水塔水流量估計(jì)問題

1、水塔水流量估計(jì)問題問題描述某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計(jì)水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的 最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無法測量水塔的水位和水泵的供水量.通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí) .水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正園柱.按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停止工作.表1是某一天的水位測量記錄，試估計(jì)任何時(shí)刻(包括水泵正供水時(shí))從水塔流出的水流 量，及一天的總用水量.表1水位測量記錄 (符號(hào)表示水泵啟動(dòng))時(shí)刻(h) 水位(cm)00.92 1.

2、84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 913 898 881869 852 839 822時(shí)刻(h) 水位(cm)9.98 10.92 10.9512.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17/1082 1050 1021 994 965 941 918 892時(shí) 刻(h) 水 位(cm)19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91866843822/1059 103510181.流量估計(jì)的解題思路擬合水位時(shí)間函數(shù)擬合水位時(shí)間函數(shù)擬合水位時(shí)間函數(shù)1. 擬合

3、水位 時(shí)間函數(shù)測量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段（以下稱第 1 供水時(shí)段和第 2 供水時(shí)段），和 3 個(gè)水泵不工作時(shí)段（以下稱第1時(shí)段t=0到t=8.97 , 2次時(shí)段t=10.95到t=20.84和第3時(shí)段t=23以后）。對(duì)第 1、2 時(shí)段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù) 為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般在36由于第 3 時(shí)段只有 3 個(gè)測量記錄，無法對(duì)這一時(shí)段的水位作出較好的擬合。2. 確定流量 時(shí)間函數(shù)對(duì)于第 1 、2 時(shí)段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，則用供水時(shí)段前 后（水泵不工作時(shí)段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2 供水時(shí)段流量外推，將

4、第 3 時(shí)段流量包含在第 2 供水時(shí)段3. 一天總用水量的估計(jì)總用水量等于兩個(gè)水泵不工作時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以由流量對(duì)時(shí)間 的積分得到。三算法設(shè)計(jì)與編程1 、擬合第 1 時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量設(shè) t，h 為已輸入的時(shí)刻和水位測量記錄（水泵啟動(dòng)的4 個(gè)時(shí)刻不輸入） ，第 1 時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1）c1=polyfit （t（ 1：10），h（1：10），3）；%用 3 次多項(xiàng)式擬合第 1 時(shí)段水位， c1 輸出 3 次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a1=polyder （ c1 ）；% a1 輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為 c1 ）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)3）tp1=0：0.1：9；x1=-polyval （

5、al, tp1）; % x1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為 al）在tp1點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正 值），即 tp1 時(shí)刻的流量 t=0 C. 92 1.84 2. S5 3. 8P 4.98 5.90 7.01 7.93 8.07 10. 9F 12.03 12.95 13. 83 14.98 15.90 16.83 17. 93 19.04 19.90 20.84 23.38 24. 99 25. 91; 床9背 946 931 S13 E9B 831 869 E52 839 622 ID32 1050 101 394 日饋 041 S13 392 3S6 343 S22 1059 1035 1013

6、; cl=polyfit (t (1:10)Jh(l: 10)j 3)cl =-0. 07S51. 356S -22. 10f9 GF. ?356 al=polyder(cl)nl =-0.23662. 7173 -22.1079 tpl=0:0.1:9; x1=-polyval(a1j tp1);2、擬合第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量設(shè)t, h為已輸入的時(shí)刻和水位測量記錄(水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入)，第2時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1) c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)；%用3次多項(xiàng)式擬合第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2) a2=polyder(c2)

7、；% a2輸出多項(xiàng)式(系數(shù)為 c2)導(dǎo)數(shù)的系數(shù)3) tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項(xiàng)式(系數(shù)為a2)在tp2點(diǎn)的函數(shù)值(取負(fù)后邊為正值)，即tp2時(shí)刻的流量4) 流量函數(shù)為：f(t) 0.0284t31.2173t215.9045t34.1994 c?=P01yfLt (t tlO. 9:21)(10-9!21),4)Earning; Irrteger operands are required for colon operator whenas indexEarning: Indeget aperands axe required o

