小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用_第1頁
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1、小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其應(yīng)用32 陸宇穎摘 要:小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是將小波理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論結(jié)合起來的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它避免了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計的盲目性和局部最優(yōu)等非線性優(yōu)化問題,大大簡化了訓(xùn)練,具有較強的 函數(shù)學(xué)習(xí)能力和推廣能力及廣闊的應(yīng)用前景。首先闡明了小波變換和多分辨分析理論,然 后介紹小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用概況。1 .研究背景與意義人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于生物神經(jīng)系統(tǒng)研究而建立的模型,它具有大規(guī)模并行處理和分 布式存儲各類圖像信息的功能,有很強的容錯性、聯(lián)想和記憶能力,因而被廣泛地應(yīng)用于 故障診斷、模式識別、聯(lián)想記憶、復(fù)雜優(yōu)化、圖像處理以及計算機領(lǐng)域。但是,人工神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)模型建立的物理解釋,網(wǎng)絡(luò)激活函

2、數(shù)采用的全局性函數(shù),網(wǎng)絡(luò)收斂性的保證,網(wǎng)絡(luò)節(jié) 點數(shù)的經(jīng)驗性確定等問題尚有待進(jìn)一步探討和改善。小波理論自Morlet提出以來,由于小波函數(shù)具有良好的局部化性質(zhì),已經(jīng)廣泛滲透 到各個領(lǐng)域。小波變換方法是一種窗口大小固定但其形狀可以改變,時間窗和頻率窗都可以改變的時頻局部化分析方法,由于在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨 率,在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率,所以被譽為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性,使小波變換具有對信號的自適應(yīng)性?;诙喾直娣治龅男〔ㄗ儞Q由于具有時 頻局部化特性而成為了信號處理的有效工具。實際應(yīng)用時常采用Ma 1 1 a t快速算法, 利用正交小波基將信號分解

3、到不同尺度上。實現(xiàn)過程如同重復(fù)使用一組高通和低通濾波器 把信號分解到不同的頻帶上,高通濾波器產(chǎn)生信號的高頻細(xì)節(jié)分量,低通濾波器產(chǎn)生信號 的低頻近似分量。每分解一次信號的采樣頻率降低一倍,近似分量還可以通過高通濾波和低通濾波進(jìn)一步地分解,得到下一層次上的兩個分解分量而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Wavelet Neural Network, WNN )正是在近年來小波分析研究獲得突 破的基礎(chǔ)上提出的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它是基于小波分析理論以及小波變換所構(gòu)造的一種 分層的、多分辨率的新型人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,即用非線性小波基取代了通常的非線性Sigmoid函數(shù),其信號表述是通過將所選取的小波基進(jìn)行線性疊加來表現(xiàn)的。小

4、波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這方面的早期工作大約開始于 1992年,主要研究者是Zhang Q Harold H S和焦李成等。其中,焦李成在其代表作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用與實現(xiàn)中從理論上對小波神經(jīng) 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了較為詳細(xì)的論述。近年來,人們在小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理論和應(yīng)用方面都開展了不少 研究工作。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有以下特點。首先,小波基元及整個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的確定有可靠的理論根 據(jù),可避免BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等結(jié)構(gòu)設(shè)計上的盲目性;其次,網(wǎng)絡(luò)權(quán)系數(shù)線性分布和學(xué)習(xí)目標(biāo)函 數(shù)的凸性,使網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程從根本上避免了局部最優(yōu)等非線性優(yōu)化問題;第三,有較強的 函數(shù)學(xué)習(xí)能力和推廣能力。2 .數(shù)學(xué)模型與小波工具小波變換及多分辨分析在函數(shù)空間L2(R)(或更廣

