整式的乘法與因式分解培優(yōu)0001

1、【知識點歸納】1 .同底數(shù)幕相乘，不變，相加。=(m,n是正整數(shù))2. 幕的乘方，不變，相乘。(h)七(m,n是正整數(shù))3. 積的乘方，等于把,再把所得的幕o (ab)°=(n是正整數(shù))4. 單項式與單項式相乘，把它們的、分別相乘。5. 單項式與多項式相乘，先用單項式,再把所得的積, a (nr»-n) =6. 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘,再把所得的積, (a+b) (m+n) =。7. 平方差公式，即兩個數(shù)的與這兩個數(shù)的的積等于這兩個數(shù)的平方差(a+b) (a-b) =8. 完全平方公式，即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的,加(或減)它們的積的。(a

2、+b) 2=, (a-b) -。9. 公式的靈活變形：(a+b) 2+ (a_b) 2=1, (a+b) 2- (a-b) J,a2+b2= (a+b) 2,a2+b2= (a-b) 2+, (a+b) J (a-b) 2+,(ab) 2= (a+b) 2-o【例1】若代數(shù)式(2疋+似_)，+ 6)_(2加2_3x + 5),_i)的值與字母x的取值無關(guān)，求代數(shù)3 1式一二/+ 2/r -(-a2 -3b2)的值4 4【例 2】已知兩個多項式 A 和BfA = nxn4 + x3n-x3+ x-3,B = 3xn+4 -x4 +x3 + nx1 -2x-l, 試判斷是否存在整數(shù)"，使

3、A-B是五次六項式【例3】已知.r,y.z為自然數(shù)，Ax< y ,當(dāng)x+y = 1999,z-x = 2000時，求x+y + z的所有值中最大的一個是多少【例4】如果代數(shù)式ax5+hx3+cx-5當(dāng)x = 2時的值為7,那么當(dāng)x = 2時，該式的值 是.【例5】已知“為實數(shù)，且使/+3/+3“ + 2 = 0,求(a + 1嚴(yán)6+« + 1)網(wǎng)?+(a + i)叫的值.【例6】(1)已知2"二a,用含a的代數(shù)式表示2X;(2) 已知x=3-+2, y=9n+3試用含x的代數(shù)式表示y.【例7我們知道多項式的乘法可以利用圖形的面積進行解釋，如(2a+b) (a+b)=2

4、a2+3ab+b2就能用圖1或圖2等圖形的面積表示：(1) 請你寫出圖3所表示的一個等式：(2) 試畫出一個圖形，使它的面積能表示：(a+b) (a+3b) =a2+4ab+3b2.bTHa、1abababb2aba2ababab¥:a2a2aba2daa ba a baab【例8】歸納與猜想:(1)計算：(X (X (X-1) (x+1)=;-1) (x2+x+1)=;-1) (x3+x2+x+1)=;(2) 根據(jù)以上結(jié)果，寫出下列各式的結(jié)果. (x-1) (x6+x5+x4+x3+x2+x+1) =; (x-1) (x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1) =;(

5、3) (x-1) (xn',+xn-2+xn-3+-+x2+x+1) = (n 為整數(shù));(4) 若(x-1) ?m=x,5- 1,則 m=;(5) 根據(jù)猜想的規(guī)律，計算：2"+2舛+2+1【例9】認真閱讀材料，然后回答問題： 我們初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，相應(yīng) 的，我們可以計算出多項式的展開式，如：(a+b) 1=a+b,(a+b) 2=a2+2ab+b2,(a+b) 3= (a+b)2 (a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3, 下面我們依次對(a+b) n展開式的各項系數(shù) 進一步研究發(fā)現(xiàn)，n取正整數(shù)時可以單獨列成表中的形式：(a+b)!11(a+b)!121(a+

6、b)-1331(a+b)t.14641(a+b)15 10 10 5 1(a+b)®.1615 20 15 6上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形”；仔細觀察“楊輝三角形”，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī) 律回答下列問題：(1) 多項式(a+b)"的展開式是一個幾次幾項式并預(yù)測第三項的系數(shù)；(2) 推斷出多項式(a+b) - (n取正整數(shù))的展開式的各項系數(shù)之和為S,(結(jié)果用含字 母n的代數(shù)式表示).課后作業(yè):1> 若2x + 5y 3 = 0,求4*32、的值。2、在（ax + 3y肖（x - y）的積中，不含有巧項，則"必須為。3、已知a + b = , ab = 1,