8、r colon opera+cr wlien used as indenc2 =1 0e+003 *HOt 00(JO 0. 00010* 003C0. 034 U 2303 a2=polyder(c2)12 =-0.0284 I. 2173 -15, 304534. 19 tp2=10. 9:0.1:21: x2=-polyral(a2, tp2):3、擬合供水時(shí)段的流量在第1供水時(shí)段(t=911)之前(即第1時(shí)段)和之后(即第 2時(shí)段)各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng) 得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量.為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡單地只取 4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式(即曲線必過這 4個(gè)點(diǎn))

9、，實(shí)現(xiàn)如下：xx仁-polyval (a1, 89);%取第1時(shí)段在t=8,9的流量xx2=-polyval (a2, 1112);%取第 2 時(shí)段在 t=11,12 的流量xx12=xx1 xx2;c12=polyfit (8 9 11 12 , xx12 , 3);%擬合 3 次多項(xiàng)式tp12=9: 0.1: 11;x12=polyval (c12, tp12);% x12輸出第1供水時(shí)段各時(shí)刻的流量擬合的流量函數(shù)為：f(t) 1.1731t334.8448t2336.5049t 1078.1 xKl=-polyval (alL, 8 9): xsl=-polyral (alj 8 9)x

10、x 1 =15.44971C.7380 xx2=-polyval 11 12)=3L29813C.4923 xx12=(kk1 sx2kk12 =15.497 lt.FJSO 31.293130.4925 cl2=polyfit (8 9 11C12 =1.De+003 *-0.00120.0349-0. 33551. 0781在第2供水時(shí)段之前取t=20 , 20.8兩點(diǎn)的流水量，在該時(shí)刻之后(第 3時(shí)段)僅有3個(gè)水位記 錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下：dt3=diff (t(22 : 24);%最后3個(gè)時(shí)刻的兩兩之差dh3=d iff (h(22 : 2

11、4);%最后3個(gè)水位的兩兩之差dht3=-dh3./dt3 ;%t(22)和 t(23)的流量t3=2020.8t(22)t(23);xx3=-polyval(a2 , t3(1: 2), dht3;%取 t3 各時(shí)刻的流量c3=polyfit (t3, xx3 , 3);%擬合 3 次多項(xiàng)式tp3=20.8 : 0.1: 24;x3=polyval (c3, tp3); % x3輸出第2供水時(shí)段(外推至t=24)各時(shí)刻的流量擬合的流量函數(shù)為：32 dt3=diff(t z3=p yl=D- l*t rapE 1L)yi =145.1815y20- 1 rap; (k2)y2 二266.440

12、0 y 12=0. l*t rapa (x 12)yl2 =48. 5004y3=0. l*t rapz (m3)yl 二74.8054 y=(71+y?-i-y 12-13)*237* 8*0, 01y =1* ?7e+Q035、流量及總用水量的檢驗(yàn)計(jì)算出的各時(shí)刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗(yàn).用水量y1可用第1時(shí)段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗(yàn)，類似地，y2用1082-822=260檢驗(yàn).供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段的用水量加上水位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)段長度得到水泵的功率(單位時(shí)間泵入的水量)，而兩個(gè)供水時(shí)段水泵的功率應(yīng)大致相等.第1、

13、2時(shí)段水泵的功率可計(jì)算如下：p仁(y12+260)/2 ;%第1供水時(shí)段水泵的功率(水量仍以高度計(jì))tp4=20.8 : 0.1: 23;xp2=polyval (c3, tp4);% xp2輸出第2供水時(shí)段各時(shí)刻的流量p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2 ; %第2供水時(shí)段水泵的功率(水量仍以高度計(jì)) pl=(y!2+260)/2154.2502 tp4=20. 8:0. 1:23; xp2=polyval (c3, tp4); p2=(0. I*trapz(xp2)+260)/2. 2四.計(jì)算結(jié)果(n1,n2)y1y2y12y3yP1p2(3,4)146.1815266.440948.500474.80641274.4154.2502142.3670(5,6)146.5150265.541746.131772.60571262.2153.0659141.4479(3,4)流量函數(shù)為:0.2356t2 2.7173t 2210790 t 9f(t)0.0284t3 1.21732 15.9045 34.1994 9 t 111.17313 3484482 3365049 10781 11 t 21041813 27.843G26156844 4