5、泛的Hilbert 空間)中,選擇一個母小波函數(shù)(又稱為基本 小波函數(shù))(x),使其滿足允許條件:式中(w)為(X)的Fourier變換。對(x)作伸縮、平移變換得到小波基函數(shù)系a,b(X)2對任意f(X) L(R),其連續(xù)小波變換定義為:反演公式為:在實際應(yīng)用中,特別是計算機實現(xiàn)中,往往要把上述的連續(xù)小波及其變換離散化,通一cm U 1,0 m常米用二進(jìn)制離散,即令a 2 ,b k2 ,則二進(jìn)小波一定是一個允許小波,且是一個正交小波基。考慮一個連續(xù)的、平方可積的2函數(shù)f(x) L(R)在分辨率2m下的逼近fm(X),由多分辨分析理論可知:(X)是尺度函數(shù),對其作伸縮、平移變換得到mk(x)o

6、Mallat同時證明了函數(shù)f(x)在2m和2m 1分辨率下的信息差別(即細(xì)節(jié))Dmf(x),可 以通過將函數(shù)f(x)在一小波正交基上分解而獲得,從而定義了一種完全而且正交的多分辨 率描述,即小波描述。mk(x)就是式(5)定義的二進(jìn)小波,則f(x)在2m 1分辨率下的逼近式為:2Mallat并指出,對于任意一個函數(shù)f (x) L (R)可以在一組正交小波基上展開:式(11)是一個平方可積函數(shù)的小波分解,提供了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的理論框架。 上述理論可推廣到多維情況。我們以二維為例,若定義二維尺度函數(shù)1"2),則則有:同理有:2.2小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示,包

7、括輸入層、輸出層和隱層。隱層包含兩 種節(jié)點:小波基節(jié)點( 節(jié)點)和尺度函數(shù)節(jié)點( 節(jié)點)2.2.1 分層多分辨學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)輸出f(x)在2l分辨率(最低的分辨率)上的逼近:f(x)在2L1分辨率上的逼近:HlaLk Lk(X)L式(18)中的第一項k1表示f(x)在2分辨率上的逼近,在式(17)中已計HldLk Lk(x)算,即系數(shù)aLk與式(17)中相同。式(18)中的第二項k 1表示增加的細(xì)節(jié)。再考慮f(x)在2L2, 2L3,分辨率上的逼近,有:上述方程式是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法,這種算法是 Moody在1989年提出的。2.2.2 網(wǎng)絡(luò)系數(shù)計算對于式(19)可以改寫成下述形式:G是網(wǎng)絡(luò)權(quán)重

8、系數(shù),i是激活函數(shù)(尺度函數(shù)或小波函數(shù))。設(shè)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有 n個節(jié) 點,m個訓(xùn)練數(shù)據(jù)。則有:即 f Ac (21)式(20)的最小二乘解為:A被稱為A的偽逆矩陣。且如果樣本xi均勻分布,i (i 1,2,., n)是正交基,則ATA是一個n n單位矩陣,且小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程選擇合適的小波函數(shù)和尺度函數(shù)后,在最粗的尺度 L上訓(xùn)練 節(jié)點,直到網(wǎng)絡(luò)達(dá)到收 斂。要使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到收斂,需確定逼近誤差(在很多文獻(xiàn)中提出了誤差的計算方法)和增加 合適的 節(jié)點以減少逼近誤差。最后是優(yōu)化網(wǎng)絡(luò),使用新的樣本來檢驗網(wǎng)絡(luò)并移去權(quán)重小 的節(jié)點直到滿足性能準(zhǔn)則。計算復(fù)雜性小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的計算復(fù)雜性介于 O(N和O(N2)

