 6-6圖6-6 圖示雙曲柄連桿機構(gòu)中，滑塊B和E用桿BE連接，主動曲柄OA和從動曲柄OD都繞O軸轉(zhuǎn)動。OA以勻角速度ra

9、d/s轉(zhuǎn)動。已知mm，mm，mm，mm，mm。求當(dāng)曲柄OA垂直于滑塊的導(dǎo)軌方向時，曲柄OD和連桿DE的角速度。解：如圖機構(gòu)中，主動曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動， ，桿作平面運動，在圖示瞬時，由知，桿作瞬時平移，有 .作平移，. 有找得桿速度瞬心為D點.在圖示位置上可得 ，由此可知 ，桿角速度為 ，D點的速度為，曲柄OD的角速度為， （逆時針）.題6-7圖6-7 使砂輪高速轉(zhuǎn)動的裝置如圖所示。桿繞軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為r/min，處用鉸鏈連接一半徑為的動齒輪2，桿轉(zhuǎn)動時，輪2在半徑為的固定內(nèi)齒輪3上滾動，并使半徑的輪1繞軸轉(zhuǎn)動。輪1上裝有砂輪，隨同輪1高速轉(zhuǎn)動。求砂輪的轉(zhuǎn)速。解：如圖所示: 設(shè)輪1和桿的角速度分別

10、為和，桿作定軸轉(zhuǎn)動，故 輪1和輪2嚙合點M的速度 ，注意，可得輪1的角速度 ，（順時針）輪1的轉(zhuǎn)速為 ，（順時針）.題 6-8圖6-8 圖示瓦特行星傳動機構(gòu)中，平衡桿繞軸轉(zhuǎn)動，并借連桿AB帶動曲柄OB；而曲柄OB活動地裝在O軸上；在O軸上裝有齒輪1，齒輪2的軸安裝在連桿AB的另一端。已知：mm，；又平衡桿的角速度rad/s。求當(dāng)和時，曲柄OB和齒輪1的角速度。解：由圖所示可知：點C是AB桿和輪II的速度瞬心，故，（逆時針）.，桿OB的角速度為，（逆時針）.兩齒輪嚙合點M的速度為, 則輪1的角速度為，（逆時針）.6-9 如圖所示，輪O在水平面上勻速滾動而不滑動，輪緣上固連銷釘連接滑塊B，此滑塊在

11、搖桿的槽內(nèi)滑動，并帶動搖桿繞軸轉(zhuǎn)動。已知輪的半徑m，在圖示位置時，是輪的切線，輪心的速度m/s，搖桿與水平面的夾角為。求搖桿的角速度和角加速度。 題 6-9 速度和加速度分析圖題 6-9 圖解：輪O作勻速純滾動， ，且，點B作合成運動。 選銷釘B為動點，搖桿為動系。1） 速度分析：根據(jù)速度合成定理 作速度平行四邊形，如圖 (a)所示，求得, .搖桿的角速度為 ，（逆時針）.2) 加速度分析： ）選輪心O為基點，則銷子B的加速度如圖（b）所示，有 （d）再選定銷釘B為動點，搖桿為動系，如圖（c），有 (e)由式（d）,(e)得 = + + + 大?。?？ 方向： 如圖（b），（c）所示向BO軸上

12、投影，解出 ，于是搖桿的角加速度為，（逆時針）. 題6-10圖6-10 在圖示機構(gòu)中，已知：滑塊A的速度mm/s，mm。求當(dāng)，時桿CD的速度。解：選套筒上的銷釘C為動點，AB桿為動系，動系作平面運動.題6-10速度分析圖1）速度分析. 由找得AB桿的速度瞬心，故AB桿的角速度為 ，而C點的牽連速度為，由速度合成定理 ，解得 2）加速度分析. AB桿作平面運動，以A為基點，有 = + + 題6-10加速度分析圖大?。?？ 0 方向: 向水平軸投影，列出 ，解得 ，于是求得AB桿的角加速度為 ，（順時針）.再對套筒上的銷釘C作加速度分析，仍以此銷釘C為動點，AB桿為動系，加速度合成定理為 ，其中

13、，這里是桿上與重合的點，所以 = + + + + 大小: ？ 0 ？ 方向: 向軸投影，列出 ，解出 .即 ，（向下）.6-11 直徑為d的圓輪沿直線軌道滾動而不滑動，長為l的桿AB在A端與輪緣鉸接，在B端與沿傾角為的滑道而運動的滑塊鉸接。已知輪心O點以速度勻速運動。當(dāng)時，桿AB處于水平。求此時滑塊B的速度和加速度。解：1）速度分析.圓輪作純滾動，與地面接觸點位速度瞬心， 圓輪的角速度為 從而有 題6-11 圖題6-11 AB桿的加速度分析圖 .AB桿作平面運動，找得AB桿的速度瞬心，于是AB桿的角速度為 ，滑塊B的速度為 ，方向如圖示.2） 加速度分析. 圓輪作勻角速純滾動，輪心O的加速度為

14、零，以此為基點，容易求得輪緣上A點的加速度為 ，指向輪心. AB桿作平面運動，以A為基點，計算B點的加速度，有，其中，向軸投影，列出 ，解得：，方向如圖示.6-12 圖示配汽機構(gòu)中，曲柄OA長為r，繞O軸以等角速度轉(zhuǎn)動，。求機構(gòu)在圖示位置時，滑塊C的速度和加速度。題6-12圖解：1）速度分析.曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動，.AB桿作平面運動，由找得AB桿的速度瞬心，由此得AB桿的角速度 .B點速度為 .題6-12速度分析圖BC桿作平面運動，由找得BC桿的速度瞬心，由此得BC桿的角速度 .滑塊C的速度為 ，向下.題6-12加速度分析圖注意到，如果題目只要求B和C點的速度，而不需要求桿的角速度，則用速度投影