7、化簡一2“一2）的結(jié)果是。24、已知.?+x + l = O,則兀吶+十網(wǎng)+十林的值為。5、已知x-y = 3,則代數(shù)式5-x+ y + 3（y-a）3的值等于。6、已知（2|r|/ =29,則 x =o7、若2r = 3.4r = 5,則2宀的值為。8、當(dāng)x = 2時，代數(shù)式尼-加+ 1的值等于-17,那么當(dāng)x = l時，代數(shù)式12俶-3加5的值.9、已知 « = 1999x+2000 ,/? = 1999x+2001 , c = 1999a + 2002 , 求 多項式a2 +lr +c2 -ab-bc-ca 的值為 010已知a.b.c均不為0 ,且a + b + c = 0

8、,那么a(- + -) + b( + ) + c( + -)的值是多少 b c c a a b“整體思想”在整式運算中的運用1當(dāng)代數(shù)式/ +3x + 5的值為7時，求代數(shù)式3/ +張-2的值.3332、已知。=一20, h = -x-18, c = -%-16,求：代數(shù)式/ + 慶“一心一加的888值。3、已知/+。一1 = 0,求/+2/+2007的值.4、若a2-2a+1=0求代數(shù)式/宀的值.a5先化簡，再求值：(1) (2x + y)(2x一 y)(4x2 +y2),其中 x=-2, y=-3(2) 2(a + b)(a -b) -(a+b)2 + (a + b)2 其中a = 29b

9、=第四講乘法公式（1）公式的逆用1 > 已知 m2+n2-6m+10n+34=01 求 rrH-n 的值2已知x2 + y2 +4x-6y + 13 = 0,兀、y都是有理數(shù)，求x的值。2 | 23> 已知(d + b) = 6.ab = 4,求"* '與的值。4、已知(d-Z?) = 5,ab = 3 求(“ + ")與 3(a2 +b2)的值。5、已知疋+-2x-4y + 5 = 0 ,求-(x-1)2-xy 的值。26、F+3x + 1 = 0,求(1) F+丄(2)川 + 4x"x7試說明不論X"取何值，代數(shù)式.v2 + r

10、+ 6x-4y + 15的值總是正數(shù)。8、已知三角形ABC的三邊長分別為a, b,c JI a, b, c滿足等式3(a2+b2+c2) = (a+b+c)2 9 請說明該三角形是什么三角形9、計算(2) (a - 2b+c) (a+2b - c)(1) (x - y) (x+y) (x2+y2)(4) (x+2y) (x - 2y) (x4- 8x2y2+16y4).10已討2二.求下列各式的值：(1)K2x4, 2./ X + K +1第五講乘法公式(2)例 1 已知 a-b=2, b-c=1,求代數(shù)式/ +，+c2 -ab-bc-ac 的值。例2 已知a、b、c為有理數(shù)，且滿足= 8-Z

11、?,c2 =ab-6.求a. bc的值。例3已知F-3x + 1 = 0,試求下列各式的值：<1)宀占 TT例4已知x、y滿足x2+y2±-=2x十y,求代數(shù)式旦的值.4x+ y例5 已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足a2+b2 =c2,又a為質(zhì)數(shù).證明：(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶;(2) 2(a+b+1)是完全平方數(shù).鞏固練習(xí)1若3x2-x = 1,求代數(shù)式6x3+7x2 -5兀+1999的值為2、如果：疋一8與 + 16)，2=0,且_¥ = 5,貝ij (2x-3y)2 =3、計算：(2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1) +1 =

12、4、若4十+ mx + 9是一個完全平方式，則“1的值為。5、當(dāng)“=, y=時，多項式4x2 +9y2 -4x + 12y-l有最小值，此時這個最小值是O6、(2 + 1爐+ 1爐+ 1爐+1)(232 +1)的個位數(shù)字是。7、若©+疔+|" + 1| = 0,貝妝"一2" 3("1)的值是。8、計算(3x-2y + 1X3a- + 2y -1)的結(jié)果為。4 499、若1一二+二=0,則二的值為oX X"X10、多項式°'+丄“戻一5-6是一個六次四項式.則川=o211 若代數(shù)式妒+ y2 - 14x + 2y +