9、之間,N為學(xué)習(xí)樣本數(shù)。如果學(xué)習(xí) 樣本是均勻分布的,則計算復(fù)雜性為 O(N);如果學(xué)習(xí)樣本是非均勻分布的,則計算復(fù)雜性 為 O(N2)。3 .數(shù)學(xué)應(yīng)用案例小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于小波分析而構(gòu)成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。它充分利用小波變換的良好局部化 性質(zhì)并結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)功能,因而具有較強的逼近、容錯能力,其實現(xiàn)過程也比較 簡單。小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在近十年來應(yīng)用較廣泛,主要應(yīng)用于以下幾個領(lǐng)域。非線性函數(shù)逼近非線性函數(shù)逼近具有非常重要的意義,很多實際問題通過建模都可歸結(jié)于非線性函數(shù)逼近 問題。而小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是通過對小波分解進(jìn)行平移和伸縮變換之后得到的級數(shù),具有小波 分解的函數(shù)逼近性質(zhì)。由于它引入了伸縮和平移因子,又比一

10、般的小波分解有更多的自由 度,而且還具有小波變換在高頻域的時間精度和低頻域的頻率精度,故能夠更加細(xì)致地描 述復(fù)雜函數(shù)的特性。Zhang和Benveniste首先將小波理論應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而提出了非正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)9, 并首次將這種新理論應(yīng)用于函數(shù)逼近,取得了很好的結(jié)果。他們分別對一維、二維非線性 函數(shù)進(jìn)行擬合逼近的研究,采用高斯函數(shù)推導(dǎo)式(x)xe x2/2 and(x)xjze * x292作為小波基函數(shù),對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近模擬結(jié)果與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分解方法進(jìn)行對比,結(jié)果顯示小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性函數(shù)的擬合 逼近明顯要優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和小波分解方法(見圖2,實線是實際曲線,虛線是逼近曲線),

11、 并吸收了兩者的許多優(yōu)點,摒棄了兩者的一些缺點。李銀國等則在前人的基礎(chǔ)上提出了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計的時(空)域“分解一一綜合” 方法18,并通過仿真實驗(非線性函數(shù)逼近)表明:此種方法較好地解決了小波神經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)中普遍存在的“維數(shù)災(zāi)”問題,且函數(shù)逼近能力強,精度便于掌握,訓(xùn)練過程方便,不 存在局部最優(yōu)問題。信號表示和分類小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于信號表示已有很多范例,但用于信號分類的很少。Harold HS等構(gòu)造了自適應(yīng)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并將其應(yīng)用于語音識別。他們首先提出了兩種不同的自適應(yīng)小波神經(jīng)2網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(均米用圖斯函數(shù) (x) cos(1.75x)ex/2作為小波基函數(shù))和能量函數(shù)分別用于信 號表示與分類,

12、并引入了超小波(super-wavelet )這一新術(shù)語(對于具體的問題,超小波 不僅自適應(yīng)計算定型小波函數(shù)的參數(shù),而且自適應(yīng)計算小波形狀)。他們將這些理論先應(yīng) 用于一維信號的表示與分類,隨后又討論了其可能在語音識別中的應(yīng)用,并展望這些理論 可能會廣泛應(yīng)用于信號識別與分類和圖像識別與分類。材料損傷診斷吳耀華等介紹了多變量輸入、輸出系統(tǒng)的 B樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和用于分類的自適應(yīng) B樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),應(yīng)用于智能復(fù)合材料應(yīng)變損傷位置的診斷。他們在實際操作中采用了一些技術(shù)處理以減少小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,從而加快了訓(xùn)練的速度和提高了識別能力。并且在同樣條件下將這兩種小波網(wǎng)絡(luò)與 BP網(wǎng)絡(luò)相對比,結(jié)果表明

13、B樣條小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模精度和收斂速度明顯高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(圖3)。錯誤診斷與分析Zhao Jinsong等提出了一種新穎的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)小波 -Sigmoid基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet-sigmoid basic function neural network , WSBFN ),并將其應(yīng)用于動態(tài)錯誤 診斷中。他們?yōu)榱私鉀Q小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“瓶頸”效應(yīng),提出了一種多維非乘積小波函數(shù) x2/2 (x) cos(1.75()e,并將其和相應(yīng)的尺度函數(shù)一起作為 WSBFN急層的激勵函數(shù),同時將sigmoid基函數(shù)作為 WSBFN俞出層的激勵函數(shù)。文獻(xiàn)中將 WSBFN&用于氫化裂解過程的錯誤診