15、法求解更方便簡捷。2）加速度分析.對AB桿，選A為基點，則B點加速度為 = + + 大?。?？ ？ 方向： 方向都已知，如圖所示. 向AB軸投影，得 解得 .對BC桿，選B為基點，C點加速度為 = + + 題 6-13圖 大?。?？ ？ 方向： 方向都已知，如圖所示向BC軸投影，得 ，方向向上.6-13 圖示輕型桿式推鋼機中，曲柄OA借連桿AB帶動搖桿繞軸擺動，桿EC以鉸鏈與滑塊C相連，滑塊C可沿桿滑動。搖桿擺動時帶動桿EC推動鋼材。已知，在圖示位置時，rad/s，m，m. 求滑塊C的絕對速度和絕對加速度，滑塊C相對于搖桿的速度和加速度。解： 1）速度分析該機構(gòu)速度分析如圖（a）. (a)題6

16、-13速度分析圖AB桿作平面運動，以A為基點，有解出 ，于是，桿的角速度為，（逆時針）； (b)題6-13加速度分析圖桿的角速度為，（順時針）.選取滑塊上的銷釘C為動點，搖桿為動系，則 .由速度合成定理 ，解出滑塊C相對于搖桿的速度：, 滑塊C的絕對速度：，（向左）.（2）加速度分析. 該機構(gòu)加速度分析如圖（b），對AB桿，以A為基點，有 + = + + 大?。?？ ？ 方向： 方向都已知 ，如圖（2）所示向水平軸投影，列出 ，解出 ，于是，桿的角加速度為 ，（逆時針）.仍取滑塊上的銷釘C為動點，搖桿為動系，則由 = + + +大?。?？ ？ 方向： 方向都已知，如圖（b）所示向軸和軸投影 ，

17、 ，解出滑塊C的絕對加速度和相對于搖桿的加速度為， . 題 6-14圖6-14 圖示行星齒輪傳動機構(gòu)中，曲柄OA以角速度繞O軸轉(zhuǎn)動，使與齒輪A固結(jié)在一起的桿BD運動，并借鉸鏈B帶動BE桿運動。如定齒輪的半徑為2r，動齒輪半徑為r，且，圖示瞬時，OA在鉛直位置，BD在水平位置，桿BE與水平線間成角。求桿BE上的點C的速度和加速度。解：1）速度分析. 動齒輪A在定齒輪O上作純滾動，所以，動齒輪A上與定齒輪O接觸的這點就是動齒輪的A的速度瞬心，于是有 ，（逆時針）.選BE桿上的B點為動點，套筒C為動系，如圖（a）。由速度合成定理，得 題6-14速度分析圖題6-14加速度分析圖 ，.式中. 從而桿BE

18、的角速度為，（順時針）.當(dāng)選BE桿上的為動點時，牽連速度為零，又因為桿相對于套筒是作平移，從而桿BE上的點的速度為 .3） 加速度分析，如圖（b），小齒輪作平面運動，選A為基點，則B點加速度為, 式中因得 .另一方面，選桿上的B點為動點，套筒為動系，則有 ，由此兩式得 + = + + + ，大?。?？ ？ 方向： 如圖（b）所示向CB軸投影， 解出 .再選桿上為動點，套筒為動系，有 = + + 大小: ？ 0 方向: 見圖（2）C處得桿上點加速度為 . 題 6-15圖 6-15 曲柄OA以恒定的角速度繞軸O轉(zhuǎn)動，并借助連桿AB驅(qū)動半徑為r的輪子在半徑為R的圓弧槽中作無滑動的滾動。設(shè)，求圖示瞬時

19、點B和點C的速度和加速度。解：1） 速度分析. 如圖（a），點P為輪子速度瞬心，AB桿作瞬時平移，有, .輪B的角速度為, 題 6-15（a）圖.2）加速度分析. AB桿作平面運動，取A為基點，對B作加速度分析，如圖（a），有 + = + + 大小: ？ ？ 方向: 如圖（a）所示分別向AB軸和BP軸投影，得 , 故B點加速度為，. AB桿的角加速度為題 6-15（b）圖 .輪B的角加速度為 .輪作純滾動，取B為基點，作 C點的加速度分析，如圖（b）所示，即 = + + 大小： ？ 方向： 如圖（b）所示故點C加速度 .題6-16圖6-16圖示機構(gòu)中，曲柄OA以等角速度作定軸轉(zhuǎn)動，并帶動連桿A

20、BD及DF運動，E處為一有固定支承德套筒，它可繞E點擺動。已知機構(gòu)尺寸為，且在圖示位置時， ，試求此瞬時桿DF的角速度及角加速度。解：1）速度分析.AD桿作平面運動，由找得AD桿的速度瞬心，于是有題6-16圖(a) ，其中.DF桿作平面運動，由找得DF桿的速度瞬心，于是有，（順時針方向）.其中. 若以D為動點，套筒E為動系，則由速度合成定理求得. 2）加速度分析. AD桿作平面運動，以A為基點，B點加速度為 = + + 大?。?？ ？ 方向： 如圖（b）所示向鉛錘軸列投影式：題6-16（b）圖 解得 , ，（逆時針）.仍以A為基點，D點加速度分析如圖（b）所示，有 ，式中有3個未知量，故再選D為動點，套筒E為動系，