13、50的值為0,則a =, y =。12、已知/一4“ +慶-勸+ 5 = 0,求“、b的值13、已知a, b,c是三角形的三邊，且aSb'+cJab二bc+ca,試判斷三角形的形狀體已知r!求喬U的值5.已知a +丄=5,則"+”+"=acr7-乘積和一存"爲(wèi)為）等于（)（第4題）四作業(yè)1. 觀察下列各式：(x-1) (x+1)=x2- I;(X *1) (x2+x+1)=x3 1;(X 1) (x3 十 x2+x+1) =x4 1.根據(jù)前面的規(guī)律可得 (X 一 1) (x n+x n-1+.+x+1)=.2. 已知“2+/尹+4“一2/? + 5 = 0

14、, M.a _b3. 計算：(D19492 1950M9512 19522+-+19972 - 19982+19992 =19991998 2(2)；一.19991997 2 +19991999 2 -24. 如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示 方法寫出一個關(guān)于冬b的恒等式6.已知心一/? = 39“ + 0 = 5,貝U代數(shù)式dc-bc + d' -ab的值為(A15B2C6 D. 6A. 竺B型1 C.竺 D. 222120002000400040008. 若 x-y = 2,x2 + r=4,則 x2002 +y2002 的值是().圖（第1

15、0題）A. 4 B. 20022 C. 22002 D. 420029. 若x2-13a + 1 = 0,則x4+的個位數(shù)字是()xA. 1 B. 3 C. 5 D. 7 10.如圖，在邊長為a的正方形中挖牌一個邊長為b的小正方形（a>b）,把余下的部 分剪拼成一個矩形（如圖），通過計算兩個圖形（陰彩部分）的面積，驗證了一個等式， 則這個等式是（）.A. a2 -Z?2 =（a + b）（a-b）B. （a + h）2 =a2 +2ab + lC. a-by = a2 -2ab + b2 D. (" + 2Z?)(“-b) = a2 +ah-2b211. (1)設(shè)x+2z=3y

16、,試判斷x? 9y2+4z2+4xz的值是不是定值如果是定值，求出它的 值；否則請說明理由.已知 X2* 2x=2,將下式先化簡，再求值：(x1)?+(x+3) (x 3) + (x 3) (x 1) 12. 一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方 數(shù)，試求這個自然數(shù).13. 觀察：1234 + 1 = 5?2345 + l = lF345 6 + 1 = 192U)請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；(2)根據(jù)(1),計算2000X2001 X 2002X2003+1的結(jié)果(用一個最簡式子表示).14你能很快算出19952嗎為了解決這個問題，我們考察個

17、位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù) 為5的自然數(shù)可寫成IOn+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值,試分析n=1,n=2,n=3 這些簡單情形，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論.(1) 通過計算，探索規(guī)律.152 =225 可寫成 100X1X(1+1)+25; 25625 可寫成 100X2X (2+D+25;351225 可寫成 100X 3X (3+1 )+25; 452=2025 可寫成 100X4X (4+D+25; 752=5625可寫成; 852=7225可寫成(2) 從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)J.(3) 根據(jù)上面的歸納猜想，請算出19952=

18、第三章因式分解【知識點歸納】1. 把一個多項式表示成若干個的形式，稱為把這個多項式因式分解。(因式分解三注意：1.乘積形式；2.恒等變形；3.分解徹底。)2. 幾個多項式的稱為它們的公因式。3. 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到外面，這種把多項式因式分解的方法叫做提公因式法。anH-an=a ()4. 找公因式的方法：找公因式的系數(shù)：取各項系數(shù)絕對值的。確定公因式的字母：取各項中的相同字母，相同字母的的。5. 把乘法公式從右到左的使用，把某些形式的多項式進行因式分解的方法叫做公式法。a2, a2+2 a b+bJ,a2_2ab+b2=<>【典型例題】1. 仔細閱讀

19、下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是(x+3),求另一個因式以及m的值.解：設(shè)另一個因式為(x+n),得 x2 - 4x+m= (x+3) (x+n)則 x2 - 4x-hn=x2+ (n+3) x+3n£+3二-4in=3n 解得：n=-7, m=-21另一個因式為(x-7), m的值為-21仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項式2x2+3x- k有一個因式是(2x-5),求另 一個因式以及k的值.2. 閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題: 1+x+x (x+1) +x (x+1) - (1+x) 1+x+x (x+1) = (1+x) 2