14、斷中,并同前人 提出的較好的錯誤診斷方法之一一 SBFN網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對比。結(jié)果顯示,WSBFN以用更簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)而得到更好的診斷效果(WSBF剛I練錯誤遠(yuǎn)低于SBFN而且錯誤診斷準(zhǔn)確率達(dá)到 100%也優(yōu)于SBFN oBakshi和Stephanopoulos在多分辨率基礎(chǔ)上提出了正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并將其應(yīng)用于靜態(tài)錯誤動態(tài)建模 現(xiàn)實中,許多問題可以通過動態(tài)建模來解決。雖然采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非線性系統(tǒng)建模 的研究很多,但是采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行動態(tài)建模的則比較少。錢峻等應(yīng)用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 實現(xiàn)非線性系統(tǒng)模型的在線建立及自校正算法, 并將其應(yīng)用于微生物生長過程的預(yù)測建模。他們在繼承前人對小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的診

15、斷與分析問題中,也取得了非常好的診斷效果。經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法的基礎(chǔ)上,引入了限定記憶最小二乘法以替代普通的最小二乘法來實現(xiàn)小波 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線建模和校正算法。他們將其方法應(yīng)用于微生物生長過程的預(yù)測建模,結(jié)果顯示該小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很好的預(yù)測功能和推廣性能(見圖4,實線是系統(tǒng)輸出,虛線是小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出)。其訓(xùn)練方法亦比用普通的最小二乘法快得多。采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)動態(tài)建模來解決自動控制中的一些實際問題也已有研究。Oussar等首次將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于動態(tài)系統(tǒng)建模。他們采用高斯函數(shù)作為小波函數(shù),提出了一種 訓(xùn)練算法和用其構(gòu)建了反饋小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),并將其應(yīng)用于動態(tài)非線性輸入輸出系統(tǒng)建模中(機器人手臂

16、的液壓激勵器的建模)。將其建模效果與其他的輸入輸出模型(較鏈超平面 模型和S形人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型)進(jìn)行比較,結(jié)果表明,在輸入輸出系統(tǒng)建模中采用小波神 經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以取得與采用S形神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同樣良好的建模效果。Safavi等采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來 簡化分裂蒸儲塔模型。他們采用一種混合模型替代傳統(tǒng)的機械模型,混合模型是在傳統(tǒng)的 機械模型中加上了小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊,用來控制蒸儲塔的輸入輸出模塊。同時,他們將其 與傳統(tǒng)模型進(jìn)行比較,結(jié)果顯示,該模型大大簡化了分裂蒸儲塔模型且保持了原有機械模 型的精確性和內(nèi)部數(shù)據(jù)變量的有效性。非平穩(wěn)時間序列預(yù)測與分析由于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是用非線性小波基的線性疊加表示信號,故具有很好的特征

17、提取和抑噪能力,特別適用于非平穩(wěn)時間序列預(yù)測與分析。Bakshi和Stephanopoulos則首次在多分辨率基礎(chǔ)上提出正交小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于非平穩(wěn)時間序列預(yù)測與分析;楊宜康等則將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于測量中的異常數(shù)據(jù)診斷和消除。他們首先借助時-頻譜圖識別時間序列中異常數(shù)據(jù)的位置和性質(zhì),然后利用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為擬合工具,同時引入加權(quán)誤差能量函數(shù),通 過適當(dāng)選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)優(yōu)化,實現(xiàn)了對受污染的時間序列的抗擾最佳逼近。實例表明,采用加權(quán)誤差能量函數(shù)的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了具有逼近性能好、抑噪特性強和收 斂速度快的優(yōu)點外,還能有效地消除異常數(shù)據(jù)對擬合結(jié)果的影響,具有較強的魯棒性。4.小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計實例:采

18、用sinc函數(shù)來驗證小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合能力。Sinc函數(shù)定義為:自變量x的范圍取為卜5,5,采樣間隔為,共101個樣本點,其中前70個樣本點作為訓(xùn)練 樣本,后31個樣本點作為檢驗樣本。a=1,b=1,因變量y sinc(x 1) 1。本例中采用緊致型小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層中神經(jīng)元的傳統(tǒng)激發(fā)函數(shù)用小波函 數(shù)來代替,采用通常用于彳S號分類的小波基函數(shù)Morlet小波函數(shù)(r通常取值為)作為網(wǎng)絡(luò)隱含層的激勵函數(shù)。式中,t為函數(shù)的輸入。當(dāng)函數(shù)的輸入為零時,其輸出為 1,達(dá)到最大值:當(dāng)輸入的絕 對值較大時,輸出很快衰減為00MATLAB經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的傳遞函數(shù)沒有 Morlet小波函數(shù),所以將創(chuàng)

19、建自定義的傳輸 函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中包含了一個自定義傳遞函數(shù)template_transfer, 輸入helptemplate_transfer 就可以得到有關(guān)此函數(shù)的幫助信息。將template_transfer函數(shù)作為一個模板,來生成自定義的傳遞函數(shù)。首先,在MATLAB裝目錄下找到文件。將原傳遞函數(shù)改為 Morlet小波函數(shù)表達(dá)式:再將函數(shù)的導(dǎo)數(shù)改為:將輸入輸出范圍改為:在主程序中將傳遞函數(shù)設(shè)為 “template_transfer(本例中未改模板文件名稱)。程序如下:clcclearclose all%產(chǎn)生訓(xùn)練樣本與測試樣本n1=-5:;x1=sinc(n1+1)+1;n2=:5;x

20、2=sinc(n1+1)+1;列為一個樣本xn_train=n1;%訓(xùn)練樣本,dn_train=x1;xn_test=n2;dn_test=x2;%設(shè)置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)NodeNum=20;TypeNum=1;p1=xn_train;%訓(xùn)練輸入t1=dn_train;%訓(xùn)練輸出Epochs=1000;%訓(xùn)練次數(shù)P=xn_test;%測試輸入T=dn_test;%測試輸出(真實值)%設(shè)置網(wǎng)絡(luò)參數(shù)TF1=' template_transfer ' ;TF2=' purelin ' ;%設(shè)置傳遞參數(shù),'template_transfer '為自定義 Mor

21、let/、波函數(shù) net=newff(minmax(p1),NodeNum TypeNum,TF1 TF2, ' trainlm ');%旨定訓(xùn)練參數(shù)%最大訓(xùn)練次數(shù)% 最小均方誤差%最小梯度%訓(xùn)練顯示間隔%最大訓(xùn)練時間訓(xùn)練呦I練與測試net=train(net,p1,t1);X=sim(net,P);測試,輸出為預(yù)測值%吉果作圖plot(1:length(n2),x2, ' r+: ' ,1:length(n2),X, ' bo:')title( '+為真實值,。為預(yù)測值)5.結(jié)論與展望小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最初主要用于函數(shù)逼近,語音識別。隨著小波網(wǎng)絡(luò)的理論不斷發(fā)展,應(yīng) 用領(lǐng)域也不斷拓寬,如非線性系統(tǒng)辨識,模式識別,信號分類;心電信號的識別與分類; 數(shù)據(jù)與圖像壓縮。近年來,小波網(wǎng)絡(luò)在我國也引起了廣大學(xué)者的關(guān)注??傮w而言,小波網(wǎng) 絡(luò)的理論和應(yīng)用研究還處于初始階段,至今還存在許多有待解決的問題,這無疑是我們今 后的研究方向。(1) 小波網(wǎng)絡(luò)的新模型及其學(xué)習(xí)算法。例如可考慮基于小波包的小波網(wǎng)絡(luò)、PPR(Projection Pursuit Regres

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