20、(1+x) = (1+x) 3(1)上述分解因式的方法是,共應(yīng)用了次(2) 若分解 1+x+x (x+1 ) +x (x+1 ) 2+-+x (x+1 ) 2004,則需應(yīng)用上述方法結(jié)果是.(3) 分解因式:1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+-+x (x+1) n (n 為正整數(shù)).次,3 已知乘法公式：a5+b5= ( a+b ) (a4 - a3b+a2b? - ab3+b4 ) ; a5 - b5= ( a (a4+a3b+a2b2+ab3+b4).利用或者不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1.b)4、先化簡，再求值：（“2刃（2"4劃+（9亠12滬

21、+ 3罔十初），其中噸=25.已知-12?-17+10能被賦+楓-2整除，其商式為xT,求處的值。 2 1 M _ 2 y -42/?26、已知么b、G分別為AABC的三邊，你能判斷 "“的符號嗎第六講 因式分解（一）【例題精講】例仁(1) 4x (a2>) + (b2a);(2) (a2+b2) 24at>:(3) £+2“一3;(4) (x+y) 23 (x+y) +2;(5) x2x3x;(6) 4a2F+6&30;(7) ac +2abi>d2cd例2:分解因式：(1) (x4 +x2 -4)(x4 +x2 +3)+10(8) a24j&a

22、mp;24c 8bc(2) (x +1 X-v + 2/x + 3x + 6)+ x2(3) 1999 x2-(1999 2-1)v-1999【鞏固】分解因式：1 > (壬 + x + + x + 2)12 ；2、(X1 + 4% + 3ax2 + 4x + 8)+ 2x2;3、 (6x-1 2x-1 3x-x-)+x2 ；4> 分解因式：(x + y - 2xyx + y - 2)+-1)2;例3:把下列各式分解因式：1 > a2(Z? -c)+b2(c- a)+c2 (ci 一b)；2+ xy 2yJ x + 7y 6 0【鞏固】分解因式：1 > ab(a +-(a

23、 + b)2 +1 ；2> x2 +xy-6y2 +x + 13y-6 0例4:分解因式：x3-3x2+4o【鞏固】分解因式:1> x4 +x2y2 + y4 ;【拓展】分解因式：a4 + 2a3b + 3a2b2 + 2ab3 +b4 o例5:已知多項式2x2+3-2y2-x + 8y-6的值恒等于兩個因式(x + 2y + A),(2x_y + B)乘積的值，貝iA + B=。例 6:分解因式：疋+Q-6y2+x + 13y-6。【鞏固】分解因式:2、3x2 +5xy-2y2 +x + 9y-4 ;【拓展】1> k為何值時，多項式x2-2xyky2+3x-5y + 2能分

24、解成兩個一次因式的積2、多項式.V2 +axy + by2 -5.v+y + 6的一個因式是x+y-2,試確定a + b的值。3.求證：8x2-2xy-3y2可以化為兩個整系數(shù)多項式的平方差。【作業(yè)】1> 分解因式：a3-2a2b + ab2=；2、分解因式：A2 -2xy + y2 -9=;3、分解因式：+ x +1 + 兀 + 2)12=；4> 已知 “、b、c 滿足a + = 5p c2 =ab + b-9 ,則J c =；5、分解因式：/_慶+4匕+ 2方+ 3的結(jié)果是6、已知疋一(“ + 5" + 5"-1能分解成兩個整系數(shù)一次因式的乘積，求。的值。(2)疋一8俶一40肋一25/異；7把下列各式分解因式：(1) x2y2 -4xy-x2 一匸 +1;(3)用換元法分解X+5x + 6)(F+7x + 6)3x2；(4) 用待定系數(shù)法分解F -xy-ly2 _x + 5y _2。7、k是什么數(shù)時，-2-3r+3x-5y + 2能分解成兩個一次因式的積第七講因式分解的應(yīng)用【例題精講】例仁 若A4BC的三條邊°、b、c滿足關(guān)系式a+b2c2-a2c2-b4=Ot則AABC的形狀是o【鞏固】1已知“、b、c是三角形三邊長，則代數(shù)式a2-2ab-c2+b2的值是()A.大于0B.等于0C.小于0D.符號不定2、設(shè)b、c是三角形